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1、山西省太原市2020届高三模拟考试试题二 理科数学【含解析】一、选 择 题(共 12小 题).1.已知集合4 =巾/+%2 0 ,B =-1,0,1,2),则()A.Af 8=2 B.A UB=HC.B n(C A)=-l,2 D.8 U(CRA)=X|1 X 0 得到A =&I%1,再根据A B =2 即可得到答案.【详解】因为A =x|/+x 20 =x|x l ,B =-1,0,1,2),所以4 口3 =2,A U6/R,(Q A)Q B=-1,0,1),(Q A)UB=-2,1 U(2故选：A【点睛】本题主要考查集合的运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于简单题.2.已知。是实数，
2、是纯虚数，则。等 于()1-ZA.-V 2 B.-1 C.V 2 D.1【答案】D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.a+i(a+i)(l +i)(a-l)+(a+l)z详解：由题意可知：-?；,/=-一T 1-z +2a+i 一1=0为纯虚数，则：，八，据此可知4=1.1-z +1工0本题选择选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知Q=l o g 52,b=l o g0 5 0.2,C=0.5 2,则凡氏c 的大小关系为()A.a c bB.a b cC.b c aD.c a b【答案】A【解析】【分析】利用0
3、,-,1等中间值区分各个数值的大小.2【详解】=l o g52l o g5V 5 l o g05 0.25=2,0.5)0.52 0.5%故!cl,2所 以 c 0当x e(0,+o o)时，y I 1 X I 1当x e(-l,0)时，g(x)0则g(x)在(1,0)递 减,且g(x)g(O)=O8()在(0,+。)递 增,g(x)g(O)=O所以函数yx-ln(x+l)在定义域中，函数值均大于o故选：A【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题.7.圆 周 率n是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对n进行了估算.现利用下列实
4、验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生4人，让每人随机写出一对小于1的正实数a,b.再统计出a,6,1能构造锐角三角形的人数也利用所学的有关知识，则可估计出口的值是（）4MA.N4(N M)B.-N2M+NC.-N4M+2ND.-N【答案】B【解析】【分析】首先求出0 a l,构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域,然后利用几何概型一面积比即可求解.【详解】学校共有学生”人，每人随机写出一对小于1的正实数a,b,得到川个实数对（a,b）,因为0 6 0,即 a 2+4 i,a+h2ab所以对实数对落在单位圆/+/=1外的有对,1 V 1 X 1 由几何概率的概率
5、公式可得：M_ 4N1x1 n,4所 以(),N故选：B.【点睛】本题考查了几何概型一面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.8.设奇函数，幻 在(0,+8)上为增函数，且/(1)=0,则不等式/一)(T)0 时，f(x)0=f(-1).又在(0,+8)上为增函数，.奇函数/(*)在(一8,0)上为增函数.所以0 /1,或一1/(*)的形式，然后根据函数的单调性去掉“广，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与(幻的取值应在外层函数的定义域内9.过抛物线V=4 x 的焦点的直线1与抛物线交于A,6两点，设点M (3,0).若物8的面积为4 夜，
6、则AB =)A.2 B.4 C.2A/3 D.8【答案】D【解析】【分析】设直线/的方程为产A r H,将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出I四 I，根据三角形的面积求出近，代入计算即可求解.【详解】抛物线/=4 x 的焦点厂为(1,0),可设直线/的方程为产力尸1,代入抛物线方程，可得/-4-4=0,设 4(x”y i),B (x2,姓)，可 得%+%=4 t,%疗-4,则+/.|y,-y2|=J 1 +1 .)(弘+%)2-4 乂%=，1+尸-J16 产+1 6，/MAB 的面积为 g MF.|y i -|=-x 2)y i -|=4 近,2 2即 J16 0+16 =4 解
7、 得 片1,则|AB =V T T T J16 +16 =8,故选：D.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10.已知数列 a 的前n项和为$,且满足a.=j).数歹I ,满足bn=(-1)(2 +1)4,则数列伉 的前S“1 0 0 项和九。为()1 0 1 1 0 1 八 1 0 0 1 0 0A.-B.-C.-D.-1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1【答案】C【解析】【分析】由已知求出,%,归纳猜测出。“，再用数学归纳法证明猜测。“对于 eN*成立，进而求出数列 4 通项公式，用裂项相消法，即可求出结论.【详解】4=电 二1
