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1、实变函数教案第一页，讲稿共二十三页哦1 1 不可数集的存在性(区间区间0,10,1是不可数集是不可数集)0 1/3 2/3 1证明：假设证明：假设0,10,1是可数集是可数集,则则 0,1 0,1 可以写成一个无穷可以写成一个无穷 序列的形式：序列的形式：第二页，讲稿共二十三页哦 0 1/3 2/3 1第三页，讲稿共二十三页哦数的进位制简介l十进制小数 相应于 对0,1十等分l二进制小数 相应于 对0,1二等分l三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数第四
2、页，讲稿共二十三页哦不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（证明：假设（0,10,1）是可数集）是可数集,则则 （0,10,1）可以写成一个无穷可以写成一个无穷 序列的形式：序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以把每个数写成正规小数（不能以0 0为循环节）为循环节）令x=0.a1a2a3a4其中则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。第五页，讲稿共二十三页哦定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集，其势记为 ，显然：例：1）R(0,1)0,1 0,1)R+(ab)2 连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）第六页，讲稿共二十三页哦3 连续势集的
3、性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集第七页，讲稿共二十三页哦第八页，讲稿共二十三页哦1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点第九页，讲稿共二十三页哦 连续势集的性质（并集）l连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集(0 1 2 n-1 n(0 1 2 n-1 ny第十页，讲稿共二十三页哦4 无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的
4、集合.第十一页，讲稿共二十三页哦此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。第十二页，讲稿共二十三页哦尽管尽管 Cantor Cantor 在在18831883年就证明了这个定理，但直到年就证明了这个定理，但直到18991899年年 Cantor Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的即所谓的 Cantor Cantor 的最大基数悖论的最大基数悖论.因此因此CantorCantor在在18991899年给年给 Dedekind Dedekind 的一封信中曾指出的一封信中曾指出,人们人们要想不陷于矛盾的话
5、要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合就不能谈论由一切集合所组成的集合.集合悖论集合悖论第十三页，讲稿共二十三页哦证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与0,1N对等；下证：说明：相当于把 对应到一个三进制小数5 可数势与连续势思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体第十四页，讲稿共二十三页哦第十五页，讲稿共二十三页哦Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。注记：从前面我们已经看到：Cantor认为在 之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统
6、假设第十六页，讲稿共二十三页哦 在Zermelo-FrankelZermelo-Frankel公理集合论体系下参见：数学与哲学张景中，数理逻辑概貌莫绍揆ZFZF公理集合论体系下的连续统假设公理集合论体系下的连续统假设19401940年年GodelGodel证明了连续统假设的相容性（即不能证明它不真）；（即不能证明它不真）；1962年StanfordStanford大学的大学的P.J.Cohen证明了它的独立性（即不能用其他公理证明它真）；（即不能用其他公理证明它真）；第十七页，讲稿共二十三页哦6 基数的运算第十八页，讲稿共二十三页哦对一些记号的说明思考：如何推广不可数个集合的卡氏积？第十九页，讲稿共二十三页哦第五节第五节 半序集半序集第一章 集合第二十页，讲稿共二十三页哦1 1 半序集半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积）例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度第二十一页，讲稿共二十三页哦半序集定义自反性:反对称性:传递性:则称A按 成一半序集（偏序集）。设A是一集合，为A中的某些元素的关系且满足:第二十二页，讲稿共二十三页哦例 是一半序集.是一半序集.第二十三页，讲稿共二十三页哦