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1、习题讲解习题讲解第二章 点集7.证明：证明：开集减闭集的差集是开集，开集减闭集的差集是开集，闭集减开集的差集是闭集闭集减开集的差集是闭集证明：利用A-B=ABc，开集的余集是闭集，闭集的余集是开集，以及有限个开集的交仍是开集，有限个闭集的交仍是闭集即得。要证要证E E=x x|f f(x x)a a 是开集，只要证是开集，只要证中的点都为内点中的点都为内点()xf(x0)+f(x0)f(x0)-a由f(x)在x0处连续及极限的保号性知，存在0,当|x-x0|a证明：任取x0 E=x|f(x)a,则f(x0)a,类似可证x|f(x)a为开集,从而x|f(x)a=x|f(x)a,即x0为E的内点，
2、从而E为开集；注：用到了极限保持不等号前面的证明用了极限的保号性另证：要证E=x|f(x)a是闭集，只要证任取x0 E =x|f(x)a,则存在E中的点列xn,使得由f(x)在x0处连续及f(xn)a，可知f(x0)a所以x0 x|f(x)a,从而x|f(x)a 是闭集.类似可证x|f(x)a 为闭集,从而x|f(x)a=x|f(x)a c是开集证明：设F为闭集，取则Gn为开集，9.9.每个闭集必是可数个开集的交集，每个闭集必是可数个开集的交集，每个开集必每个开集必是可数个闭集的并集是可数个闭集的并集.任取任取从而通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并.再由 为闭集,可得 所以 ，联系前证有从而每个闭集必是可数个开集的交，11.f(x)是是a,b上的连续函数的充分必要条件是对任意实数上的连续函数的充分必要条件是对任意实数c，E=x|f(x)c和和E1=x|f(x)c都是闭集都是闭集证明：我们只要证明充分性：11 f(x)是是a,b上的连续函数充分必要条件为对任意实数上的连续函数充分必要条件为对任意实数c，E=x|f(x)c 和和E1=x|f(x)c都是闭集都是闭集另证：我们只要证明充分性：13.