8、L,二当炉1 时，有&解 得 a 尸!；S 工 21_ 1当炉2时，可解得&=:，故猜想：a 不，下面利用数学归纳法证明猜想：1当炉1,2时，由以上知道=/,、显然成立;1假设当炉衣（衣 2）时，有&=*（*+）成立,此时1 1 1 1 1 1 1 1 1 kk 1x2 2x3 攵(+1)1 2 2 3 k k+T k+1 或 那么当炉A+l时，(k看 一 +1尸(S +4M1)2 (g+%+D2品+1 、k+ak+_L ak+1成1解 得 知=(左+1)伏+1)+1 这说明当n=k+l时也成立.1由知：a=-7-n ,=(-1)-(2+l)a,，：.b=(-1)(2 +1).=(-1)7-+
9、(+1)nrt+1),.数歹|J4的前100项和T 八 1、，1 1、/1、J 1、70G=(14)+(I )(I )H-F(-1-)2 2 3 3 4 100 101I 1 100 1-101 101故选：C.【点睛】本题考查数学归纳法证明数列通项公式，以及裂项相消法求数列的前项和，考查计算求解能力,属于中档题.11.对于函数/（x）=Q（sz加+COSX）-5 b/加一cosx|.有下列说法：/（X）的值城为-1,1;当且仅当x=2版 +?仕e Z）时，函数/（x）取得最大值；函数“X）的最小正周期是乃；当且仅当x G 2k兀,2k兀 +I 2仕e Z）时，/（x）0.其中正确结论的个数是
10、（A.1B.2C.3D.4)【答案】B【解析】【分析】/、c o sx,si n x c o sx根据题意，先得到/（x）=,，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出si n x,si n x c o sx/、【详解】因为“力=7（5加+必 ）-彳卜泳：一。岗=.,作出函数/（x）的图象,L L S Z/X A k,S L t,l X 2版+（Z:eZ）时，/（x）0,正确.故 选:B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数与余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.12.三棱 锥-四。中为等边三角形，二面角尸-/C-8的 余 弦 值 为-迈，当三棱锥的体3积最大时，其外接球
11、的表面积为8 n.则三棱锥体积的最大值为（）1 1A.1 B.2 C.D.一2 3【答案】D【解析】【分析】由已知作出图象，找出二面角产一A C-B的平面角，设出/反 应4C的长，即可求出三棱锥尸一ABC的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有4c长度的字母表示），再设出球心。，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底 面 半 径 之 间 的 关 系 求 得 的 长 度，则三棱锥体积的最大值可求.【详解】如图所示，过 点 尸 作 血 面 四 4 垂足为反过点月作成，”1 交 4。于 点 连 接 做则/脸 为 二 面 角/C-6 的平面角的补角，即有co s
12、/板=工3易 知 力 入 面 板 则/C L 即，而2 JC为等边三角形，为十中点,设 比a,B(=b,仁耳+/=c，则 PE=PD&i x/LPD E=-x cx-=-,2 3 2故三棱锥尸-/比1 的体积为:2 2 12 12 2 24当且仅当才8=立。时，体积最大，此时8、D、K 共线.2设三棱锥尸-4 欧的外接球的球心为0,半径为此由已知，4 n*=8 n,得 =J5.过 点。作0F 1PE 于 F,则四边形O D E F 为矩形,则行)=即=2_()2,E D=O f PD c o sAPD E=-c x =c,PE=,V 2 2 3 2 2在 Rta/W中，(0)2=(也C)2+(
13、,2 _(|)2)2,解得 c=2.2 2C3 23 1.三棱锥产-的体积的最大值为：-=24 24 3B【点睛】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题.二、填空题：本大题共4 小题，每 小 题 5 分，共 20分.1 3.已知(x l)(o r+l)5的展开式中，的系数为0,则正实数【答案】g2【解析】【分析】(x-l)(a x +l)5=%(a x +l)5-(a x +1)5,然后利用(双+1丫展开式的通项公式研究x z.【详解】解：(X 1)(依 +1)=X(O X+1)5-(奴 +1),故原式展开
14、式中，含X?的项为x C；办fC 3)2.F=(5 a 1 0/卜2,令5一1 0片=0，得或。=。(舍去)，2故 答 案：.2【点睛】本题主要考查二项展开式通项公式的应用，属于基础题.X1 4.已知双曲线一a=1 3 0,b 0)的左右顶点分别为A，8,点P是双曲线上一点，若APAB为等腰三角形，N P A B =1 2 0。，则双曲线的离心率为_【答案】0【解析】【分析】2首先根据题意画出图形，由已知条件求出P(-2 a,6a),代入双曲线方程得到j =1,再求离心率即可.【详解】如图所示:过点P做P _Lx轴，垂足为。.因为 P 4 8为等腰三角形，所以Q 4 =A 6=2 a,又因为
15、NP A B =1 2 0。，所以 N P 4 D =60 .P D =PA-s i n 60 =j3a-A D =PA-co s 60 =a，故 P-2a,V Ja）.2 2因为点P（-2a,岛）在双曲线0-2r=1上，故答案为：V 2【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.1 5.已知数列回 满 足 组=上4 3-11+1 (/7 G N*),且饱=6,贝4 为 的通项公式为_ _ _ _.n n v +1 )【答案】2 -【解析】【分析】a帅 _ 1 。+1 _ 1%_ 1由题意令炉1可得如 当2 2时，转化条件可得 +1一，进而可得力一 _ 个 即
