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1、第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第一节第一节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件第二节第二节 概率、古典概型概率、古典概型第三节第三节 条件概率、全概率公式条件概率、全概率公式第四节第四节 独立性独立性上一页上一页下一页下一页返返 回回n n(一)概率的统计定义n n（1）随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，它的发生却具有统计规律性。所以可以通过大量重复试验来研究。n n（2）举例:掷硬币：掷10次6次正面；掷1000次468次正面。(3)结论：仅从事件出现的次数不能确切描述它出现的可能性的大小，还应考虑它出现的次数在试验总次数中所占的百分比。上一页上一
2、页下一页下一页返返 回回n n在n次重复试验中，若事件A发生了m次，则m/n称为事件A发生的频率。同样若事件B发生了k次，则事件B发生的频率为k/n。如果A是必然事件，有m=n，即必然事件的频率是1。显然不可能事件的频率为0，一般事件的频率介于0与1之间。如果事件A与B互不相容，那么事件A+B的频率为（m+k）/n.它恰好等于两个事件频率的和m/n+k/n.这称为频率的可加性。上一页上一页下一页下一页返返 回回历史上著名的统计学家蒲丰（历史上著名的统计学家蒲丰（历史上著名的统计学家蒲丰（历史上著名的统计学家蒲丰（BuffonBuffon）和皮尔）和皮尔）和皮尔）和皮尔逊（逊（逊（逊（Pears
3、onPearson）曾进行过大量抛硬币的试验，）曾进行过大量抛硬币的试验，）曾进行过大量抛硬币的试验，）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示其结果如表所示其结果如表所示其结果如表所示.实验者实验者 n k f德德摩根摩根2048 1061 0.5181蒲丰蒲丰 4040 2048 0.5069K皮尔逊皮尔逊 12000 6019 0.5016K皮尔逊皮尔逊 24000 12012 0.5006可见出现正面的频率总在可见出现正面的频率总在0.5附近摆动附近摆动.随随着试验次数的增加着试验次数的增加,它会逐渐稳定于它会逐渐稳定于0.5.上一页上一页下一页下一页返返 回回n n经验告诉人们：多次
4、重复同一试验时，随机现象呈现出一定的量的规律。具体来说，就是当试验次数n很大时，事件A的频率具有一种稳定性，它的数值徘徊在某个确定的常数附近。而且，次数越多，事件A的频率就越接近那个常数。这种在多次重复试验中，事件频率稳定性的统计规律便是概率的经验基础。事件发生的可能性大小就是这个“频率的稳定值”。1、频率、频率定义定义1.1:在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n次试验次试验.若随机事件若随机事件A在在这这n次试验中发生了次试验中发生了k次，则比值次，则比值 称为事件称为事件A在在n次试次试验中发生的频率，记为验中发生的频率，记为频率具有下列频率具有下列性质性质：(1)对于任一事件对于任
5、一事件A，有有 (2)上一页上一页下一页下一页返返 回回上一页上一页下一页下一页返返 回回定义定义1.2:设事件设事件A在在n次重复试验中发生了次重复试验中发生了k次次,n很大时很大时,频率频率 稳定在某一数值稳定在某一数值p的附近波动的附近波动,而随着试验次数而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件为事件A发生的发生的概率，记为概率，记为上一页上一页下一页下一页返返 回回定义定义1.1.32、概率的公理化定义、概率的公理化定义上一页上一页下一页下一页返返 回回3、古典概型、古典概型定义定义1.4：设随机试验设随机试验E满足如下满足如下条件条件:
6、(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为则称试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。古典概型古典概型 中事件中事件A的概率计算公式为的概率计算公式为上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.5 将一枚硬币抛掷三次，求：将一枚硬币抛掷三次，求：（1）恰有一次出现正面的概率；恰有一次出现正面的概率；（2）至少有一次出现正面的概率至少有一次出现正面的概率.上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 将一枚硬币抛掷三次的样本空间将一枚硬币抛掷三次的样本空间=HHH,HHT,HT
7、H,THH,HTT,THT,TTH,TTT中中包包含含有有限限个个元元素素，且且由由对对称称性性知知每每个个基基本本事事件件发发生生的可能性相同的可能性相同.（1）设设A表示表示“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，则则 A=HTT，THT，TTH，故有故有 P（A）=3/8.上一页上一页下一页下一页返返 回回（2）设设B表表示示“至至少少有有一一次次出出现现正正面面”，由由 =TTT，得得例例1.6 12名新生中有名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：分配到三个班中去，试求：（1）每班各分配到一名优秀生的概率；每班各分配到一名优秀生的概率；（
