概率第一章(1).ppt

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1、 1 确定性现象确定性现象 在一定条件下必然发生的某种确定性现象。在一定条件下必然发生的某种确定性现象。概率统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科。概率统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科。二二 概率统计的起源与发展概率统计的起源与发展 三三 概率论的广泛应用概率论的广泛应用 一一 概率论与数理统计研究的对象概率论与数理统计研究的对象 2 随机现象随机现象 在一定的条件下进行观察和试验，其结果不能事先确在一定的条件下进行观察和试验，其结果不能事先确 定的现象。定的现象。（偶然性、规律性）（偶然性、规律性）序序 论论 第一章第一章 事件与概率事件与概率 本章主线提示：先由随机试验引出样本空

2、间，并本章主线提示：先由随机试验引出样本空间，并给出概率的描述性定义，然后介绍古典概型与几何给出概率的描述性定义，然后介绍古典概型与几何概型中概率的求法。在对概率有了一些直观了解的概型中概率的求法。在对概率有了一些直观了解的基础上，引出了事件的域，进而给出了概率的公理基础上，引出了事件的域，进而给出了概率的公理化定义，并由此定义导出概率的基本性质。化定义，并由此定义导出概率的基本性质。11 随机事件与样本空间随机事件与样本空间 一个试验如果满足下列条件则称为随机试验。一个试验如果满足下列条件则称为随机试验。（可重复性）可重复性）（全部可知性）全部可知性）（随机性）随机性）二二 随机事件随机事件

3、 1 基本事件（样本点）基本事件（样本点）试验中的每一个基本的结果称为基本事件（样本点）。试验中的每一个基本的结果称为基本事件（样本点）。2 样本空间样本空间 全体样本点构成的集合。全体样本点构成的集合。一一 随机试验随机试验 用用 表示表示用用 表示表示 （1）试验可以在相同的条件下重复进行。）试验可以在相同的条件下重复进行。（3）每次试验只能出现一个结果，并且事先不能确定。）每次试验只能出现一个结果，并且事先不能确定。（2）试验的所有结果明确可知，并且不止一个。）试验的所有结果明确可知，并且不止一个。例例1 写出下列试验的样本空间写出下列试验的样本空间1）抛掷一枚均匀的硬币，观察出现正反面

4、的情况。抛掷一枚均匀的硬币，观察出现正反面的情况。2）连续投两枚硬币，观察出现正反面的情况。）连续投两枚硬币，观察出现正反面的情况。3）对某一目标进行射击，直到击中为止。）对某一目标进行射击，直到击中为止。4）研究电视机的使用寿命。）研究电视机的使用寿命。定义：样本空间中具有定义：样本空间中具有某种性质某种性质的样本点的集合。的样本点的集合。4 三三 事件的关系及运算事件的关系及运算 2)相等关系相等关系 3 随机事件随机事件 1 关系及运算关系及运算1）包含关系）包含关系 推广推广1：4 交交推广推广1：3 并并 推广推广2：中至少有一个发生的事件。中至少有一个发生的事件。推广推广2：5 差

5、差 注：差运算不满足交换律注：差运算不满足交换律 6 互不相容（互斥）互不相容（互斥）7 对立事件（逆事件）对立事件（逆事件）例例2 设设 是是 中的随机事件，试用事件间的运算关中的随机事件，试用事件间的运算关系表示下列事件：系表示下列事件：（1）中至少有一个发生中至少有一个发生 （2）中至少有两个发生中至少有两个发生 （3）事件）事件 与与 发生发生 而而 不发生不发生 （4）中恰好有两个发生中恰好有两个发生 （5）中至多有一个发生中至多有一个发生 1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：2 运算规律运算规律 3）分配律：）分配律：4）对偶律：）对偶律：(D.Morgan律律)5）幂等律

6、：）幂等律：12 12 概率和频率概率和频率 实验者实验者 投掷次数投掷次数 出正面次数出正面次数 出正面频率出正面频率De.organ 2048 1061 0.518Buffon 4040 2048 0.5069K.Person 12000 6019 0.5016K.Person 24000 12012 0.5005 投币实验表投币实验表 一一 概率的直观意义概率的直观意义二二 频率频率随机事件发生可能性大小的度量称为概率。随机事件发生可能性大小的度量称为概率。-频数频数 1 1 非负性：非负性：三 概率的统计定义概率的统计定义 定义定义 频率的稳定值（中心）称为概率。记为：频率的稳定值（中

