概率统计第1章(张伟).ppt

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1、概率统计第概率统计第1章章(张伟张伟)内容与学时内容与学时第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验(18学学时时)数数理理统统计计(30学学时时)概概 率率 论论第一节随机事件及其运算一、随机试验一、随机试验二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间三、事件间的关系及其运算三、事件

2、间的关系及其运算一、随机试验一、随机试验对随机现象进行观察的试验,具有以下特点:1、可以在相同的条件下重复进行;2、试验的可能结果不止一个,并且在试验前能 预先知道全部可能结果;3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。例如例如E8 炮弹发射试验炮弹发射试验不能预先准确知道命中位置不能预先准确知道命中位置.二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间定义定义1:随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称为的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间的样本空间,记为记为 S,样本空间的元素样本空间的元素,即即E的每个结果,的每个结果,称为样本点称为样本点,记为记为e。.样本空间样本空间例:例:将

3、一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次1)观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况,2)观察正面出现的次数观察正面出现的次数,注意:注意:样本空间的元素是由样本空间的元素是由试验目的试验目的所决定的。所决定的。=HHH,HHT S S1 1=0,1,2,3 S S2 2.随机事件随机事件定义定义2 样本空间中的子集称为随机事件,简称事件,样本空间中的子集称为随机事件,简称事件,一般记为一般记为 A,B,C等。等。A 点数之和为点数之和为7,例:抛两个骰子,骰子可分辨,观察其出现的点数,例:抛两个骰子,骰子可分辨,观察其出现的点数,=(1,1),(1,2),(6,6)=(1,1),(1,2),(6,

4、6)A=(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)3.基本事件:基本事件:一个样本点组成的单点集一个样本点组成的单点集(试验试验E的每个的每个可能结果)可能结果)例:例:有两个基本事件有两个基本事件 H 和和 T 1.必然事件必然事件:每次试验中必然发生的事件每次试验中必然发生的事件,记为记为 S S。2.不可能事件不可能事件:每次试验一定不发生的事件每次试验一定不发生的事件,记记事件事件A发生发生A中的某一个样本点在试验中出现中的某一个样本点在试验中出现1、事件间的关系、事件间的关系2、事件的运算、事件的运算第二节、事件间的关系及其运算第二节、事件间的关系及其运算

5、 包含、相等关系包含、相等关系A发生必然导致发生必然导致B发生发生1.1.事件的关系事件的关系事件事件B包含包含事件事件AA与与B相等相等,记为记为 A=B。事件的和事件的和A和和B的和事件的和事件表示表示A与与B中至少有一个发生,即:中至少有一个发生,即:A与与B中至少有一个发生时,中至少有一个发生时,发生。发生。事件的积事件的积表示事件表示事件A和和B同时发生,同时发生,即:即:且且A与与B的积事件的积事件当且仅当当且仅当A与与B同时发生时,同时发生时,通常简记为通常简记为AB。发生。发生。事件的差事件的差A-B 表示事件表示事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生但但互不相容事件互不相容

6、事件,则称,则称A,B为互不相容事件为互不相容事件即:即:AB不能同时发生。不能同时发生。基本事件都互不相容。基本事件都互不相容。A与与B的差事件的差事件对立事件对立事件(逆事件逆事件)且且,则称事件,则称事件A与与B互为逆事件互为逆事件或互为对立事件。或互为对立事件。A的对立事件记为的对立事件记为,=S S-A。2.事件的运算法则事件的运算法则交换律交换律;结合律结合律分配律分配律德德摩根律:摩根律:;推广推广:;,则,则,设设注:事件的一些关系式注:事件的一些关系式例例1.设设A,B,C 表示三个事件表示三个事件,试表示下列事件试表示下列事件(1)A 发生发生,B 与与C 不发生不发生(2

7、)A 与与B 发生发生,C 不发生不发生(3)A,B 与与C 都发生都发生(4)A,B 与与C 至少有一个发生至少有一个发生(5)A,B 与与C 全不发生全不发生(6)A,B 与与C 至少有两个发生至少有两个发生 例例2 2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道道 1 1,2 2,3 3 组成。每个水源都可以供应城市的用水。组成。每个水源都可以供应城市的用水。设事件设事件 Ak 表示第表示第 k 号管道正常工作,号管道正常工作,k=1,2,3。B 表示表示“城市能正常供水城市能正常供水”,城市城市甲甲乙乙123解:解:试用试用表示表示二、概率的

