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1、概率统计第概率统计第3章章定义定义1 1 设随机试验设随机试验的样本空间是的样本空间是设设和和是定义在是定义在上的随机变量，则由它们构成的一上的随机变量，则由它们构成的一个向量个向量称为称为二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量。定义定义2 设设是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数，或，或联合分布函数联合分布函数。第一节第一节 二维随机变量二维随机变量 二维分布函数的几何意义二维分布函数的几何意义处的函数值处的函数值:在在随机点随机点落在以落在以为顶点的左下方为顶点的左下方矩形开域上的概率。矩
2、形开域上的概率。所以所以性质：性质：是变量是变量 和和的不减函数，即的不减函数，即对任意固定的对任意固定的，当，当时，时，对任意固定的对任意固定的，当，当时，时，关于关于右连续，即右连续，即例例1.设设的分布函数为的分布函数为求常数求常数的值及概率的值及概率解解 由分布函数的性质由分布函数的性质得得定义：定义：若二维随机变量若二维随机变量的所有可能取值的所有可能取值是有限对或可列无限多对时，则称是有限对或可列无限多对时，则称为为离散型随机变量离散型随机变量。一、二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量的的分布律分布律。则称则称(1)式为二维随机变量式为二维随机变量满足：满足：例例1 1 例例2
3、.2.一袋中有四个球一袋中有四个球,上面分别标有数字上面分别标有数字1,2,2,3.1,2,2,3.从从袋中任取一球后不放回袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球再从袋中任取一个球,以以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求的分布律。的分布律。解解可能取值均为可能取值均为1,2,3.1,2,3.同理可得所以的分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 1 2 3定义：定义：设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数为若存在若存在使得对任意实数使得对任意实数总有总有则称则称为为二维连续型随机变量
4、二维连续型随机变量,称为称为的的概率密度概率密度,或称为随机变量或称为随机变量和和的的联合概率密度联合概率密度。二、二维连续型随机变量二、二维连续型随机变量若若在点在点连续，则有连续，则有,即连续型随机变量在某点的即连续型随机变量在某点的概率为概率为0。G表示表示xoy平面上的区域平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以落在此区域上的概率相当于以 G为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体体积。为顶的曲顶柱体体积。注：注：f(x,y)的性质的性质:例例3 设二维随机变量设二维随机变量的概率密度的概率密度试求：试求：常数常数的值；的值；分布函数分布函数 概率概率 概率概率解解 由概率密度的性质由概率
5、密度的性质得得,从而得从而得 由分布函数的性质由分布函数的性质 将将看作平面上随机点的坐标，有看作平面上随机点的坐标，有例例4 设二维随机变量设二维随机变量的概率密度为的概率密度为试求概率试求概率解解 积分区域如右图所示积分区域如右图所示的分布函数为的分布函数为例例5 已知已知试求：试求：的概率密度的概率密度解解 二维均匀分布二维均匀分布二元正态分布二元正态分布边缘分布 第三章 二、边缘分布律二、边缘分布律一一、边缘分布函数、边缘分布函数 三、边缘概率密度三、边缘概率密度第二节一、一、边缘分布函数边缘分布函数 的分布函数为的分布函数为分别分别的分布函数为的分布函数为设设记记和和的的边缘分布函数
6、边缘分布函数。，称为关于，称为关于和和则则同理可得同理可得研究问题：研究问题：已知联合分布，怎样求已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。的边缘分布。解解:的边缘分布函数为的边缘分布函数为关于关于例例1:1:已知已知的分布函数为的分布函数为的边缘分布函数的边缘分布函数和和求求关于关于问问各服从什么分布？各服从什么分布？同理，同理，二、二、离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 设设的分布律为的分布律为则则关于关于的边缘分布律为的边缘分布律为记做记做记做记做同理同理通常用以下表格表示通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律的分布律和边缘分布律例例2 2三、连续型随机变量的边缘概率密
7、度三、连续型随机变量的边缘概率密度若若是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,其概率密度为其概率密度为则则:同理同理关于关于X 和和Y 的边缘概率密度。的边缘概率密度。分别是分别是解解:例例3.上服从均匀分布上服从均匀分布,密度密度 和和的概率密度为的概率密度为x xy y0 01 1y=xy=xx xy y0 01 1y=xy=x解解:例例3.上服从均匀分布上服从均匀分布,密度密度 和和的概率密度为的概率密度为例例4 已知已知解解例例5 已知已知解解由对称性得注：注：联合分布边缘分布相互独立的随机变量 第三章 二、二、n个随机变量的独立性个随机变量的独立性 一、两个随机变量的独立性一、两个
