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1、动态中的面积与图形存在性问题第11讲Section 1 动态中的面积问题知识总结1 几何图形中的面积计算：（1）面积公式；（2）割补法2 动态问题中必分类讨论：根据动点的不同运动状态分别进行面积计算经典例题【例1】如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（3，4），平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与菱形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒（1）求点B的坐标；（2）当时，求t的值；（3）设OMN的面积为S，求S与t的函数表达式，并确定S的最大值【例2】如图，在等腰直角ABC中，于点，点从点出发，沿方向以
2、的速度运动到点停止，在运动过程中，过点作交于点，以线段为边作等腰直角三角形，且（点，位于异侧）设点的运动时间为，与重叠部分的面积为（1）当点落在上时， ；（2）当点落在上时， ；（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围【例3】如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接、，设的面积为，与之间的函数关系如图2所示（1），；（2）当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值；（3）当为何值时，为等腰三角形？请简要说明理由Section 2 动态中的图形存在性问题经典例题【例4】如图，正方形的顶点在坐标原点，顶点的坐标为（1）顶点的坐标为 ，
3、，顶点的坐标为 ， ；（2）现有动点、分别从、同时出发，点沿线段向终点运动，速度为每秒1个单位，点沿折线向终点运动，速度为每秒个单位，当运动时间为2秒时，以、为顶点的三角形是等腰三角形，求此时的值（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线下滑，直至顶点落到轴上时停止下滑设正方形在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围【例5】在RtAOB中，、分别是、边上的两个动点点从点出发，沿以1单位秒的速度向点运动；点从点出发，沿以单位秒的速度向点运动；、两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动设运动的时间为（1）线段的长度为 （用含、的代数式表示）；（2）如图，连结
4、、，若，的面积为，试求的最大值；（3）如图，连结、，试探究：在点、运动的过程中，是否存在某个时刻，使得为直角三角形且是等腰三角形？若存在，求出此时和的取值，若不存在，请说明理由【例6】如图，在矩形中，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止连结，设运动时间为秒（1）求线段的长度；（2）当点从点向点运动时（未到达点），求的面积关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为当经过点时，射线交于点，求的长；当经过点时，求的值【例1】（1）点C坐标为（3，4
5、），OC=5，CB=OC=5，点B坐标为（8，4）（2）当M、N分别为OA、OC中点或M、N分别为AB、CB中点时，当M为OA中点时，；当N为CB中点时，；综上，当时，t的值为或（3）当时，过点N作NHOM交OM于H点，则，又，；当时，记直线m与x轴交点为D点，则，由题意可得：OD=t，点N到x轴距离为4，由题意可得：AM=AD=，；综上，当t=5时，S取到最大值10【例2】（1）当点Q为BC中点，即点Q与点D重合时，点M落在AB边上，此时点P为AC中点，x=4；（2）当点Q为CD中点时，即，故（3）当时，；当时，当时，综上所述，【例3】（1）AB=2cm，AD=5cm；（2）易证，PD=5-
6、t，CD=2，当t=4时，DEF的面积最小，最小值为（3）过点E作EMCD交CD的延长线于点M，过点F作FNAD交AD于点N，易证PDCCME，ME=DC=2，CM=PD=5-t，易证FNPPDC，FN=PD=5-t，PN=CD=2，又，当DE=DF时，即，解得：，（舍）；当DE=EF时，即，解得：t=4；当DF=EF时，即，解得：，；综上所述，当t的值为1或3或4或5时，DEF是等腰三角形【例4】（1）点C坐标为，点B坐标为；（2）当t=2时，CP=2，且，当CP=CQ时，CQ=2，点Q的路程为5+3=8，故k=4；当CQ=PQ时，点Q在CP的垂直平分线上，OQ=1，则AQ=4，k=2综上所
7、述，k的值为4或2（3）当时，当时，即；综上，【例5】（1）；（2）过点P作PHOB交OB于点H，则，当t=2时，S取到最大值（3）若PMB=90且PM=PA，此时，即，解得：；若BPM=90且PM=PA，则，此时，即，解得：综上，或【例6】（1）AB=2cm，AD=5cm；（2）易证，PD=5-t，CD=2，当t=4时，DEF的面积最小，最小值为（3）过点E作EMCD交CD的延长线于点M，过点F作FNAD交AD于点N，易证PDCCME，ME=DC=2，CM=PD=5-t，易证FNPPDC，FN=PD=5-t，PN=CD=2，又，当DE=DF时，即，解得：，（舍）；当DE=EF时，即，解得：t=4；当DF=EF时，即，解得：，；综上所述，当t的值为1或3或4或5时，DEF是等腰三角形