16、可得解.n-1 n n-【详解】因为数列 a 满 足 冬=-+l 所 以 一1 =上 (4%-1 ,n n l 4-l )n n n +1 )当/F1时，4-1 二 0即句=1,a n （a、生 i i当 N2时，由1 =3-1 可得 +1 In I +1 ）-=-n -l n数列 上 丁 从第二项开始是常数列，一1生 1 _1又2_=2，上=2，2-1 n-an=2rr n（n 2）,又4 =1 =2 1 满足上式，/.an=In2-n.故答案为：2 2【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的通项公式，考查了构造新数列的能力与运算求解能力，合理构造新数列是解题的关键，同时要注意的取值范围
17、，属于中档题.1 6.改革开放40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的/先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间4（单位：分钟）服从正态分布N（3 3,4）,下车后步行再到单位需要1 2 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z （单位：分钟）服从正态分布（44,22）,从地铁站步行到单位需要5 分钟.现有下列说法：若 8：0 0 出门，则乘坐公交一定不会迟到；若8：0 2 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；若8：0 6 出
18、门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；若8：1 2 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中 正 确 的 序 号 是.参考数据：若 Z-N（y ,。2）,则。（u -。M +o ）=0.6 8 2 6,P（P -2。ZW 口 +2。）=0.9 544,P（u -3 o u +3。）=0.9 9 7 4【答案】【解析】【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案.【详解】解：若&0 0 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5 分钟，下车后步行再到单位需要1 2分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间4服从正态分布（3 3,42）,皿 z 、1-P（2
19、1 Z 4 5）1-0.9 9 7 4故P（Z N 4 5）=-=-=0.0 0 1 3 ,.江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故错误；若8：02出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要1 2分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间4服从正态分布N（3 3,4 2）,故当满足P（Z W 4 D=1二（25；ZV 41）+p（2 5 Z V 4 1）=0.9 772时,江先生乘坐公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁，从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（4 4,2 2）,故当满足P （Z
20、 W 4 8）=1二+p（4（）z 4 8）=0.9 9 72时,江先生乘坐地铁不会迟到,此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故正确；若8：06出门，江先生乘坐公交，.从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要1 2分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z|服从正态分布N（3 3,4?）,故当满足尸（Z 3 7）=I二（29；Z、37）+p（2 9 Z 3 7）=0.84 1 3时,江先生乘坐公交不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁，：从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（4 4,2?）,故当满足P（Z 4
21、4）=g =0.5时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故错误；若8：1 2出门，江先生乘坐公交，；从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要1 2分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z|服从正态分布N（3 3,4 2）,故当满足P（ZV31）时，江先生乘坐公交不会迟到,丁/、/1-P（29Z37）而 P（Z P（Z 29）=-L=o.l 857；若8：12出门，江先生乘坐地铁，从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布/V（44,22）,故当满足P（Z 38）=*3 8；Z 0.
