概率第一章(2).ppt

《概率第一章(2).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率第一章(2).ppt（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 15 条件概率条件概率 全概公式全概公式 Bayes公式公式例例1 有有100件产品，其中件产品，其中10件次品，有件次品，有40件按新工艺制造，件按新工艺制造，其中有两件次品。现从其中有两件次品。现从100件产品中任取一件，问：件产品中任取一件，问：1）此产品是次品的概率）此产品是次品的概率 2）已知此产品是新工艺生产的，）已知此产品是新工艺生产的，它是次品的概率。它是次品的概率。一一 条件概率条件概率 解：解：设设 A=“任取一件为次品任取一件为次品”B=“此产品由新工艺生产此产品由新工艺生产”定义定义1 1：设（设（F F P）是概率空间，是概率空间，A，B F F,且且 P（B）0.

2、称称 为已知事件为已知事件B发生的条件下，发生的条件下，事件事件A发生的概率发生的概率.例例2 一个家庭中有两个孩子一个家庭中有两个孩子.已知其中有一个是女孩，问另已知其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率为多大一个也是女孩的概率为多大?(假定一个小孩是男女等可能假定一个小孩是男女等可能)解：（解：（1）=(男男,男男)(男男,女女)(女女,男男)(女女,女女)B=另一个也是女孩另一个也是女孩=(女女,女女)A=已知有一个女孩已知有一个女孩=(男男,女女)(女女,男男)(女女,女女)于是所求概率于是所求概率:满足概率的三个公理满足概率的三个公理.因因而是个概率而是个概率,满足满足注注：1 2

3、 解解：（2）（男，女）（男，女）（女，男）（女，女）（女，男）（女，女）（女，女）（女，女）于是，所求概率于是，所求概率 定理定理1 1：(1)非负性非负性：(3)可列可加性：可列可加性：(2)规范性：规范性：二二乘法公式乘法公式 推广：推广：设设 .（2）例例3 3（PolyaPolya）模型模型 罐中有罐中有b b 个黑球，个黑球，r r 个红球。从中随个红球。从中随机取出一球，然后放回，并加进同色球机取出一球，然后放回，并加进同色球c c个和异色球个和异色球d d个，个，然后再进行第二次抽取，这样下去共取然后再进行第二次抽取，这样下去共取n n 次，求次，求（1 1）前三次取出的球为）

4、前三次取出的球为“红黑红红黑红”的概率。的概率。（2 2）前）前 次出现红球，后次出现红球，后 次出现黑球的概率。次出现黑球的概率。解：解：设设 例例4 一批产品共一批产品共100件，对产品进行不放回抽样检查，件，对产品进行不放回抽样检查，整批产品合格的条件是：在被检查的整批产品合格的条件是：在被检查的5件产品中至少件产品中至少 有有 一件废品。如果在该批产品中有一件废品。如果在该批产品中有5%是废品，求该批是废品，求该批 产品被拒绝的概率。产品被拒绝的概率。（2）解：解：设设例例5 盒中装有盒中装有5个乒乓球，个乒乓球，3新新2旧，比赛时从中任取一旧，比赛时从中任取一 球，球，用后不放回，求

5、第二次取出新球的概率。用后不放回，求第二次取出新球的概率。AB 定理定理2：设：设全概公式全概公式 三三 全概率公式全概率公式 是一列互不相容的事件，且是一列互不相容的事件，且 则则 对任意事件对任意事件 F 有：有：注：定理中的事件注：定理中的事件 称为完备事件组称为完备事件组。解：2白白 1黑黑 甲甲1白白 2黑黑 乙乙 任取一球任取一球取一球取一球P（白）白）=？设设 A=“最后取出的求为白球最后取出的求为白球”B=“从甲袋中取出的是白球从甲袋中取出的是白球”例例6 设甲袋中有设甲袋中有2个白球，个白球，1个黑球，乙袋中装有个黑球，乙袋中装有1个白个白 球，球，2个黑球。今从甲袋中任取一

6、球放入乙袋中，再个黑球。今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再 从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率。从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率。由全概率公式由全概率公式：例例7 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线和产量分别占总产量的和产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%。又又这四条流水线的不合率依次为这四条流水线的不合率依次为0.05 0.04 0.03 及及0.02,现从现从出厂的产品中任取一件出厂的产品中任取一件,问问：(1)恰好抽到不合格品的概率是多少恰好抽到不合格品的概率是多少?（2)若在出厂产品中任取一件若在出厂产品中任取一

