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1、期货和远期价格期货和远期价格一、准备知识（一）连续复利假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年复利m次，当m趋近于无穷大时（即连续复利），其终值为：如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式贴现n年，其现值为：2进而可以推导出连续复利和每年计m次复利的利率之间相互转换的公式：Rc是连续复利利率,Rm是每年计m次复利的利率.3同理，我们可以推算出任意两种复利方式下，等价利率的相互转换。4（二）卖空 参见44页投资者通过经纪人从其他客户处借证券来卖掉，所得价款进入自己的帐户，同时在经纪人处交纳一定的初始保证金。如果要平仓，则用自己帐户中的资金购买相应数量的证券归还原主。最初卖出证券所得一般为初始保证
2、金一部分，可在市场上流通的证券（短期国债）可能存放在经纪人处作为初始保证金。5如果在未平仓期间不能继续借到证券，则必须强制平仓，称为挤空。借券期间，空头客户必须将该证券的任何收入（如红利、利息）经经纪人转付给被借券的客户。6例：一投资者于4月底卖空了500股IBM股票，每股价格$120,7月份，当股票价格为$100时，投资者买回了这些股票，结清了这些头寸。假设5月份每股股票支付了$4的红利。计算该投资者的收益。解:投资者4月份建立空头头寸时，共收到：500$120$60，000；5月份红利使投资者需付出：500$4$2，0007月份投资者轧平头寸时，需付出：500$100=$50，000投资者
3、净收益为：$60,000$2,000$50,000$8,0007（三）假设 参见45页假定对部分市场参与者，以下几条成立：1、无交易费用；2、所有的市场利润（减去交易损失后的净额）使用同一税率；3、市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金；4、有套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。以上假设意味投资者一旦发现套利机会就进行套利，从而使套利机会很快消失。因此市场价格是无套利机会时的价格。8（四）再回购利率再回购协议(repo or repurchase agreement)是指证券所有者同意将其证券出售给另一方，之后再以稍高一些的价格将这些证券买回的协议。再回购协议实际上是以证券为抵押
4、的贷款，这种贷款几乎没有风险，因为如果借钱的公司不遵守协议的话，债权人只需保留证券即可。再回购利率(repo rate)。在回购协议中，证券出售和购回的价差就是对方的利息收益。以此计算的利率就是再回购利率率。再回购利率仅比短期国库券利率稍高一点。对许多在期货市场上操作的套利者而言，其相关的无风险利率就是再回购利率。最普通的回购类型：是隔夜回购(overnightrepo)，该回购协议每天都重新商定。9（五）符号 本章中将要用到的符号如下：T：远期合约到期的时刻(年)t：现在的时刻(年)S：远期合约标的资产在时刻t时的价格ST：远期合约标的资产在时刻T时的价格(在t时刻这个值是未知的)K：远期合
5、约中的交割价格f：时刻t时，远期合约多头的价值F：时刻t时的远期价格r：对T时刻到期的一项投资而言，时刻t以连续复利计算的无风险利率10注意：1、各符号同样适用于期货2、对于本章后面的讨论，T和t的绝对时刻点并不重要，重要的是T-t，即两者中间间隔的时间段，它是一个以年为单位的变量。3、其中远期价格F，在上述（三）的假设下，即为远期合约的合理价格。在远期合约刚订立时，F=K，因而f=0。随着时间的推移，F会发生变动，而K则固定不变，因此，f的值也会相应地发生变动。11（六）持有成本理论及套利的概念1、持有成本理论是一种确定远期、期货合理价格（定价）的方法。该理论的简单表述为：远期(期货)合理价
6、格=现货价格+净持有成本其中，净持有成本=现货的存储成本（对商品期货而言）+购买现货占压资金的利息成本-持有期收益（例如持有股票现货分得的红利，或持有债券现货的利息收益等）122、所谓套利，是指在不同市场上同时买卖相同或相似的证券而获取无风险收益的活动。如果期货的价格高于合理价格，就可以买进现货，同时卖出期货，将现货持有到期再用来交割期货，就可以无风险地获取上述等式两边的差价。反之，则做相反的操作。133、无套利均衡定价：无套利定价原则：在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。即如果某项金融资产的定价不合理，市场必然出现以该项资产进行套利活动
7、的机会，人们的套利活动会促使该资产的价格趋向合理，并最终使套利机会消失14（七）远期价格和期货价格1、从利率角度：（1）当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，两个交割日相同的远期合约和期货合约有相同的价格。所以以下关于远期合约定价和套利的结论同样适用于相应的期货合约。15（2）当利率变化无法预测时(正如现实世界中的一样)，远期价格和期货价格从理论上来讲就不一样了。我们对两者之间的关系能有一个感性认识。标的资产价格S与利率高度正相关。期货：当S上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因每日结算而立即获利。由于S的上涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利润将会以高于平均利率的利率进行投资。当S下跌