8、2）3名名优优秀生分配到同一个班的概率秀生分配到同一个班的概率.上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 12名新生平均分配到三个班的可能分法名新生平均分配到三个班的可能分法总总数数为为（1）设设A表示表示“每班各分配到一名优秀生每班各分配到一名优秀生”上一页上一页下一页下一页返返 回回（2）设设B表示表示“3名名优优秀生分到同一班秀生分到同一班”，故，故3名名优优秀生分秀生分到同一班共有到同一班共有3种分法，其他种分法，其他9名学生分法名学生分法总总数数为为 ，故由乘法原理，故由乘法原理，B包含包含样样本本总总数数为为 例例1.7 一批产品共200个，有6个废品，求（1）这批产品的废品率；（2
9、）任取3个，恰有1个废品的概率；（3）任取3个，全非废品的概率。解：设P(A)、P(A1)、P(A0)分别表示（1）、（2）、（3）中所求的概率，由古典概率公式得例例1.8 两封信随机地向标号为、的4个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。解：设事件A表示第二个邮筒只投入1封信。两封信随机地投入4个邮筒共有42种等可能的投法，而组成事件A的不同投法只有C21C31种。有古典概型公式P(A)=C21C31/42=3/84、几何概型、几何概型若试验具有如下特征若试验具有如下特征:上一页上一页下一页下一页返返 回回例例1.7 两人相两人相约约在某天下午在某天下午2 003 00在在预预定地方
10、定地方见见面，面，先到者要等候先到者要等候20分分钟钟，过时则过时则离去离去.如果每人在如果每人在这这指定的一指定的一小小时时内任一内任一时时刻到达是等可能的，求刻到达是等可能的，求约约会的两人能会到面会的两人能会到面的概率的概率.上一页上一页下一页下一页返返 回回解解 设设x,y为为两人到达两人到达预预定地点的定地点的时时刻，那么，两人到达刻，那么，两人到达时时间间的一切可能的一切可能结结果落在果落在边长为边长为60的正方形内，的正方形内，这这个正方形个正方形就是就是样样本空本空间间,而两人能会面的充要条件是而两人能会面的充要条件是x-y20，即即x-y20且且y-x20.例 两人约定上午9
11、:0010:00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率。解：设两人到达时刻分别为X、Y，则 0X、Y 60，事件一人要等另一人半小时以上等价于 如图阴影部分所示 概率的加法法则例如：100个产品中有60个一等品，30个二等品，10个废品。规定一、二等品为合格品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率之间的关系。设事件A、B分别表示产品为一、二等品。显然A、B互不相容，事件A+B表示产品为合格品，则P(A)=60/100，P(B)=30/100，P(A+B)=(30+60)/100可见P(A+B)=P(A)+P(B)对于任意两个互斥事件加法法则 两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和。即当AB
12、=时，P(A+B)=P(A)+P(B)结论：（1）如果n个事件两两互斥，则 P(A1+A2+.+An)=P(A1)+.+P(An)(2)如果n个事件构成一个完备事件组，则它们概率的和为1。P(A1)+.+P(An)=1 两个对立事件之和为1。（3）（4）（5）例1.8 对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）5人生日都不在星期日的概率；（3）5人生日不都在星期日的概率。解：（1）设A1表示5人生日都在星期日，基本事件总数75，有利事件仅1个，故 P(A1)=1/75，（2）设A2表示5人生日都不在星期日，有利事件 65个，故P(A2)=65/75 （3）设A
13、3表示5人生日不都在星期日，P(A3)=1-P(A1)=1-1/75 例1.9 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个白球，3个黑球，从中一次抽取3个，计算至少有2个白球的概率。解：设Ai=恰有i个白球（i=2,3）显然A2、A3互斥，例1.10 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。解：设甲乙两艘轮船到达码头的时刻分别是x及y，由题意 0 x24，0y24 把（x，y）看做平面上一点的坐标，则所有可能事件可以用边长为24的正方形区域内的点表示出来
14、。设事件A表示两艘 轮船中的任何一艘 都不需等候码头空 出，等价于以下两种可能情况：（1）若甲先到码头（即xy），则有 y-x1；（2）若乙先到码头（即y x），则有 x-y2；事件A包含的基本事件可以用图中阴影部分的点表示出来。练习1：某人花钱买了A、B、C三种不同的奖券各一张，已知各奖券中奖的概率分别为P(A)=0.03，P(B)=0.01，P(C)=0.02，并且各奖券中奖是相互独立的，如果只要有一种奖券中奖此人就赚钱，求此人赚钱的概率。解：法1，加法公式P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)法2，因为三个事件是相互独立的，而且是两两互不相容的，所以