7、件,结果为不合格品结果为不合格品,问厂方应问厂方应作作如何如何 处理比较合理处理比较合理?解解:（1）设设 A=“任取一件为不合格品任取一件为不合格品”任取一件恰由第任取一件恰由第i条流水线生产条流水线生产 i=1，2，3，4 （2）由此公式算得：由此公式算得：由由全概公式：全概公式：则则对任意事件对任意事件A，有：有：Bayes公式公式 四四 Bayes公式公式 定理定理3 设设是一列互不相容的事件，且是一列互不相容的事件，且 例例8 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病。在患有此一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病。在患有此种疾病的人群中。通过化验有种疾病的人群中。通过化验有95%的人呈阳

8、性反应，而健的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应。某地区此种的人呈阳性反应。某地区此种病的患者仅占人口的病的患者仅占人口的0.5%。若某人化验结果为阳性，问。若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？此人确实患有此病的概率是多大？例例9 一道考题有一道考题有m个答案，要求学生将其中的一个正确个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择答案选择 出来。某考生知道正确答案的概率为出来。某考生知道正确答案的概率为p，而乱猜而乱猜的概率为的概率为1-p，在乱猜时，在乱猜时，m个答案都有机会被他选择，个答案都有机会被他选择，如果他答对了，问确实知道正确答

9、案的概率是多少？如果他答对了，问确实知道正确答案的概率是多少？解：解：设设 A=“考生答对考生答对”B=“考生知道正确答案考生知道正确答案”由由全概公式：全概公式：又由又由Bayes公式：公式：例例10（遗传风险）在人类遗传学中，某中坏的基因会引起（遗传风险）在人类遗传学中，某中坏的基因会引起夭折。设夭折。设a是这样的一个基因，基因型是这样的一个基因，基因型aa将不能长大成人将不能长大成人,基因型基因型Aa的人为带菌者的人为带菌者,（a具有隐性性状）。假定在一般具有隐性性状）。假定在一般总体中（不论性别如何）带菌者的概率为总体中（不论性别如何）带菌者的概率为p。现考察下述现考察下述问题问题 ：

10、（：（1）已知某人（成人）有一个哥哥或姐姐在童年已知某人（成人）有一个哥哥或姐姐在童年死去（原于死去（原于aa）求该人为带菌者的概率。求该人为带菌者的概率。解：解：首先，由他的家庭有一个有关首先，由他的家庭有一个有关“历史历史”可知，他的可知，他的双亲都必是带菌者（为什么？），因此他们孩子的基因型双亲都必是带菌者（为什么？），因此他们孩子的基因型的分布为的分布为 基因型基因型 p AA Aa aa 1/4 1/2 1/4 于是，所求概率为：于是，所求概率为：（2）若该人跟一位不知是否具有那种）若该人跟一位不知是否具有那种“历史历史”的女人结婚，问：的女人结婚，问：其其 子一带基因型的分布如何？

11、子一带基因型的分布如何？解：参见下表解：参见下表父本父本 母本母本 结合的概率结合的概率 产生产生AA的概率的概率 Aa 的概率的概率 aa的概率的概率 AA AA AA Aa Aa AA Aa Aa 1 0 0 00 由由全概公式：全概公式：由此可知，在这种背景下，就子一代而言，一个成人是由此可知，在这种背景下，就子一代而言，一个成人是带菌者的带菌者的 概率为概率为 补充练习补充练习 1 假设有三张形状完全相同的卡片，第一张两面全是假设有三张形状完全相同的卡片，第一张两面全是红色，第二章两面全是黑色，第三张一面红色一面黑色，红色，第二章两面全是黑色，第三张一面红色一面黑色，将这三张卡片随机地

12、选出一张，并抛在桌面上，发现这张将这三张卡片随机地选出一张，并抛在桌面上，发现这张卡片朝上的一面为红色，求其另一面是黑色的概率。卡片朝上的一面为红色，求其另一面是黑色的概率。补充练习补充练习2 伊索寓言伊索寓言“孩子与狼孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊讲的是一个小孩每天到山上放羊,山山里有狼出没。第一天，他在山上喊：里有狼出没。第一天，他在山上喊：“狼来了，狼来了！狼来了，狼来了！”山下的村民闻声便去打狼，可到山上，发现狼并没来，第山下的村民闻声便去打狼，可到山上，发现狼并没来，第二天，仍是如此；第三天狼真的来了，可无论小孩怎么喊二天，仍是如此；第三天狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没