8、统计定义 一、频率 第三节 频率与概 率三、概率的公理化定义 1.定义:设 E,S,A为E中某一事件,在相同条件进行n次独立重复试验,事件A发生的次数记为称为A的频率。(frequency)一、频率则比值2.性质:01若两两互不相容结论:当n较小时,频率呈偶然性,波动性很大;随着n的增加,波动幅度减小,最后集中在某一个数附近。历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验,所得结果如下:试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面的次数正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005频 率 稳 定 值 概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事

9、件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义这种称为频率稳定性,也就是通常所说的统计规律性,频率稳定值即概率的统计定义。二、概率(概率的公理化定义)1.定义定义 设 E,S,对于E的每一事件A,赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果P()满足以下三个公理:非负性:规范性:可列可加性:2.性质性质:有限可加性其中两两互不相容。如果则证明 且 A 和 BA互不相容得式成立;,01证明证明(加法公式)推广:推广:例例1、解:解:例例2 2 某人外出旅游两天,据天气预报知:第一天下雨的概率为某人外出旅游两天,据天气预报知:第一天下雨的概率为0.60.6,第二天下雨的

10、概率为,第二天下雨的概率为0.30.3,两天都下雨的概率为,两天都下雨的概率为0.10.1试求下列事件的概率:试求下列事件的概率:(2)第一天不下雨,第二天下雨第一天不下雨,第二天下雨(1)第一天下雨,第二天不下雨第一天下雨,第二天不下雨(3)至少有一天下雨至少有一天下雨(4)至少有一天不下雨至少有一天不下雨解:解:设设A第一天下雨,第一天下雨,B第二天下雨第二天下雨则则(1)(2)(3)(4)例例3 (订报问题订报问题)在某城市中,共发行三种报纸在某城市中,共发行三种报纸A,B,C,订购,订购A,B,C的用户占用分别为的用户占用分别为45%,35%,30%,同时订购同时订购A,B的占的占10

11、%,同时订购,同时订购A,C的占的占8%,同,同时订购时订购B,C的占的占5%,同时订购,同时订购A,B,C的占的占3%,试,试求下列事件的概率:求下列事件的概率:(1)只订购只订购A的的(2)只订购只订购A,B的的(3)只订购一种报纸的只订购一种报纸的(4)只订购两种报纸的只订购两种报纸的(5)至少订购一种报纸的至少订购一种报纸的(6)不订购任何报纸的不订购任何报纸的解解 设设A,B,C分别表示分别表示“用户订购用户订购A,B,C 报纸报纸”(1)(2)(3)两两互不相容的两两互不相容的(4)两两互不相容(5)(6)例例4 4 已知已知求求 A,B,C A,B,C 中至少有一个发中至少有一个

12、发解解生的概率。生的概率。例例5 证明证证例例6,求解解AB例例7,求解解SAB 故事发生在十七世纪中叶,法国贵族德故事发生在十七世纪中叶,法国贵族德美黑热衷美黑热衷于赌博,经常遇到赌资分配问题。他曾写信向当时法国于赌博,经常遇到赌资分配问题。他曾写信向当时法国的大数学家的大数学家Pascal 请教问题:请教问题:假如一场比赛中先胜假如一场比赛中先胜6局才算赢,两个赌徒在一人局才算赢,两个赌徒在一人胜五局,另一人胜两局的情况下中断赌博,如何分配胜五局,另一人胜两局的情况下中断赌博,如何分配赌金?赌金?Pascal 和当时第一流的数学家和当时第一流的数学家 Fermat 一起研究了一起研究了此问

13、题,得到正确的解答此问题,得到正确的解答:15:1.依据依据 3)其中仅有第一个赌徒四局皆输,其中仅有第一个赌徒四局皆输,第二个赌徒才可能赢第二个赌徒才可能赢.解解:1)设想再进行设想再进行4 局比赛即一定可结束局比赛即一定可结束;2)共有共有24 种可能情况,每一种情况出现是等可能的种可能情况,每一种情况出现是等可能的.16种可能情况中种可能情况中,仅有仅有“第一个赌徒四局皆输第一个赌徒四局皆输”一种情况有利于第二个赌徒,故一种情况有利于第二个赌徒,故P1=15/16,P1=1/16 15:1结论结论:第四节第四节 等可能概型等可能概型一、等可能概型的定义一、等可能概型的定义二、计算公式二、

