概率与数理统计第1章.ppt-淘文阁

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1、概率与统计概率与统计开课系：理学院开课系：理学院统计与金融数学系统计与金融数学系课程主页课程主页:http:/e-mail:stat 概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学第一章第一章随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其运算随机事件及其运算概率的定义及其运算概率的定义及其运算条件概率条件概率事件的独立性事件的独立性 1.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试

2、验”)随机试验的特点(p2)1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为E E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。随机实验的例二、样本空间二、样本空间(p2)1.样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S=e；2.样本点:试验

3、的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为e.随机事件随机事件 1.1.定义定义(p3)(p3)试验中可能出现或可能不出现的情况试验中可能出现或可能不出现的情况叫叫“随机事件随机事件”,”,简称简称“事件事件”.”.记作记作A A、B B、C C等等任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称称事件事件A A发生发生当且仅当试验的结果是子集当且仅当试验的结果是子集A A中的元素中的元素2.2.两个特殊事件两个特殊事件:必然事件必然事件S S 、不可能事件、不可能事件.(.(p3)p3)例如例如:对于试

4、验对于试验E E4 4，以下，以下A A、B B、C C即为三个即为三个随机事件随机事件A A“至少出一个正面至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THHHHH,HHT,HTH,THH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH；B=“B=“两次出现同一面两次出现同一面”=HHH,TTT”=HHH,TTTC=“C=“恰好出现一次正面恰好出现一次正面”=HTT”=HTT，THTTHT，TTHTTH三、事件之间的关系三、事件之间的关系 1.1.包含关系包含关系(p4)(p4)“A“A发生必导致发生必导致B B发生发生”记为记为A A B B A AB B A A B B且且B B A.A.2.2.

5、和事件：和事件：和事件：和事件：(p4)“事件事件事件事件A A与与与与B B至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生”，记作，记作，记作，记作A A B B2n个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作3.积事件积事件(p4):A与与B同时发生，记作同时发生，记作 A BAB3n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An4.差事件差事件(p4)：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件A发生而发生而B不不发生发生5.互斥的事件互斥的事件(p5)：AB 6.互逆的互逆的事件事件(p5)A B ,且且AB 五、事

6、件的运算五、事件的运算(p5)1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、德摩根德摩根(De Morgan)律律：1.2 概率的定义及其运算概率的定义及其运算从直观上来看，事件从直观上来看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A发发生的可能性生的可能性P（A A）应具有何种性质？应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多

7、少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的概率有多大？(p6)若某试验若某试验E满足满足1.有限性：样本空间有限性：样本空间Se1,e 2 ,e n;2.等可能性：（公认）等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en).则称则称E为古典概型也叫为古典概型也叫等可能概型。等可能概型。1.2.1.古典概型与概率古典概型与概率设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有P(A)具有如下性质(P7)(1)0 P(A)1；(2)P(S)1；P()=0(3)AB，则 P(A B)P(A)P(B)二、古典概型的几类基本问题二、古

8、典概型的几类基本问题1、抽球问题、抽球问题例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-取到一红一白3.分组问题分组问题例例3 30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均分名学生平均分成成3组，求：组，求：（1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组名运动员集中在一组1.3 频率与概率频率与概率历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币试图证明抛掷匀质硬币时，出

9、现正反面的机会均等。时，出现正反面的机会均等。实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005 频率的性质频率的性质(1)0 fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性：若可加性：若AB ，则则 fn(A B)fn(A)fn(B).1.3.2.概率的公理化定义概率的公理化定义注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以

10、从这些性质出发，给出概率的公理化定义1.定义定义(p10)若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性非负性：P(A)0；(2)规范性：P(S)1；(3)可列可加性可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.(1.1)则称P(A)为事件A的概率概率。2.概率的性质概率的性质 P(10-12)(1)有限有限可加性可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij),i,j1,2,n,则有 P(A1 A2 An)P(A1)

11、P(A2)+P(An);(4)加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(3)互补性互补性：P(A)1 P(A);(5)可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB).某某市市有有甲甲,乙乙,丙丙三三种种报报纸纸,订订每每种种报报纸纸的的人人数数分分别别占占全全体体市市民民人人数数的的30%,其其中中有有10%的的人人同同时时定定甲甲,乙乙两两种种报报纸纸.没没有有人人同同时时订订甲甲丙丙或或乙乙丙丙报报纸纸.求求从从该该市市任任选选一一人人,他他至至少少订订有有一一种报纸的概率种报纸的概

12、率.例例1.3.2.1.3.2.在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率；整除的概率；（2 2）取取到到的的数数即即不不能能被被2 2也也不不能能被被3 3整整除除的的概概率率；（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第二第二个人取得红球的

13、概率是多少？个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率一、条件概率例例1 1 设袋中设袋中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中任意抽个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，取两次，每次取一个，取后不放回，（1 1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率概率;（2 2）求第二次取到红球的概率；）求第二次取到红球的概率；（3 3）求两次均取到红球的概率。）求两次均取到红球的概率。S=AB何时何时P(A|B)=P(A)?P(A|B)=P(A)?

15、球颜色相同的球，若从盒中连续取球相同的球，若从盒中连续取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取次取得白球、第得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p15)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。定义定义 (p16)事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：A1A2AnB定理定理1、(p16)设设A1，,An是是S的一个的一个划分，且划分，且P(Ai)0，(

16、i1，n)，则对任何事件则对任何事件B S有有式式(1.4.4)就称为就称为全概率公式全概率公式。例例5(P16)有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一一球球，问问此此球球是是红红球球的的概概率率？甲乙定理定理2 2(p17)设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BS，有例6 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0

17、的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067条件概率条件概率条件概率小小结结缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式贝叶斯公式1.4.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立(P18)定义定义1 设A、B是两事件，P(A)0,若 P(B)P(B|A)(1.5.

18、1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于：P(AB)P(A)P(B)(1.5.2)定理、定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、(p19)若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)(1.5.4)则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 (1.5.5)

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