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1、基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.全微分方程全微分方程5.5.线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容6.6.伯努利方程伯努利方程1微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法
2、常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非非全全微微分分方方程程非非变变量量可可分分离离降降降降阶阶阶阶作作变变换换作变换作变换2(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法1 1、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2)齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换3(3)一阶线性微分方程一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法4非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）伯努利伯努利(Bernoull
3、i)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.5解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程其中其中形如形如(4)全微分方程全微分方程6注意：注意：解法解法 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为73 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得11特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:1
4、2（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:1314、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.15特征方程为特征方程为16特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法17、二阶常系数非齐次线性微分方
5、程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.18二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为22代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为23例例2 2解解原式可化为原式可化为原式变为原式变为对应齐方通解为对应齐方通解为一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程24代入非齐方程得代入非齐方程得原方程的通解为原方程的通解为利用常数变易法利用常数变易法25例例3 3解解方程为全微分方程方程为全微分方程.26(1)利用原函数法求解利用原函数法求解:故方程的通解为故方
6、程的通解为27(2)利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为故方程的通解为故方程的通解为28例例5 5解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为32例例6 6解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为33原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为34由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为35例例解解（）由题设可得：）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得39（）原方程为）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为40解解例例1010则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得44解此方程得解此方程得代入上式得代入上式得45