14、计算公式三、计算方法三、计算方法1.定义定义:具有以下两个条件的随机试验称为具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型等可能概型有限性有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个;试验的样本空间中的元素只有有限个;等可能性等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。每个基本事件的发生的可能性相同。例:例:E1抛硬币抛硬币,观察哪面朝上观察哪面朝上等可能概型也称为等可能概型也称为古典概型古典概型。E2投一颗骰子投一颗骰子,观察出现的点数观察出现的点数=H,T S S1 1=1,2,3,4,5,6S S2 2 2.计算公式:计算公式:若事件若事件A包含包含k个基本事件,即个基本事件,即则有则有排列与组合排

15、列与组合1、乘法原理、乘法原理若进行若进行A1过程有过程有n1 种方法,种方法,若进行若进行A2过程有过程有n2 种方法,种方法,2、加法原理、加法原理 进行进行A1过程有过程有n1 种方法,进行种方法,进行A2过程有过程有n2 种方法,假定种方法,假定A1过程与过程与A2 过程是并行的,则进行过程是并行的,则进行A1过程或进行过程或进行A2 过程的有过程的有种方法。种方法。3 3、排列排列 从包含有从包含有n 个元素的总体中取出个元素的总体中取出 k 个进行排个进行排列,这时既要考虑取出的元素,也要顾及其取出的顺列,这时既要考虑取出的元素,也要顾及其取出的顺序,这种排列可分为两种:序,这种排

16、列可分为两种:1)有放回的选取有放回的选取 从从 n 个元素中取出个元素中取出 k 个进行排列个进行排列,其排列总数共有其排列总数共有nk 种种。此为此为选排列选排列。特别当特别当 k=n 时,称为时,称为全排列全排列。n 个元素的全排列数为:个元素的全排列数为:2)无放回的选取无放回的选取从从 n 个元素中取出个元素中取出 k 个进行排列个进行排列,由于取后不放回,由乘法原理可知,其总数为由于取后不放回,由乘法原理可知,其总数为4 组合组合 从从 n 个元素中取出个元素中取出 k 个元素进行排列(不个元素进行排列(不考虑其顺序)称为考虑其顺序)称为组合。组合。其总数为:其总数为:下面举例说明

17、古典概型的计算。下面举例说明古典概型的计算。例例1 1 6 6只不同球只不同球(4(4白白2 2红红),从袋中依次取两球,观察其颜色。,从袋中依次取两球,观察其颜色。分别做分别做 a.a.有放回抽样有放回抽样 b.b.不放回抽样,求下列事件的概率:不放回抽样,求下列事件的概率:(1)“取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球”(2)“取到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同”(3)“取到的两只球中至少有一个是白球取到的两只球中至少有一个是白球”解解 a.有放回有放回 (1)(2)(乘法原理乘法原理)S:66=36(3)表示表示“两只都是红球两只都是红球”,(1)(2)(3)b.无放回无放回(考

18、虑先后顺序考虑先后顺序)(乘法原理乘法原理):65=30思考:思考:如果不考虑先后顺序呢?如果不考虑先后顺序呢?例例某教研室共有某教研室共有11 11 名教师名教师,其中男教师其中男教师7 7 人人,现在现在要选要选 3 3 名优秀教师名优秀教师,问其中至少有一女教师概率。问其中至少有一女教师概率。解解(方法一方法一)设设 A=“3 名优秀教师中至少有一名女教师名优秀教师中至少有一名女教师”=“3 名优秀教师中恰有名优秀教师中恰有 名女教师名女教师”则则方法二 设 A=“3 名优秀教师全是男教师”注:在使用排列组合时,分子分母要保持一致。例例 总经理的总经理的 5 位秘书中有位秘书中有 2 位

