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1、上一页上一页下一页下一页第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 解的存在性与唯一性定理解的存在性与唯一性定理1上一页上一页下一页下一页定理定理 对于微分方程对于微分方程和初始条件和初始条件2上一页上一页下一页下一页4.2.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程3上一页上一页下一页下一页一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法4上一页上一页下一页下一页例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分二、典型例题5上一页上一页下一页下一页通解为通解为解解6上一页上一页下一页下一页解解由
2、题设条件由题设条件衰变规律衰变规律7上一页上一页下一页下一页解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为在在 内内,的通入量的通入量的排出量的排出量8
3、上一页上一页下一页下一页的通入量的通入量的排出量的排出量的改变量的改变量6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到9上一页上一页下一页下一页三、可化为可分离变量的微分方程三、可化为可分离变量的微分方程两端分别积分，得两端分别积分，得10上一页上一页下一页下一页利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为11上一页上一页下一页下一页2 2、齐次方程、齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.（2）.解解法法作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程（1 1）.定义定义12上一页上一页
4、下一页下一页13上一页上一页下一页下一页例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解14上一页上一页下一页下一页例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解15上一页上一页下一页下一页微分方程的解为微分方程的解为16上一页上一页下一页下一页例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图17上一页上一页下一页下一页得微分方程得微分方程由夹由夹角正角正切公切公式得式得18上一页上一页下一页下一页分离变量分离变量积分得积分得19上一页上一页下一页下一页平方化简得平方化简得抛物线抛物线20上一页上一页下一页
5、下一页(h,k 为待 二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令,解出 h,k(齐次方程)定常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束 21上一页上一页下一页下一页求出其解后,即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22上一页上一页下一页下一页例例4.求解解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 23上一页上一页下一页下一页得 C=1,故所求特解为思考思考:若方程改为 如何求解?提示提示:第四节 目录 上页 下页 返回 结束
6、 24上一页上一页下一页下一页分离变量法步骤分离变量法步骤:1、分离变量、分离变量;2、两端积分、两端积分-隐式通解隐式通解.三、小结P263 1,2题的奇数题的奇数25上一页上一页下一页下一页齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程26上一页上一页下一页下一页思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.27上一页上一页下一页下一页思考题思考题方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?28上一页上一页下一页下一页练练 习习 题题29上一页上一页下一页下一页练习题答案练习题答案30上一页上一页下一页下一页思考题思考题求解微分方程求解微分方程31上一页上一页下一页下一页思考题解答思考题解答为所求解为所求解.32上一页上一页下一页下一页练练 习习 题题33上一页上一页下一页下一页34上一页上一页下一页下一页练习题答案练习题答案35