8、时，投资者立即亏损。亏损将以低于平均利率水平的利率融资。16远期：持有远期多头头寸的投资者将不会因利率的这种变动方式而受到与上面期货合约同样的影响。因此，在其它条件相同时，期货多头比远期多头更具有吸引力。当S与利率正相关性很强时，期货价格要比远期价格高。当S与利率的负相关性很强时，类似上面的讨论可知远期价格比期货价格要高。172、从期限角度；有效期仅为几个月的远期合约价格与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下时小得可以忽略不计的。因此在本书的大多数情况下，我们假定远期和期货价格相等。符号F既可代表期货价格又可代表远期价格。随着期货合约期限的增加，远期合约与期货合约价格之间的差别有可能变得较
9、大，因此假设远期合约价格与期货合约价格可以完全相互替代可能是危险 的。在第四章和第十七章中结合欧洲美元期货我们将进一步讨论这个问题。18二、不支付收益证券远期（期货）合约的合理价格及套利不支付收益证券包括不支付红利的股票和贴现债券等。短期利率期货的定价和套利即适用于以下的方法。最容易定价的远期合约就是基于不支付收益证券的远期合约。19（一）定价1、持有成本理论下合理价格的确定对不支付红利的证券，因为既无存储成本，又无收益,持有成本就是r。由于现货证券不支付收益，所以合理的远期价格应该等于现货价格（本金）加上在T-t时段内该本金应该产生的利息，即本利和。在连续复利条件下：202、无套利定价由f与
10、K、S的关系推出合理价格组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为Ke-r(T-t）的现金；组合B：一单位标的证券在时刻T，两种组合都可以获得一单位的证券，因此在时刻t时，两个组合也必然等价。当f=0时，F=K，代入上式，得：21例 考虑一个6个月期的远期合约的多头状况，标的证券是一年期贴现债券，远期合约交割价格为$950。我们假设6个月期的无风险利率(连续复利)为年利率6，债券的现价为$930。求远期合约的价值。解：此时，Tt=0.50，r=0.06，K=950，S=930，远期合约多头头寸的价值f为：f=930950e-0.5 0.06 =8.06 类似地，该远期合约空头的价值为8.08。22
11、（二）、不支付收益证券远期（期货）合约的套利以F*表示远期合约的实际市场价格1、如果F*F，即说明远期合约价格相对于现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。因此，投资者以无风险利率借S美元，期限为T-t，用来购买证券现货，同时卖出远期合约。在时刻T，用购买的现货交割到期的远期合约，得价款F*，同时归还借款本利和为Ser(T-t）。因此，套利利润为23例：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。判断：期货价格被高估套利：借40美元即期购入股票现货，同时持有3个月后卖出股票的远期合约。3个月后，交割股票得价款43美元，归还
12、到期贷款40.50美元，因此，套利者在3个月后净盈利 242、如果F*F，即说明远期合约价格相对于现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。例：一年后交割的息票债券远期合约的价格为930美元。债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。33判断：期货价格被高估套利：借入900美元（其中38.24美元以9%的年利率借入6个月，另外861.76美元以10%的年利率借入1年）购买一份债券现货。同时建立一年后交割的远期合约的空头。债券现货的首次利息支付40美元正好用来偿还6个月期38.24美元贷款的本利和。一
13、年之后，收到第二次利息支付40美元，执行远期合约，交割现货得到价款930美元，同时支付861.76美元贷款的本利和34该套利策略的净盈利为：352、如果F*Se(r-q)(T-t)可以通过购买指数中的成分股票，同时卖出指数期货合约而获利。指数套利操作通常由拥有短期资金市场投资的公司来进行。2、F外汇利率时，持有外汇的成本高于收益，F大于S，并且T越大，F越大；当本币利率r，可得：F E（ST）若ST与股票市场整体水平负相关,则投资的系统风险为负,这时K E（ST）117十二、交割选择与远期合约一般正式规定了交割的具体的特定日期不同，期货合约允许空头方选择在一个特定时间段里的任一天进行交割(一般
14、空头方应提前几天给出其打算交割的通知)。这使得期货定价更加复杂。期货合约的到期日应是交割期的开始、中间还是末尾呢?尽管绝大部分期货合约在到期前就平仓了，但了解交割何时发生对计算期货价格的理论值仍然是十分重要。118 如果期货价格为到期时间的增函数，则由式(3.24)可知，由持有资产所获得的好处(包括便利收益和净存储成本)小于无风险利率。因此空头方越早交割越有利，因为收到的现金所获得的利息超过了持有资产的好处。作为一般规则，这种情况下的期货价格的计算应以交割发生在交割期开始时刻为基准。若期货价格随到期时间的增长而降低，则应相反：空头方越晚交割越有利，作为一般规则，期货价格的计算应建立在交割发生在交割期的末尾时刻的基础上。119第三章作业:3,4,8,10,11,1213,14,15,17,18,19120