19、精通英语。今遇到位精通英语。今遇到其中的其中的3位,求下列事件的概率。位,求下列事件的概率。1、A“其中恰有一位精通英语其中恰有一位精通英语”2、B “其中恰有两位精通英语其中恰有两位精通英语”3、C “其中有人位精通英语其中有人位精通英语”解解 在在5位秘书中任取位秘书中任取3位的可能取法数为位的可能取法数为1、3人中恰有一位精通英语是指其中人中恰有一位精通英语是指其中 1 人精通英语、人精通英语、其余其余2位不精通英语,由乘法原理共有位不精通英语,由乘法原理共有2、是指其中是指其中2位精通英语,同时另一位不精通英语位精通英语,同时另一位不精通英语3、其中有人位精通英语其中有人位精通英语,是

20、指至少有一人精通英语,是指至少有一人精通英语,其为其为三人都不精通英语的逆事件。三人都不精通英语的逆事件。例例 袋中有袋中有a只黑球和只黑球和b只白球,只白球,k个人把球随机的一只只个人把球随机的一只只摸出来,求第摸出来,求第i个人摸出的是黑球的概率。个人摸出的是黑球的概率。解解 将将k个人取球的每一种取法看成一个样本点个人取球的每一种取法看成一个样本点例例5(分房问题分房问题)将将r个球随机地放入个球随机地放入n(nr)个盒子中,个盒子中,设各个球放入每个盒子是等可能的,设各个球放入每个盒子是等可能的,解解求:每个盒子至多有一个球的概率。求:每个盒子至多有一个球的概率。将将r个球放入个球放入

21、n个盒子,每一种方法是一个基本事件个盒子,每一种方法是一个基本事件例例6(生日问题生日问题)设每个人的生日在一年设每个人的生日在一年365天中的任一天中的任一天是等可能的天是等可能的,即都等于即都等于,那么随机选取那么随机选取n(365)人。人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少?他们的生日各不相同的概率为多少?(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少?个人中至少有两个人生日相同的概率为多少?解解 (1)设设 A=“n个人的生日各不相同个人的生日各不相同”(2)设设 B=“n个人中至少有两个人生日相同个人中至少有两个人生日相同”当当 n 等于等于64时,在时,在64人的班级中,人的班级

22、中,B发生的概率发生的概率接近于接近于1,即,即 B几乎几乎 总是会出现。总是会出现。例6某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的?解:假设接待站的接待时间没有规定,各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么,12 次接待来访者都在周二、周四的概率为:212/712=0.0000003,即千万分之三。人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了,从而推断接待站不是每天都接待来访者,即认为其接待时间是有规定的。第四节第四节

23、 条件概率条件概率一 条件概率二 乘法公式三 全概率公式与贝叶斯公式 第一章 引例:取一副牌,随机的抽取一张,问:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。解:A 抽中的是红桃,B 抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性吗?一一 条件概率条件概率1、定义定义:设 A,B为两事件,且则称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。3.设是两两互不相容的事件则条件概率满足概率公理化定义中的三个公理:2.性质:条件概率类似满足概率的6条性质。(1)在缩减样本空间中求概率(实际意义法)(2)定义法例1一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,现任取一件,结果不是三等

24、品,求是一等品的概率。解 则由已知得2、条件概率的求法定理 设,则有推广 其中,则有或二、乘法公式推广到n个事件,如果则有一批零件共100件,其中有10 件次品,每次从其中任取一个零件,取后不放回。试求:2)如果取到一个合格品就不再取下去,求在3 次内取到合格品的概率。1)若依次抽取3 次,求第3 次才抽到合格品的概率;“第 次抽到合格品”解:设例2.1)2)设“三次内取到合格品”则且互不相容设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影票,问各人获得此票的机会是否均等?解 设“第 名学生抓到电影票”i=1,2,30例3、同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票三、全概率公式与贝

25、叶斯(Bayes)公式定义(1)(2)则称注:对每次试验,例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为,1、全概率公式定理 设随机试验E的样本空间为A为E的事件,则有全概率公式证:两两互不相容注意:全概率公式一般适用于前提未知或者前一步骤未知情况下,求某一事件的概率,需要根据具体情况构造一组完备事件组。特别地,若取n2,则事件B 和构成一个划分,于是可得例4、假设有甲、乙两袋,甲袋中有3个白球2个红球,乙再从乙中任取一球,问取到白球的概率为多少?解 设 A 从乙中取到白球,B 从甲中取到白球 袋中有2个红球3个白球,今从甲中任意取一只放入乙中,=例5.一批产品共100件,其中有4件次品