8、随机变量的独立性 第三节均有均有一、两个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性定义定义1 1 若二维随机变量若二维随机变量对任意的实数对任意的实数成立，则称随机变量成立，则称随机变量是是相互独立相互独立的。的。即即1)对于离散型的随机变量对于离散型的随机变量2)对于连续型的随机变量对于连续型的随机变量几乎处处成立。几乎处处成立。例例1 1 设随机变量设随机变量相互独立，试确定相互独立，试确定 a,b,c 的值？的值？解：解：因为因为相互独立相互独立例例2 2 设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为试问试问与与是否相互独立是否相互独立?解解 因为因为关于关于的边缘概率密度的边缘概率密度故
9、故与与是相互独立的。是相互独立的。例例3.（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们到达时间均匀分布在晚上到达时间均匀分布在晚上7:007:30,且时间相互独立且时间相互独立,求：两人在求：两人在5分钟之内能见面的概率。分钟之内能见面的概率。解解 设张三到达的时间为设张三到达的时间为X；李四到达的时间为；李四到达的时间为Y，所以，所以，所求概率为所求概率为注：注：关于正态分布的重要结论。关于正态分布的重要结论。二、二、n个随机变量的独立性个随机变量的独立性定理定理 设随机变量设随机变量相互相互独立，独立，h,g 是连续函数，则随机变量是连续函数，则
10、随机变量也相互独立。也相互独立。二维随机变量的函数的分布 第三章 一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布 第四节二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量的函数的分布一、二维离散型随机变量的函数的分布 设离散型随机变量设离散型随机变量的分布律为的分布律为设设为二元函数，为二元函数，求求的分布律。的分布律。当当时，时，Z 相应的值为相应的值为且有且有例例 1例例2 假设随机变量假设随机变量 X 与与 Y 相互独立，它们分别服从相互独立，它们分别服从参数为参数为的泊松分布。求的泊松分布。求的分布律。的分布律。解解 由题意可知由题意可知故故故故
11、泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性二、二维连续型随机变量的函数的分布二、二维连续型随机变量的函数的分布.Z=X+Y 的分布的分布已知已知(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y),求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。Z=X+Y的分布函数为的分布函数为解：解：令令 x=u-y,则则而特别地特别地,当当X 与与Y 相互独立时相互独立时,有有上式称为上式称为的卷积公式的卷积公式,记为记为例例 3例例4 假设假设 X 和和Y 相互独立相互独立,且都服从标准正态分布，且都服从标准正态分布，解解由题意可知由题意可知X 与与Y 的概率密度分别为的概率密度分别为由卷积公式可得由卷积公式可得 Z 的概率
12、密度为的概率密度为结论：结论：正态分布的可加性正态分布的可加性若随机变量若随机变量相互独立，并且相互独立，并且,则则例例5 5 设随机变量设随机变量X,Y 相互独立，相互独立，X 服从区间服从区间(0,1)上的上的上的均匀分布，上的均匀分布，Y 服从服从的指数分布，试求随机的指数分布，试求随机变量变量 Z=X+Y 的概率密度函数。的概率密度函数。例例5 5 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为解：解：.M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布的分布(随机变量相互独立）随机变量相互独立）X和和Y的分布函数的分布函数解解的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为所以
13、所以推广推广 当当独立同分布时，随机变量独立同分布时，随机变量的分布函数为的分布函数为例例7 设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量相互独立且与相互独立且与X 有相同的有相同的分布分布,试求随机变量试求随机变量的概率的概率密度和密度和解解 X 的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为所以所以M 的概率密度为的概率密度为所以，所以，例例8 8 设系统设系统L 由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统 备用（当系统备用（当系统1损坏时，系统损坏时，系统2开始工作）。开始工作）。设设试求系统试求系统 L 的寿命的寿命Z 的概率密度。的概率密度。连结而成，连接的方式分别为连结而成，连接的方式分别为 串联；串联；并联；并联；的寿命分别为的寿命分别为X,Y,并且并且解解 由题意可得由题意可得则(3)Z=X+Y第三章结束第三章结束请注意复习！请注意复习！