7、心）称为概率。记为：概率的性质：概率的性质：2 规范性：3 有限可加性：频率的频率的 性质：性质：1 1）基本计算原理基本计算原理 可重复排列：可重复排列：2 2）排列排列 1 排列与组合公式排列与组合公式1.3 古典概率古典概率乘法原理：乘法原理：加法原理：加法原理：选排列：选排列：不重复组合：不重复组合：可重复组合：可重复组合：多组组合：多组组合：将将n个不同的元素分成个不同的元素分成 s组，使第一组有组，使第一组有 个元素，个元素，第二组第二组 有个元素，第有个元素，第s组有组有 个元素个元素，且有，且有 ，则，则 分法总数为：分法总数为：3）组合组合 二二 古典概型古典概型则称则称此此

8、试验为古典概型。试验为古典概型。（1）3 3 概率的古典定义概率的古典定义 1 定义：定义：若随机试验具有下列性质若随机试验具有下列性质 1 具有有限个样本点具有有限个样本点 2 每个样本点出现的机会均等每个样本点出现的机会均等 4 性质：性质：2 2 概率计算：概率计算：将将 称为事件称为事件A发生的概率。发生的概率。-古典定义古典定义 例例1 在自然数在自然数1，2，120中任取一数，求此数能被中任取一数，求此数能被3整除的概率。整除的概率。解：解：设设 A=“此数能被此数能被3整除整除”由古典概型的计算公式：由古典概型的计算公式：例例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按只

9、同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按电流放大系数分类，有电流放大系数分类，有40只属于甲类，只属于甲类，60只属于乙类。在只属于乙类。在按按 1）有放回抽样）有放回抽样 2）不放回抽样下，求下列事件的概率）不放回抽样下，求下列事件的概率 A=“从从100只中任取只中任取3只，只，3只都是乙类只都是乙类”B=“从从100只中任取只中任取3只，其中有只，其中有2只是甲类，只是甲类，1只是乙类只是乙类”例例3 设有设有n个人定了个人定了n张票，其中有张票，其中有k张甲级票，现让这张甲级票，现让这n个人各抽一张，在未抽完之前先抽者不准宣布结果。试证个人各抽一张，在未抽完之前先抽者不准宣布结果。试证

10、明：每个人抽的甲级票的概率相等皆为明：每个人抽的甲级票的概率相等皆为k/n，而与取的先而与取的先后顺序无关。后顺序无关。例例4 4 从从1 1，2 2，9 9共共9 9个数字中任取一个，然后放回，个数字中任取一个，然后放回，先后取出先后取出5 5个数字，求下列事件的概率个数字，求下列事件的概率 （1 1）A A：最后取出的数字是奇数最后取出的数字是奇数 （2 2）B B：五个数字全不相同五个数字全不相同 （3 3）C C：1 1恰好出项两次恰好出项两次 （4 4）D D：1 1至少出现两次至少出现两次 （5 5）E E：恰好出现两对不同的数字恰好出现两对不同的数字 例例5 9个国籍不同的乒乓球

11、队，内有个国籍不同的乒乓球队，内有3个亚洲国家队，抽个亚洲国家队，抽签分成签分成3组进行预赛，（每组组进行预赛，（每组3队），试求：队），试求：（1）3个组各有个组各有1个亚洲国家队的概率。个亚洲国家队的概率。（2）3个亚洲国家队集中在第一组的概率。个亚洲国家队集中在第一组的概率。（3）3个亚洲国家队集中在某一组的概率。个亚洲国家队集中在某一组的概率。例例6（分房问题（分房问题 分球入盒问题）将分球入盒问题）将n个不同的球以同样的个不同的球以同样的概率分到概率分到N（）个盒子中去，试求下列事件的概率。个盒子中去，试求下列事件的概率。（1）指定的）指定的n个盒子各有一个球。个盒子各有一个球。（2

12、）恰好有）恰好有n个盒子各有一个球。个盒子各有一个球。例例7 在例在例7中假定中假定n个球是不可分辨的，求个球是不可分辨的，求（1）（）（2）两）两个事件的概率。个事件的概率。补充习题补充习题(彩票问题彩票问题)一种福利彩票称为幸福一种福利彩票称为幸福35选选7,即从即从01,02,35中不重复地开出中不重复地开出7个个 基本号码和一个特殊号码基本号码和一个特殊号码,中各等奖的规则如下中各等奖的规则如下,试求各等奖的中奖试求各等奖的中奖概率概率 幸幸 福福 35 选选 7 的的 中中 奖奖 规规 则则 中奖级别中奖级别中奖级别中奖级别 中奖规则中奖规则中奖规则中奖规则 一等奖一等奖一等奖一等奖