26、.每次抽取一件检验,有放回,连续抽取检验3 次.如发现次品,则认为这批产品不合格.但检验时,一正品被误判为次品的概率为0.05,而一次品被误判为正品的概率为0.01,求这批产品被认为是合格品的概率。解:设 A=“任取一件被认为是合格品”,B=“任取一件是次品”,C=“这批产品被认为合格品”由题意运用全概率公式计算P(A)2、贝叶斯公式定理设随机试验E的样本空间为,A为E的任意一个事件,为的一个划分,且则,称此式为贝叶斯公式。注意:贝叶斯公式一般适用于由果导因的问题。例6.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45,35,20,且各车间的合格品率为0.96,0.98,0.

27、95,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大?解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产,设 A 表示“任取一件产品为次品”由题意得由贝叶斯公式所以该产品是甲车间生产的可能性最大。用全概率公式求得例7、某炮台有3门炮,第1、2、3门炮的命中率分别为0.4,0.3,0.5,3门炮各发射一枚炮弹,如果有两枚命中目标,求第1门炮命中目标的概率。解:A两枚命中目标,B第1门炮命中目标例8、A某种临床试验呈阳性B被诊断者患有癌症根据以往的临床纪录,癌症患者某项实验呈阳性的概率为0.95,而正常人该试验成阴性的概率为0.95,已知常人患癌症的概率为0.005,现对自然人群进行

28、普查,如果某人试验呈阳性,求他患癌症的概率有多大?解由题,已知 解 设 事件A 表示“作弊成功”例9 考试监考问题,设如果严格监考,作弊成功的概率为1,如果不严格监考,则作弊成功的概率为15,某学校严格监考的概率为0.7,求学生作弊成功的概率。事件 B表示“严格监考”由题意 解 设 事件A 表示“作弊成功”例9考试监考问题,设如果严格监考,作弊成功的概率为1,如果不严格监考,则作弊成功的概率为15,某学校严格监考的概率为0.7,如果某次考试有学生作弊成功,求该考试监考不严格的概率。事件 B表示“严格监考”由题意第五节第五节 事件的相互独立性事件的相互独立性 第一章 引例:E 掷两枚硬币,观察正

29、反面的情况A 甲币出现H,B 乙币出现H=HH,HT,TH,TT由此看出一、两个事件相互独立 定义1设A、B是两个事件,如果有如下等式成立则称事件A、B相互独立。定理 设 A、B是两个事件 若,则A、B 相互独立的充分必要条件为 若A、B 相互独立,证相互独立,则有反之,由乘法公式 若,则A、B 相互独立的充分必要条件为性质 时,互不相容与相互独立不能同时成立。证 A、B互不相容反之 A、B 相互独立,故A、B不可能互不相容。证:其余同理可证。当 若A、B 相互独立,则二、多个事件的相互独立性若下面四个等式同时成立定义2则称A,B,C相互独立相互独立,如果只有前三个等式成立,则称A,B,C两两

30、独立。注:A,B,C相互独立两两独立推广:同时成立,性质:(1)其中任意k个事件也相互独立;若n个事件相互独立(2)其中任意k个事件的逆事件与其余的事件组成的n个(3)事件仍然相互独立。例1、甲乙两人各自同时向一架飞机射击,两人的命中率分别为0.6,0.5,求飞机被命中的概率。解:A 甲击中飞机,B 乙击中飞机,C 飞机被击中=0.8对于例1,或者利用利用德摩根律,把求和事件的概率转化为求积事件的概率,这种方法在解决独立性的问题中经常用到。注:判断独立性问题时,可以根据具体问题分析,或者题目会告知是否独立。例2、设某型号高炮命中率为0.6,现若干门炮同时发射(每炮一发),欲以99%以上的把握击中来犯的一架敌机,至少需要配备几门炮?解:设需n门炮,所以至少需要配备6门高炮。第一章结束第一章结束请注意复习!请注意复习!

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