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1、第二讲整式整式考点一列代数式及求代数式的值考点一列代数式及求代数式的值 【主干必备主干必备】1.1.代数式代数式:用基本运算符号用基本运算符号(基本运算包括加、减、基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方乘、除、乘方和开方)把数或表示数的把数或表示数的_连接连接起来的式子起来的式子,叫做代数式叫做代数式.字母字母2.2.求代数式的值求代数式的值:用用_代替字母代替字母,并按照运算并按照运算关系求出结果关系求出结果数值数值【微点警示微点警示】书写代数式的三个注意点书写代数式的三个注意点(1)(1)数与字母相乘数与字母相乘,字母与字母相乘字母与字母相乘,乘号省乘号省略略且数字在且数字在前字母在后前字
2、母在后,带分数化为假分数带分数化为假分数.(2)(2)除号通常改为分数线除号通常改为分数线.(3)(3)和或差的形式和或差的形式,有带单位的代数式要用括号括起来有带单位的代数式要用括号括起来后再写上单位后再写上单位.【核心突破核心突破】【例例1 1】(1)(2018(1)(2018安徽中考安徽中考)据省统计局发布据省统计局发布,2017,2017年年我省有效发明专利数比我省有效发明专利数比20162016年增长年增长22.1%,22.1%,假定假定20182018年年的年增长率保持不变的年增长率保持不变,2016,2016年和年和20182018年我省有效发明专年我省有效发明专利分别为利分别为
3、a a万件和万件和b b万件万件,则则()B BA.b=(1+22.1%2)aA.b=(1+22.1%2)a B.b=(1+22.1%)B.b=(1+22.1%)2 2a aC.b=(1+22.1%)2aC.b=(1+22.1%)2aD.b=22.1%2aD.b=22.1%2a(2)(2019(2)(2019广东中考广东中考)已知已知x=2y+3,x=2y+3,则代数式则代数式4x-8y+94x-8y+9的的值是值是_._.2121【明明技法技法】整体代入法求代数式值的三种方法整体代入法求代数式值的三种方法(1)(1)直接整体代入求值直接整体代入求值:如果已知的代数式与要求的代如果已知的代数式
4、与要求的代数式之间都含有相同的式子数式之间都含有相同的式子,只要把已知式子的值直接只要把已知式子的值直接代入到要求的式子中代入到要求的式子中,即可得出结果即可得出结果.(2)(2)把已知式子变形后再整体代入求值把已知式子变形后再整体代入求值:如果题目中所如果题目中所求的代数式与已知代数式成倍数关系求的代数式与已知代数式成倍数关系,各字母的项的系各字母的项的系数对应成比例数对应成比例,就可以把这一部分看作一个整体就可以把这一部分看作一个整体,再把再把要求值的代数式变形后整体代入计算求值要求值的代数式变形后整体代入计算求值.(3)(3)把所求式子和已知式子都变形把所求式子和已知式子都变形,再整体代
5、入求值再整体代入求值:将将已知条件和所求的代数式同时变形已知条件和所求的代数式同时变形,使它们含有相同的使它们含有相同的式子式子,再将变形后的已知条件代入变形后的要求的代数再将变形后的已知条件代入变形后的要求的代数式式,计算得出结果计算得出结果.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019广州荔湾区期末广州荔湾区期末)学校新建教学大楼拟用不学校新建教学大楼拟用不锈钢制造一个上部是一个长方形、下部是一个正方形锈钢制造一个上部是一个长方形、下部是一个正方形的窗户的窗户,相关数据相关数据(单位单位:米米)如图所示如图所示,那么制造这个窗那么制造这个窗户所需不锈钢的总长是户所需不锈钢的总长是()D
6、 DA.(4a+2b)A.(4a+2b)米米B.(aB.(a2 2+ab)+ab)米米C.(6a+2b)C.(6a+2b)米米D.(5a+2b)D.(5a+2b)米米2.(2.(传统数学文化传统数学文化)历史上历史上,数学家欧拉最先把关于数学家欧拉最先把关于x x的的多项式用记号多项式用记号f(x)f(x)来表示来表示,把把x x等于某数等于某数a a时的多项式的时的多项式的值用值用f(a)f(a)来表示来表示,例如例如x=-1x=-1时时,多项式多项式f(x)=xf(x)=x2 2+3x-5+3x-5的的值记为值记为f(-1),f(-1),那么那么f(-1)f(-1)等于等于()A.-7A.