13、有人来救他。现在请你用叫，也没有人来救他。现在请你用Bayes公式来分析此寓公式来分析此寓言中村民对小孩的可信程度是如何下降的。言中村民对小孩的可信程度是如何下降的。16 16 事件的独立性事件的独立性一一 两个事件的独立性两个事件的独立性定义定义1：设（：设（，F F，)为一概率空间，事件为一概率空间，事件A,B属于属于 F,F,若若则称事件则称事件A,B是相互独立的。是相互独立的。注：若事件注：若事件A，B相互独立，有：相互独立，有：.（2）定理定理1:1:若四对事件若四对事件中中有一对是有一对是则则 另外三对也独立。另外三对也独立。独立的，独立的，例例1 设甲、乙两人独立地向同一目标射击

14、，他们击中目设甲、乙两人独立地向同一目标射击，他们击中目标的概率分别为标的概率分别为0.9和和0.8，求在一次射击中，目标被击中，求在一次射击中，目标被击中的概率。的概率。定义定义2:2:称称A B C A B C 是相互独立的是相互独立的,如果有如果有:（3）若若只满足前三式，则称只满足前三式，则称A ，B，C两两独立。两两独立。注：注：1 1 事件两两独立，未必相互独立事件两两独立，未必相互独立2 （3 3）中的第）中的第4 4个式子成立，其余个式子成立，其余3 3个式子也未必成立。个式子也未必成立。二二 多个事件的独立性多个事件的独立性3 3 两两独立没有传递性。两两独立没有传递性。定义

15、定义4:称称 是相互独立的是相互独立的,如果对任意自然数如果对任意自然数 有：有：定理定理2 2 设设 相互独立，则将其中任意相互独立，则将其中任意 个换成其对立事件，则所得的个换成其对立事件，则所得的n n个事件也相互独立。个事件也相互独立。例例3 设某种型号的高射炮命中率为设某种型号的高射炮命中率为0.6,若干门炮同时发射若干门炮同时发射(每炮射一发每炮射一发)问问:欲以欲以 99%以上的把握击中敌机以上的把握击中敌机,至少配至少配备几门高炮备几门高炮?三三 独立性在计算概率中的应用独立性在计算概率中的应用 解解:设至少需要设至少需要n门炮门炮例例2 教材教材P51 1.26 至少需配置六

16、门炮才能以至少需配置六门炮才能以99%以上的把握击中敌机以上的把握击中敌机.由题意：由题意：故故 例例3 一个人照看三台机床，在一个人照看三台机床，在1小时内不需要照顾的概率分小时内不需要照顾的概率分别为别为0.9、0.8、0.7，求在，求在1小时内三台机床中最多有一台需小时内三台机床中最多有一台需要照顾的概率。要照顾的概率。例例4 甲乙丙三人同时向一飞机射击，击中的概率分别为甲乙丙三人同时向一飞机射击，击中的概率分别为0.4，0.5，0.7，如果只有一人击中，飞机被击落的概率为，如果只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2，如果有二，如果有二 人击中，飞机被击落的概率为人击中，飞机被击落的概率

17、为0.6，如果三，如果三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。解：设解：设 分别表示甲，乙，丙击中敌机分别表示甲，乙，丙击中敌机分别表示有分别表示有1，2，3人击中敌机人击中敌机=“敌机被击落敌机被击落”四四 串联、并联系统可靠度的计算串联、并联系统可靠度的计算1 可靠性研究的内容可靠性研究的内容1）可靠性寿命试验）可靠性寿命试验 2）可靠性维护策略）可靠性维护策略 3）系统可靠度）系统可靠度 计算计算2 可靠度可靠度定义定义:指一元件或系统在规定的时间内能正常工作的概率。指一元件或系统在规定的时间内能正常工作的概率。3 可靠度的计算可

18、靠度的计算 n 1 2 1 串联系统串联系统 1 2n 2 并联系统并联系统(独立独立)例例5 5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为如果构成系统的每个元件的可靠性均为r,0r1,r,0r1,且且各元件能否正常工作是相互独立的各元件能否正常工作是相互独立的,试求下面两种系统的试求下面两种系统的可靠性。可靠性。1 2 n n n 2 1 1 1 2 2 n n图图1 1图图2 2 注注 n个事件并的概率个事件并的概率:1.7 贝努里（贝努里（Bernoulli）概型概型 1 定义：定义：如果试验如果试验E只有两种结果只有两种结果则称则称 E为为 Bernoulli 试验。试验。将将E独立重复独立

