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1、高数高数-全微分方程全微分方程例例 1 求解求解解解 所给方程是全微分方程。所给方程是全微分方程。取取 、，有，有所以，方程的通解为所以，方程的通解为2例例 2 求解求解 解解 由由将方程两端同乘以将方程两端同乘以 ，则化为全微分方程，则化为全微分方程 知知 是一个积分因子。是一个积分因子。即即 于是原方程的通解为：于是原方程的通解为：，即即 y=C x。注注 一般来说，积分因子并不是唯一的。一般来说，积分因子并不是唯一的。例例2 中中,都是都是 它的积分因子。它的积分因子。可引入可引入积分因子积分因子 ，成为全微分方程。成为全微分方程。当条件当条件 不能满足时，不能满足时，使使 注注:3例例
2、 3 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。解解取积分因子取积分因子 原方程化为全微分方程原方程化为全微分方程 取取 、当当 为为齐次方程齐次方程时，时，其其积分因子积分因子为为 即得微分方程的通解为：即得微分方程的通解为：补充补充4(1)1)微分方程微分方程(1)只有一个只依赖于只有一个只依赖于y的积分因子的充要条件为的积分因子的充要条件为:且其积分因子为且其积分因子为:2)微分方程微分方程(1)只有一个只依赖于只有一个只依赖于x 的积分因子的充要条件为的积分因子的充要条件为:且其积分因子为且其积分因子为:5例例 4 求微分方程求微分方程的通解。的通解。解解:显然该方程不是全微分方程显然该方
3、程不是全微分方程,但但 所以该微分方程有积分因子所以该微分方程有积分因子:以以乘以原方程的两侧乘以原方程的两侧,得方程得方程:两边积分得两边积分得:或或补充补充6熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如7例例 5 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。解解:显然该方程不是全微分方程显然该方程不是全微分方程.将原方程改写为将原方程改写为:又又取积分因子取积分因子 则方程化为则方程化为:两边积分的方程的通解为两边积分的方程的通解为:补充补充8例例 6 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。解解它不是全微分方程。它不是全微分方程。重新组合得：重新组合得：两边乘以积
4、分因子两边乘以积分因子 得得 两边积分得：两边积分得：即方程的通解为即方程的通解为:补充补充9第七节第七节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程 例例 1 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。解解这就是所求的通解。这就是所求的通解。一般地，形如一般地，形如 的方程，只要连续积分的方程，只要连续积分n 次，即可次，即可 求得通解。求得通解。对所给方程积分三次得对所给方程积分三次得 10二二 、型的微分方程型的微分方程(不显含不显含 y y)令令则则 对应的微分方程对应的微分方程 就成为一个关于变量就成为一个关于变量 x、p 的一阶微分方程的一阶微分方程 设
5、其通解为设其通解为 则又得到一个一阶微分方程则又得到一个一阶微分方程 两端积分便得原方程的通解为两端积分便得原方程的通解为 11例例 2 求解初值问题求解初值问题:解解 令令两边积分得两边积分得由由得得两端再积分得两端再积分得:于是所求的特解为于是所求的特解为由由得得即即分离变量后，有分离变量后，有代入方程得代入方程得 12 例例 3 悬链线悬链线的方程（将一均匀、柔的方程（将一均匀、柔软的软的 绳索两端固定，绳索仅受重力作用绳索两端固定，绳索仅受重力作用而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。TOxyAMg sH解解且且OA=某个定值某个定值。设绳索的最低点为设绳
6、索的最低点为 A，取，取 y 轴通过点轴通过点 A、x 轴水平向右，轴水平向右，设绳索曲线的方程为设绳索曲线的方程为 y=y(x),则该段绳索的重量为则该段绳索的重量为gs。在曲线上任取一点在曲线上任取一点M(x，y),设设A 到到M 弧段长为弧段长为s，绳索的线密度为绳索的线密度为，绳索在点绳索在点A 处的张力沿水平方向向左，其大小设为处的张力沿水平方向向左，其大小设为H；在点在点M 处的张力沿绳索斜向上处的张力沿绳索斜向上,并在并在M 点与绳索相切点与绳索相切,设其倾角为设其倾角为、大小为、大小为T。13于是于是，y=y(x)应满足的微分方程为应满足的微分方程为:（*）因作用于因作用于AM
7、 弧段上的外力相互平衡，弧段上的外力相互平衡，把作用于此弧段上的外力沿铅直及把作用于此弧段上的外力沿铅直及水平两方向分解，得水平两方向分解，得TOxyAMg sH将两式相除得将两式相除得又由弧长公式又由弧长公式取取AO=，初始条件为初始条件为14令令 ，代入方程（，代入方程（*）并分离变量得）并分离变量得代入初值条件代入初值条件，得，得积分得积分得（*）于是（于是（*）式成为）式成为 即即代入初始条件代入初始条件得得所以，悬链线方程为所以，悬链线方程为15三三 、型的微分方程型的微分方程(不显含不显含 x )令令则则于是于是就成为就成为分离变量并积分，便得原方程的通解为分离变量并积分，便得原方
8、程的通解为这是一个关于这是一个关于y、p的一阶微分方程。的一阶微分方程。设其通解为设其通解为16例例 4 求微分方程求微分方程 的通解的通解.解解代入原方程得代入原方程得令令则则两端积分得两端积分得即即或或原方程的通解为原方程的通解为分离变量得：分离变量得：两端积分得两端积分得在在 y 0、p 0 时，时，约去约去 p 并分离变量得并分离变量得由由得得显然显然,y=C 也在通解中也在通解中.17练习：练习：P366 1P366 1（5 5）(7)(7)（1010）解（解（5）：令令则原方程化为则原方程化为即即即即18解（解（10）：令令则则原方程化为原方程化为即即由由得得由由分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得原方程的通解为原方程的通解为19小结：小结：1.全微分方程、积分因子全微分方程、积分因子 2.型的微分方程型的微分方程 3.型的微分方程型的微分方程 4.型的微分方程型的微分方程 20