13、 二等奖二等奖二等奖二等奖 三等奖三等奖三等奖三等奖 四等奖四等奖四等奖四等奖 五等奖五等奖五等奖五等奖 六等奖六等奖六等奖六等奖 七等奖七等奖七等奖七等奖 7 7 7 7个基本号码全中个基本号码全中个基本号码全中个基本号码全中 中中中中6 6 6 6个基本号码及特殊号码个基本号码及特殊号码个基本号码及特殊号码个基本号码及特殊号码 中中中中6 6 6 6个基本号码个基本号码个基本号码个基本号码 中中中中5 5 5 5个基本号码及特殊号码个基本号码及特殊号码个基本号码及特殊号码个基本号码及特殊号码 中中中中5 5 5 5个基本号码个基本号码个基本号码个基本号码 中中中中4 4 4 4个基本号码及

14、特殊号码个基本号码及特殊号码个基本号码及特殊号码个基本号码及特殊号码 中中中中4 4 4 4个基本号码或三个基本号码及特殊号码个基本号码或三个基本号码及特殊号码个基本号码或三个基本号码及特殊号码个基本号码或三个基本号码及特殊号码 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质引例引例1 某汽车站每隔某汽车站每隔5分钟有一辆汽车到站，乘客到达车分钟有一辆汽车到站，乘客到达车站的时刻是随机的，求一个乘客候车时间不超过站的时刻是随机的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的分钟的概率。概率。引例引例2 如果在一个如果在一个5平方公里的海域里有表面达平方公里的海域里有表面达40平方公平方公

15、里的大陆架蕴藏着石油，假设在这海域里随意任取一点里的大陆架蕴藏着石油，假设在这海域里随意任取一点钻探，问钻到石油的概率是多少？钻探，问钻到石油的概率是多少？引例引例3 在在400ml的自来水中有一个大肠杆菌，今从中随的自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出机取出2ml水，放在显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概水，放在显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率是多少？率是多少？定义定义：性质：性质：1 非负性非负性 2 2 规范性规范性 3 3 可加性可加性 一、一、几何概型几何概型计算公式：计算公式：若随机试验满足以下条件，则称其为几何概型。若随机试验满足以下条件，则称其为几何概型。1 有无限个样本点，

16、且样本空间是几何空间中的一个有无限个样本点，且样本空间是几何空间中的一个 有限区域。有限区域。2 2 样本点落在有限区域的概率与区域的度量大小成正比样本点落在有限区域的概率与区域的度量大小成正比 而与区域的位置形状无关。而与区域的位置形状无关。例例1 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到站，乘客到达分钟有一辆汽车到站，乘客到达汽车站的时刻是随机的，求一个乘客候车时间不超过汽车站的时刻是随机的，求一个乘客候车时间不超过3分分钟的概率。钟的概率。例例2（会面问题）（会面问题）两人相约某天两人相约某天5点至点至6点在某地点会面，点在某地点会面，先到者等先到者等 候另一人候另一人20分钟

17、分钟，过时离去。试求这两个人能，过时离去。试求这两个人能会面的概率。会面的概率。例例3 从（从（0，1）内任意取两个数，求这两个数的乘积小于）内任意取两个数，求这两个数的乘积小于 1/4的概率。的概率。例例4（Buffon投针问题）平面上画着一些平行线，它们之投针问题）平面上画着一些平行线，它们之 间的距离为间的距离为a，向此平面内任投一长度为向此平面内任投一长度为L（La）的的针，求此针与某一针，求此针与某一 行线相交的概率。行线相交的概率。则称则称 F F为为-代数（代数（-域）域）2.2.-代数代数 设事件集合设事件集合F F 满足：满足：则称则称 F F 为布尔代数为布尔代数.3.3.

18、事件域事件域 若若F F由样本空间由样本空间 的一些子集构成一个的一些子集构成一个 域，则称它为域，则称它为 事件域。事件域。F F中的元素称为事件。中的元素称为事件。1.布尔代数布尔代数二二、事件域、事件域 设设 是是集合，集合，F F是由是由 的一些子集组成的集合族的一些子集组成的集合族,如果满足：如果满足：（P.1）非负性：非负性：（P.2）规范性：规范性：（P.3）可列可加性：可列可加性：若若 设设 -样本空间样本空间 F F事件域事件域 P概率概率称三元总体（称三元总体（，F F，）为概率空间。为概率空间。三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义2）概率是定义在概率是定义在事件域事件