19、重复n次的试验称为次的试验称为n重重Bernoulli试验。记为试验。记为 注：注：1 独立重复的含义：独立重复的含义：2 n n重重BernoulliBernoulli试验的样本空间试验的样本空间 问题：问题：在在n重重Bernoulli试验中，事件试验中，事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率 记记 “n重重Bernoulli试验中事件试验中事件A出现出现k次次”“第第i 次试验中次试验中A发生发生”二项概率公式二项概率公式 例例1 电灯泡使用寿命在电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为小时以上的概率为0.2，求，求3个个灯泡在使用灯泡在使用1000小时后，最多只有一个坏了的概率。小时

20、后，最多只有一个坏了的概率。解：设解：设 A=“使用寿命大于使用寿命大于1000小时小时”则则则则 所求概率为：所求概率为：=0.096+0.008=0.104 例例2 P49 2 P49（例（例1.241.24）例例3 甲乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的甲乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为概率为0.6，乙胜的概率为，乙胜的概率为0.4，比赛可采用三局两胜制或五，比赛可采用三局两胜制或五局三胜局三胜 制，问制，问 在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？解：解：（1）若采用三局两胜制，则下列两种情况下甲获胜）若采用三局两胜制，则下

21、列两种情况下甲获胜=“甲净胜两局甲净胜两局”=“前两局各胜一局，第三局甲胜”则则 P（甲胜）甲胜）=0.648 P（甲胜）甲胜）=“甲净胜三局甲净胜三局”=“前三局中甲胜两局，负一局，第四局甲胜前三局中甲胜两局，负一局，第四局甲胜”=“前四局中甲乙各胜两局，第五局甲胜前四局中甲乙各胜两局，第五局甲胜”=0.682结论：结论：（2）若采用五局三胜制，则下列三种情况下甲获胜）若采用五局三胜制，则下列三种情况下甲获胜“例例4 某店内有四名售货员，据经验每名售货员平均在某店内有四名售货员，据经验每名售货员平均在1小小时内只用台秤时内只用台秤15分钟，问该店配置几台秤较为合理？分钟，问该店配置几台秤较为

22、合理？解：设解：设 A=“售货员在售货员在1小时内使用台秤小时内使用台秤”则则 售货员在售货员在1小时不使用台秤小时不使用台秤 由题意：由题意：P（1小时内没有人使用台秤）小时内没有人使用台秤）=P（1小时内只有小时内只有1名售货员使用台秤）名售货员使用台秤）P（1小时内有小时内有2名售货员使用台秤）名售货员使用台秤）=故故 P（1小时内不超过小时内不超过2名售货员使用台秤）名售货员使用台秤）而而 P（1小时内有小时内有3名售货员使用台秤）名售货员使用台秤）P（1小时内有小时内有4名售货员使用台秤）名售货员使用台秤）结论分析：结论分析：习题课习题课 条件概率条件概率 独立性独立性 一一 内容总

23、结内容总结1 1 条件概率的定义条件概率的定义 性质性质 2 乘法公式乘法公式 （独立）3 全概率公式全概率公式 Bayes 公式公式 若若事件组事件组 满足满足 则则 对任意事件对任意事件 A 有有 全概率公式全概率公式Bayes 公式 4 事件的独立性事件的独立性两个事件的独立性：两个事件的独立性：多个事件的独立性：多个事件的独立性：5 贝努里（贝努里（Bernoulli）试验试验 例题分析例题分析例例1（教材（教材P54.1.23）例例2（教材（教材P54.26）例例3 M和和N之间的电路如图所示：之间的电路如图所示：M N 在时间在时间T内不同元件出故障是相互独立的，其概率为内不同元件

24、出故障是相互独立的，其概率为 元元 件件 故障概率故障概率0.6 0.5 0.4 0.7 0.9 求求 在指定的时间内在指定的时间内（1）由于）由于 或或 发生故障而断电的概率；发生故障而断电的概率；（2）由于）由于 同时发生故障而断电的概率；同时发生故障而断电的概率；（3）由于）由于 或或 或或 同时发生故障而断电的概率；同时发生故障而断电的概率；（4）电路通电的概率。）电路通电的概率。例例4 已知昆生已知昆生k个卵的概率为个卵的概率为 ,而每一个卵能而每一个卵能孵化成昆虫的概率为孵化成昆虫的概率为P，且各卵的孵化是相互独立的，试且各卵的孵化是相互独立的，试求这昆虫的下一代有求这昆虫的下一代有r只的概率只的概率。解：解：设设 昆虫产昆虫产 k卵卵昆虫有昆虫有r个下一代个下一代 由由全概率公式：全概率公式：