7、-7B.-9B.-9C.-3C.-3D.-1D.-1A A3.(20193.(2019武汉期中武汉期中)张大伯从报社以每份张大伯从报社以每份0.70.7元的价格元的价格购进了购进了a a份报纸份报纸,以每份以每份1.51.5元的价格售出了元的价格售出了b b份报纸份报纸,剩剩余的以每份余的以每份0.40.4元的价格退回报社元的价格退回报社,则张大伯卖报盈利则张大伯卖报盈利_元元.(1.1b-0.3a)(1.1b-0.3a)4.(20194.(2019广州三模广州三模)已知已知a a2 2+a-3=0,+a-3=0,那么那么a a2 2(a+4)(a+4)的值的值是是_._.9 9考点二整式的相
8、关概念及整式加减考点二整式的相关概念及整式加减【主干必备主干必备】一、整式的相关概念一、整式的相关概念2.2.同类项同类项:所含字母所含字母_,_,且相同字母指数也且相同字母指数也_的的单项式单项式.相同相同相同相同二、整式的加减二、整式的加减1.1.合并同类项合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项把多项式中的同类项合并成一项,叫做叫做合并同类项合并同类项,所得项的系数是合并前各同类项的系数的所得项的系数是合并前各同类项的系数的_,_,且字母连同它的指数不变且字母连同它的指数不变.和和2.2.去、添括号法则去、添括号法则:(1)(1)去括号法则去括号法则:a+(b+c)=a+_,:a+(b+
9、c)=a+_,a-(b+c)=a-_.a-(b+c)=a-_.(2)(2)添括号法则添括号法则:a+b+c=a+(_),:a+b+c=a+(_),a-b-c=a-(_).a-b-c=a-(_).b+cb+cb-cb-cb+cb+cb+cb+c【微点警示微点警示】同类项的判断要抓住两个相同同类项的判断要抓住两个相同:一是所含字母相同一是所含字母相同;二是相同字母的指数相同二是相同字母的指数相同,与系数与系数的大小和字母的顺序无关的大小和字母的顺序无关.所有的常数项是同类项所有的常数项是同类项.【核心突破核心突破】【例例2 2】【】【原型题原型题】(2018(2018包头中考包头中考)如果如果2x
10、2xa+1a+1y y与与x x2 2y yb-1b-1是同类项是同类项,那么那么 的值是的值是()A.A.B.B.C.1C.1D.3D.3A A【变形题变形题1 1】(变换说法变换说法)如果如果2x2xa+1a+1y y与与x x2 2y yb-1b-1的和仍是单的和仍是单项式项式,那么那么 的值是的值是()A.A.B.B.C.1C.1D.3D.3A A【变形题变形题2 2】(变换说法变换说法)如果单项式如果单项式2x2xa+1a+1y y与与x x2 2y yb-1b-1可以可以合并合并,那么那么 的值是的值是()A.A.B.B.C.1C.1D.3D.3A A【明明技法技法】整式加减的步骤
11、及注意问题整式加减的步骤及注意问题(1)(1)一般步骤一般步骤:先去括号先去括号,再合并同类项再合并同类项.(2)(2)注意问题注意问题:去括号时要注意两个方面去括号时要注意两个方面:括号前有数字因数时括号前有数字因数时,去掉括号去掉括号,因数要乘以括号内因数要乘以括号内的每一项的每一项;括号前面是负号时括号前面是负号时,去掉括号去掉括号,括号内的每一项都要括号内的每一项都要改变符号改变符号.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019滨州中考滨州中考)若若8x8xm my y与与6x6x3 3y yn n的和是单项式的和是单项式,则则(m+n)(m+n)3 3的平方根为的平方根为()A.
12、4A.4B.8B.8C.4C.4D.8D.8D D2.(20192.(2019绵阳中考绵阳中考)单项式单项式x x-|a-1|-|a-1|y y与与 是同类是同类项项,则则a ab b=_.=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1 13.(20193.(2019昆明期末昆明期末)先化简先化简,再求值再求值:-2(-x:-2(-x2 2+5+4x)-+5+4x)-(2x(2x2 2-4-5x),-4-5x),其中其中x=-2.x=-2.【解析解析】-2(-x-2(-x2 2+5+4x)-(2x+5+4x)-(2x2 2-4-5x)-4-5x)=2x=2x2 2-10-8x-2x-10-8x-2x2
13、2+4+5x+4+5x=-3x-6,=-3x-6,当当x=-2x=-2时时,原式原式=6-6=0.=6-6=0.考点三幂的运算考点三幂的运算 【主干必备主干必备】a am+nm+n a amnmn a an n b bn na am-nm-n【微点警示微点警示】运用幂的运算性质进行计算需注意的两个问题运用幂的运算性质进行计算需注意的两个问题:(1)(1)注意不要出现符号错误注意不要出现符号错误,(-a),(-a)n n=-a=-an n(n(n为奇数为奇数),(-a),(-a)n n=a=an n(n(n为偶数为偶数).).(2)(2)要灵活运用性质的逆运算要灵活运用性质的逆运算,如已知如已知
