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1、iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xi1. Riemann积分回顾（分割定义域）达布上和与下和 Riemann积分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xiiniiTbaxmdxxf10|lim)(达布下和的极限下积分（内填）xi-1 xiiniiTbaxMdxxf10|lim)(达布上和的极限上积分（外包）从分割值域入手iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei
2、的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?1211,(,)| ,1,2, ,niinjiRIIx xxixi jn 注 ：因为其中所以集合为E的Lebesgue外测度。1. 定义： ，称非负广义实数nRE 设)(*RR: |inf11为开区间且iiiiiIIEIEm121( ,)| (1,2,)iiiI II iIE是开区间且是非空的，因而定义有意义.中某些可以是：注iI2我们约定的和为了能考虑集合外测度是某些集合的外测度可以于是故由于是正项级数可以发散：注,.,| |, | | 311iiiiII.)()( ,)(a；则为空集时当0 , , 0EmEEm;BmAmBA，则若（2）单调性
3、：(1)nnnnAmAm*11*)(则由于的开区间为任一列覆盖设, ,1BABIii(2):1iiIBA1| |iiIAm因而得的开区间列取下确界即对所有覆盖BBmBIIAmiiii: | |inf11(3)：对任意的0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间I nm列近似替换An）nnmnmnnmmnnmnnAmIAmIAIII2|,*1*121且使得*,11111|()2nmnmnnnn mnmnnIIm Am A且111nnmnnmAI 从 而*1111()|nnmnnnmnmAIm A可见注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界nnnnAmAm*1
4、1*)(由的任意性，即得)(|)(, 0*1*BAmIBAmIiii使得开区间列: |inf)(11为开区间且iiiiiIIBAIBAm当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。)()()(*BmAmBAm若d(A,B) 0,则证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广| IEmI111. | | , ,0 iiiiiiIIAIA且使得开区间列是零集注：外测度等于零的集合称为零集.证明：使得存在一组开区间列由外测度的定义于是则是
5、零集若, , 0 , 0 , 1iiIAmAmA11. | | iiiiIIA且0 . , 0 AmAm因而有由条件可知2111|iiiiiiEII 则且0*Em再由的任意性知, 1 , 0321rrrQE故不妨令, 3 , 2 , 1),(, 01122irrIiiiii作开区间Em*从而( )1122iiiiirrr22221122122222(,) (,),( , ),1,2,3,iiiiiiiiiiiIrrrrr rQ Qi 2222(1,1) (,),1,2,3,iiiiiiIrrrZi，. 零集中有限集和可数集都是注：nR0)(|)()(32213121)()(21*niininiinnnnIImPm从而0Pm故nniiI2, 2 , 1)(证明：令第n次等分后留下的闭区间为定理: (1) 零集的任意子集还是零集； (2) 至多可数个零集的并还是零集.证明: (1) 由外测度的单调性即得； (2) 由外测度的次可数可加性即得.