22、00135,.若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故正确；故答案为：.【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和b 的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共60分.17.板 的 内 角4 B,C的对边分别为a,b,c,若 亚4二 应9 =恒心，且/比外接圆的半径为sinB 21.（I）求 角G（II）求力比面积的最大值.【答案】（I）（II）叵
23、tl.4 2【解析】【分析】（I）由正弦定理和题设条件，化 简 可 得/=血 一，即一+8 2=交,2ab 2由余弦定理求得cosC=注，即可求得角G22(II)由余弦定理和基本不等式，求得a 8 K工工5 =2 +再利用三角形的面积公式，即可求得面积的最大值.c i h c【详解】（I）在A A 8 C中，由正弦定理=_J=2 R =2,si n A si n B si n C_,4B.a._ b.c可得 s i n A=,s i n 5=,s i n C =,2 2 22 2a _ c又由s山2 4一$山2。=母a-b,可得 4 4 =6a-b ,si n B 2 讨 2 22a2-c2=
24、y（2ab-b2，即-c=1,2ab 2由余弦定理可得c o s C =优+V=,l ab 2jr又因为。(0,乃)，所以C=4(II)由 正 弦 定 理 工 =2,可得c =2 s i n =J 1,si n C 4由余弦定理，可得2 =/+人2 -2.学22 y 2ab=Q-五)ab,2可得2 6=2+6,当且仅当a =6时等号成立,可得5凶 网、=g a bs i n C =乎a b W小，当且仅当=b时等号成立,即A A B C面积的最大值为立土L2【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用
25、正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.1 8.如图，四边形加?(力是边长为4的菱形，Z B AD=6 0,对角线 与加相交于点0,四边形”7 7?为梯形,E F HAC,点、在平面/版上的射影为0A的中点，/与平面力时所成角为4 5 .(1 )求证：做1平面4 5(I I )求平面庞尸与平面1 8 5所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析；(n)卫.7【解析】【分析】(I)取4。中点，连 结 以 贝I 加 必 又 A C 1 B D,由此可证；(I I)以为原点，胡 为x轴，在 平 面/腼 中 过 作/C的垂线为y轴，侬 为z轴，建立空间直角坐标系，由(1 )知I,/
26、后1为4 5 1与平面/物所成的角，再根据平面的法向量的夹角即可求出答案.详解】(I )证：取力0中点H,连结E H,则 从L平面AB C D,在平面4况内，：.E HLB D,又菱形力比 中，A C L B D,且 E HC 伤 E H,4 7在平面 4次1内，.切_ L平面 E AC F,.劭_ L 平面 AC F-,(H )解：由(I )知 敬1平面AB C D,.以为原点，物 为x轴，在 平 面 腼 中 过 作4。的垂线为y轴，能 为z轴，建立空间直角坐标系,:鼠L平 面 加 微 为 熊 与 平 面 施 力 所 成 的 角，即/勿住4 5 ,.3庐4,:伊2 也,AH=y 3,EH=g
27、 ,/./（O,0,0）,4（6，0,0）,（百，-2,0）,0（6，0,0）,E（0,0,乖）,平面48（力的法向量元=（0,0,1）,.I-L 1 L U 1 1 t /A O=（-2V3.0,0）,D E=（6,2,6），：EFHAC,：.E F =A A O=（-2 6人，0,0）,设平面龙尸的法向量沅=(x,y,z),则m-DE=A/3X+2V+A/3Z=0 广 广 广.，取 y=G，得比=（0,6，-2）,m-EF=-2yl3Ax=0：.cos（n,tri）2 7 7Tn fh _-2n-m 1-7 7平面庞尸与平面相切所成角的正弦值为J _(_乎 了 =警【点睛】本题主要考查线面
28、垂直的证明和二面角的求法,考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题.19.已知,月是椭圆C：（a6 0）左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线广产1被椭圆截得的弦的中点坐标为PH）-(I)求椭圆。的方程;(I I)过 的直线/交椭圆于4 8 两点，当力即面积最大时，求直线/的方程.2【答案】（I）-+y=l；（I I）x-y+&=0 或 x+y+夜=0.【解析】【分析】(I)根据直线椭圆的过上顶点，得 房 1,再利用点差法以及弦中点坐标解得才=3,即得椭圆方程；(I I)先设直线/方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以出用为底边长求 力 硕面积函数关系式,在根据基本不等式求 力 批面积最大值，
