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1、第七章第七章 多元函数积分学基础多元函数积分学基础l第一节 二重积分的概念与性质l第二节 二重积分的计算l第三节 二重积分的应用l第四节 三重积分l第五节 曲线积分l第六节 数学实验五 用Mathematica求偏导和计算二重积分第七章 多元函数积分学基础 在本章中，将把一元函数定积分的概念及其性质推广到多元函数的情形，这就是二重积分、三重积分和曲线积分，积分的范围不再是定积分中x轴上的一个区间，而分别是一个平面区域、一个空间区域与一条曲线.下面首先学习有关二重积分知识.二重积分是本章基础部分，同是也是本章的重点内容.第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、实例1.曲顶柱体的
2、体积图7-1 曲顶柱体图7-2 曲顶柱体划分2.非均匀薄片的质量二、二重积分的定义三、二重积分的性质解图7-3 例1示意图解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算 在实际应用时,用二重积分的定义和性质去计算二重积分是十分复杂和困难的.本节将介绍一种实用的计算方法,此种方法主要是把二重积分的计算化成连续计算的两次定积分,即二次积分.一、在直角坐标系下计算二重积分图7-4 积分区域图7-6 积分区域图7-7 积分区域分割解图7-8 例1示意图解图7-9 例2示意解方法一解图7-11 例4示意图a方法二图7-2 例4示意图b 二、在极坐标系下计算二重积分图7-
3、14 极点在D之外图7-15 极点在边界上图7-16 极点在D内解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用一、体积解图7-27 例1示意图解图7-18 例2示意图解图7-19 例3示意图二、平面薄片的质量解三、平面薄片的重心解图7-20 例5示意图解图7-21 例6示意图思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第四节第四节 三重积分三重积分*第五节第五节 曲线积分曲线积分一、对弧长的曲线积分1.对弧长的曲线积分的概念和性质图7-30 例1示意图2.对弧长的曲线积分的计算方法解解图7-31 例3示意图解二、对坐标的曲线积分的概念和性质1.对坐标的曲线积分的概
4、念和性质例5 变力沿曲线所做的功图7-32 例5示意图2.对坐标的曲线积分的计算方法(7-25)解图7-33 例6示意图解图7-34 例7示意图解图7-35 例8示意图解解三、格林公式图7-36 复连通区域图7-37 格林公式示决图合并以上两式即得式（7-21）解解图7-38 例12示意图四、平面上的曲线积分与路径无关的条件证证解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节第六节 数学实验五数学实验五 用用MathemticaMathemtica求偏导和计算二重积分求偏导和计算二重积分一、学习Mathematica命令 Mathematica的求多元函数的偏导数命令与前面学习的求一元函数的导数命令一样，调用格式为二、偏导数计算解解三、计算二重积分解解返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回