19、域上非负上非负 规范规范 可列可加的集合函数。可列可加的集合函数。四、四、概率空间概率空间 1）定义在事件域定义在事件域F F上的集合函数上的集合函数P称为概率，称为概率，如果满足：如果满足：五五 概率的性质概率的性质（1）.（2）5 对任意两个事件对任意两个事件A，B 有：有：推广：推广：推论：推论：6 概率的连续性概率的连续性定义：定义：对于对于 F F上集合函数上集合函数P P，若对于若对于F F中的任一单调中的任一单调不减不减(增）的事件序列增）的事件序列 均成立均成立:则称函数为下则称函数为下 （上）连续的（上）连续的.性质：性质：若若P P是是F F上的非负、规范的集函数，则上的非

20、负、规范的集函数，则P P具有可列可具有可列可加性的充要条件是加性的充要条件是 1)P1)P是有限可加的；是有限可加的；2 2）P P在在F F上是下连上是下连续的续的.六、应用概率性质计算概率六、应用概率性质计算概率例例1则则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？中至少发生一个的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是都不发生的概率是多少？多少？例例2 生日问题生日问题 1）500个人中至少有一人的生日在个人中至少有一人的生日在7月月1日的概率是多少？日的概率是多少？2）n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？10 15 20 23 50 55 0.1

21、2 0.25 0.41 0.51 0.97 0.99 n p 在一个有在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，假设每个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起假设每个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的礼物中随机地抽取一件，问的礼物中随机地抽取一件，问1）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？2）恰好有）恰好有r个人拿到自己礼物的概率是多少？个人拿到自己礼物的概率是多少？例例5（配对问题）（配对问题）例例3 3 从从1-91-9这这9 9个数字中有放回地抽取个数字中有放回地抽取n n个数字，求个

22、数字，求:这这n n个个数字的乘积能被数字的乘积能被1010整除的概率整除的概率.例例4 4 从一副扑克牌（从一副扑克牌（5252张）中任取张）中任取1010张，求下列事件的概张，求下列事件的概率：率：习题课习题课 概率定义及性质概率定义及性质 一一 随机事件及运算随机事件及运算 1 随机试验随机试验 2 样本点样本点 3 样本空间样本空间 4 随机事件随机事件 5 基本事件基本事件 6 必然事件必然事件 7 不可能事件不可能事件 5）概率的公理化定义概率的公理化定义 2 2 概率的性质概率的性质 （加法公式）（加法公式）1）古典概率古典概率 2）几何概率几何概率 二二 事件的概率及性质事件的

23、概率及性质1 1 定义定义3）统计概率）统计概率 概率空间概率空间 三三 概率模型概率模型 例题分析例题分析 例例1 同时掷两枚骰子，求事件同时掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于为出现的点数之和等于3 的概率。的概率。解解 （1）设）设 表示表示 出现的点数之和为出现的点数之和为i 错误解法错误解法 解解 2）掷两枚骰子可能出现的点数为）掷两枚骰子可能出现的点数为（1，1）（）（1，2）（1，6）（2，1）（）（2，2）（2，6）（6，1）（6，6）所以所以 n=36 k=2由古典概型概率计算公式：由古典概型概率计算公式：例例2 n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求个朋友随机地围绕圆桌而坐，求

24、 甲、乙两人坐在一起的概率。甲、乙两人坐在一起的概率。甲、乙、丙坐在一起的概率。甲、乙、丙坐在一起的概率。例例3 任取一个正整数，求下列事件的概率任取一个正整数，求下列事件的概率1）该数的平方的末位数字是）该数的平方的末位数字是12）该数的四次方的末位数字是）该数的四次方的末位数字是13）该数的立方最后两位数字都是）该数的立方最后两位数字都是1例例4 袋中有编号为袋中有编号为1，2，3，4的的4个球，现从袋中不放回个球，现从袋中不放回地取地取4次，每次取一个球，求没有一个球的号码数与抽取次，每次取一个球，求没有一个球的号码数与抽取顺序相同的概率。顺序相同的概率。例例5 将长度为将长度为a 线段任意折成三段，试求此三段能构成三线段任意折成三段，试求此三段能构成三角形的概率。角形的概率。补充习题补充习题 2 、一赌徒认为掷一颗骰子、一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次次至少出现一次6点与掷两颗点与掷两颗骰子骰子24次至少出现一次双次至少出现一次双6点的机会是相等的。你认为如点的机会是相等的。你认为如何？何？3、一间宿舍内有一间宿舍内有6位同学，求他们之中至少有位同学，求他们之中至少有2人的生日人的生日在同一月份的概率。在同一月份的概率。