29、进而确定直线/的方程.【详解】(I)直线广尸1与 y 轴的交于(0,1)点，炉1,设直线x+y=l与椭圆C交于点M(汨，),N (x2,%),n.3 1则为+及=，yy+y2=2 22 2 2 2 王.2L-1%+&_ _-7 -T -1 r -T 1a b a b两式相减可得F （汨 为）（小+的）+-y （必-理）（必+%）=0,a o.）1 7 2 r：2（内+）,玉 一%2/（%+%）3.b。.2 _ _1一 下 12解 得 a2=3,二椭圆，的方程为三+/=1.3（I I）由（I）可得（-y/2，0）,F2（V 2，0）,设 4（如 加），B 5,%）,2可设直线1的方程x=my-垃
30、,将直线1的方程x=my 近代 入 事+”=1,可 得（方+3）/-2 0 在-1=0,则=20 ,y3y,=,m2+3 W+3I I r.2 A-23 J +1=一4%”=川+31 _ 2 -W+i _ 2 瓜 2 瓜 r-5.万=5 出 知.|%-必|=及 卜3-必 m2+3-7 7 1+?12a-V/n2+l当且仅当V/2+i=；yjm+1即 m 1,呢面积最大,即直线1的方程为x-y+p 2=0 或 y+y/2,=。.【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系,考查综合分析与求解能力，属中档题.20.为实现2020年全面建设小康社会，某
31、地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x,进行统计整理的频率分布直方图.频率/组距0.300-0.200.0.175.0.150.0.100-。6匕 出土f a _9 10 11 12 13 14 1 5 荒件尺寸（单位：mm，根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：为一级品，l 2为三级品.（I ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这4 0 0 件样本中抽取4 0 件产品，再从所抽取的4 0 件产品中，抽取2 件尺寸x
32、G 1 2,1 5 的产品，记 4为这2 件 产 品 中 尺 寸 1 4,1 5 的产品个数，求 的分布列和数学期望；（II）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验.已知每箱有1 0 0 件产品，每件产品的检验费用为50 元.检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付2 0 0 元补偿.现从一箱产品中随机抽检了 1 0 件，结果发现有1 件三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；（I I I）为加大升级力度，厂家需增购设备.已知这种产品的利润如下：一级品的
33、利润为5 0 0 元/件；二级品的利润为4 0 0 元/件；三级品的利润为2 0 0 元/件.乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是工，若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据.应选购哪种设备？请说明理由.【答案】（I）分布列见解析，-；（I I）不对剩余产品进行逐一检验，理由见解析；（I I I）应选购乙设备,3理由见解析.【解析】【分析】（I）利用频率分布直方图中的频率（概率）求出尺寸在“2,1 5 的产品件数，及在 1 4,1 5 的产品件数，得的可能取值为0,1,2,分别计算出概率得概率分布列，由分布列计算出期望；（I I）三级品的概率为（0.1+0.0 7 5）
34、X 1=0.1 7 5,计算对剩余产品逐一检验和对剩余产品不检验需支付的费用，比较后可得；（I I I）利用频率（概率）计算出两种方案的利润期望，比较可得.【详解】（I）抽取的4 0 件产品中,产品尺寸xC 1 2,1 5 的件数为：4 0 X （0.2+0.1 7 5+0.0 7 5）X l =1 8,其 中x 1 4,1 5 的 产 品 件 数 为4 0 X (0.0 7 5 X 1)=3,的 可 能 取 值 为0,1,2,：.P(g =0)3 5 T =，(&=1)%5 15,(&=2)1 7G=_L2G；5 1 的分布列为:012P35575n1IT*.E C =0 x-F i x-F
35、 2 x .5 1 1 7 5 1 3(I I)三级 品 的 概 率 为(0.1+0.0 7 5)X l=0.1 7 5,若对剩余产品逐一检验，则 厂 家 需 支 付 费 用5 0 X 1 0 0=5 0 0 0；若对剩余产品不检验，则厂家需支 付 费 用5 0 X 1 0+2 0 0 X 9 0 X 0.1 7 5=3 6 5 0,V 5 0 0 0 3 6 5 0,故不对剩余产品进行逐一检验.(I I I)设甲设备生产一件产品的利润为,乙设备生产一件产品的利润为先,则 (%)=5 0 0 X (0.3+0.2)+4 0 0 X (0.1 5 0+0.1 7 5)+2 0 0 X 0.1 7
36、 5=4 1 5,、2 1 1E()=5 0 0 x-+4 0 0 x-+2 0 0 x =4 2 0.5 2 1 0：E(M)0,fx=-+a.X当时，r(x)0,此 时F(x)是增函数，故不存在两个零点；当 a 0,x a此时时，r(x)X),此时/(x)是增函数；当+时，/f(x)0,解得一1。，(一。)a则/(%)=1 +2如(_，+2 +1 2 +2(_ 2 _ 1 +刍=0.所 以f(X)在(,+8)有唯一实数根，a所 以a的取值范围是(一1,0).(II)/(x)x e 恒成立，即xex之In尤+o x +1在(。,+)上恒成立,y)X 1即Q 0I所以g)在(0,+8)上递增，
37、而 =e o,力(3 =g-1 0,所以4(x)在(0,+8)上递增，.,.3 =/一.xo而 x e(O,Xo)时，h(x)0,BP g(x)0,即 g (x)0,故 g(x)在(*o,+8)上递增.所以X=X o 时，g(x)取得极小值，也是最小值，g(x)m in =g(x。)=e 妈=e%-$一 _ L =1,a W L与 玉)X。X。所以a 的取值范围是(80,1 .【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点，以及恒成立和最值的关系，确定极值点满足的条件是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.(二)选考题：共 1 0分.请考生在第2 2、2
38、3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2 B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程tx=-2 2.在平面直角坐标系xa 中，曲线G 的参数方程为J(Z 为参数)，曲线C 的参数方程为I y =-z-+-i-x =2+2 c o s c.(a 为参数)，以坐标原点为极点.X轴正半轴为极轴建立极坐标系.y =2 s in a(I )求曲线G 的普通方程和曲线C 的极坐标方程：TT TT(II)射线4=0 尸 ,)与曲线C 交 于 0,尸 两点，射线2=,+，与曲线G 交于点。，若力”的面积为1,求|帆|的值.【答案】（I）x-y +l=O,p=
39、4cos6；（H ）2丘.【解析】【分析】（I）由曲线G的参数方程消去参数t,即得曲线G的普通方程.由曲线C的参数方程消去参数a,得X=OCOS0曲线C的普通方程，根据彳.八，即得曲线G的极坐标方程；y=psm0（II）由（I）知，曲线C的极坐标方程为夕=4 co sd,设点P（4cos/?,尸）.曲线G的普通方程化为极（1 71 1坐标方程得夕cos。一夕sin8+l=0,则点。-,由 S“o=-xQ尸 x|OQ|二 l,求l 2)SO2=gx4cosZ?x1cos p+sin 3jr-1,cos(3=sin p,:.p=.A OP=4cosJ3=2yf2.【点睛】本题考查参数方程、普通方程
40、和极坐标方程的互化，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知a,b,c为正实数，且a+c=l.a h c 3(I I)证明：+-.b+c Q+C a+b 2【答案】(I)证明见解析；(I I)证明见解析.【解析】【分析】(I)每个式子通分后把1用Q+/7+C代换后分子应用基本不等式可证结论；一a b c(a+0+c 八(a+b-c 八(a+0+c 八一 八一(II)变形;+-+-;-1 +-+-;-，二个分式中分子b+c a+c a+b b+c)a+c)a+b Ja+/?+c提取出来并变为;(b+c)+(a+c)+(a+),即原不等式左边=e +c)+(a+c)+(a+与 一+一+4 一3
41、,再用柯西不等式可证得结论.2LJb+c a+c a+b)【详解】证明：(I)“a二b二c”时取等号;之 名 匠.侦?.马 巫=8,当且仅当a b ca b c(a+b+c 八(a+b+c 八(a-i-b+c 1(II)-+-+-:-1 +-1 +-1b+c a+c a+b h+c)a+c)a+b=牙0 +c)+(a+c)+(a+/?)lf-b-+-2LV 7 V 7 V +c a+c a+b：(Jb+c._：+&+32-3=,当且仅当“斫加C”时取2 y/b+c yja+c y/a+b 2 2等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题.