14、3 3m m=4,2=4,2n n=3,=3,则则9 9m m88n n=(3=(3m m)2 2(2(2n n)3 3=432.=432.【核心突破核心突破】【例例3 3】(1)(2019(1)(2019盐城中考盐城中考)下列运算正确的是下列运算正确的是 ()A.aA.a5 5aa2 2=a=a1010B.aB.a3 3a=aa=a2 2 C.2a+a=2aC.2a+a=2a2 2D.(aD.(a2 2)3 3=a=a5 5B B(2)(2019(2)(2019绵阳中考绵阳中考)已知已知4 4m m=a,8=a,8n n=b,=b,其中其中m,nm,n为正整为正整数数,则则2 22m+6n2
15、m+6n=()A.abA.ab2 2B.a+bB.a+b2 2C.aC.a2 2b b3 3D.aD.a2 2+b+b3 3A A【明明技法技法】幂的运算的应用幂的运算的应用(1)(1)同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若若底数互为相反数时底数互为相反数时,要应用积的乘方处理好符号问题要应用积的乘方处理好符号问题,转化成同底数转化成同底数,再应用法则再应用法则.(2)(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的时候要注意三个方面时候要注意三个方面:一是运算顺序一是运算顺序,二是正确选择法二是正确选
16、择法则则,三是运算符号三是运算符号.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019安徽模拟安徽模拟)下列运算正确的是下列运算正确的是()A.-(x-y)A.-(x-y)2 2=-x=-x2 2-2xy-y-2xy-y2 2 B.aB.a2 2+a+a2 2=a=a4 4C.aC.a2 2aa3 3=a=a6 6D.(xyD.(xy2 2)2 2=x=x2 2y y4 4D D2.2.计算计算:(-x:(-x2 2)3 3(x(x2 2x)=_.x)=_.3.(20193.(2019重庆忠县期中重庆忠县期中)已知已知(a(an nb bm+4m+4)3 3=a=a9 9b b6 6,则则m m
17、n n=_._.-x-x3 3-8-8考点四整式的乘除考点四整式的乘除 【主干必备主干必备】系数系数指数指数相加相加ma+mb+mcma+mb+mc每一项每一项相加相加ma+mb+na+nbma+mb+na+nb系数系数指指数数相加相加【微点警示微点警示】多项式的乘法运算需注意的三点多项式的乘法运算需注意的三点:(1)(1)避免漏乘常数项避免漏乘常数项.(2)(2)避免符号错误避免符号错误.(3)(3)展开式中有同类项的一定要合并展开式中有同类项的一定要合并.【核心突破核心突破】【例例4 4】(1)(2018(1)(2018武汉中考武汉中考)计算计算(a-2)(a+3)(a-2)(a+3)的结
18、果的结果是是()A.aA.a2 2-6-6B.aB.a2 2+a-6+a-6C.aC.a2 2+6+6D.aD.a2 2-a+6-a+6B B(2)(2019(2)(2019甘肃中考甘肃中考)计算计算(-2a)(-2a)2 2aa4 4的结果是的结果是()A.-4aA.-4a6 6B.4aB.4a6 6C.-2aC.-2a6 6D.-4aD.-4a8 8B B【明明技法技法】整式乘法运算中的几点注意整式乘法运算中的几点注意(1)(1)单项式乘多项式就是运用乘法分配律将其转化成单单项式乘多项式就是运用乘法分配律将其转化成单项式乘单项式项式乘单项式,再把所得的积相加再把所得的积相加.(2)(2)在
19、运算时在运算时,要注意每一项的符号要注意每一项的符号.(3)(3)单项式乘多项式单项式乘多项式,积的项数与多项式的项数一样积的项数与多项式的项数一样.(4)(4)不要漏乘多项式中的项不要漏乘多项式中的项,特别是多项式中含有特别是多项式中含有+1+1或或-1-1的项的项.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019哈尔滨香坊区月考哈尔滨香坊区月考)下列运算正确的是下列运算正确的是 ()A.3xA.3x3 35x5x2 2=15x=15x6 6B.4y(-2xyB.4y(-2xy2 2)=-8xy)=-8xy3 3B BC.(-3x)C.(-3x)2 24x4x3 3=-12x=-12x5 5
20、D.(-2a)D.(-2a)3 3(-3a)(-3a)2 2=-54a=-54a5 52.(20192.(2019青岛中考青岛中考)计算计算(-2m)(-2m)2 2(-mm(-mm2 2+3m+3m3 3)的结果的结果是是()A.8mA.8m5 5B.-8mB.-8m5 5C.8mC.8m6 6D.-4mD.-4m4 4+12m+12m5 5A A3.(3.(新定义运算题新定义运算题)随着数学学习的深入随着数学学习的深入,数系不断扩充数系不断扩充,引入新数引入新数i,i,规定规定i i2 2=-1,=-1,并且新数并且新数i i满足交换律、结合律满足交换律、结合律和分配律和分配律,则则(1+
21、i)(2-i)(1+i)(2-i)的运算结果是的运算结果是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.3-iA.3-iB.2+iB.2+iC.1-iC.1-iD.3+iD.3+iD D4.(20194.(2019长春南关区期中长春南关区期中)若若x+y=xy,x+y=xy,则则(x-1)(y-1)=(x-1)(y-1)=_._.5.(20195.(2019沈阳市铁西区模拟沈阳市铁西区模拟)计算计算:(6x:(6x4 4-8x-8x3 3)(-2x(-2x2 2)=_.)=_.1 1-3x-3x2 2+4x+4x考点五乘法公式的应用考点五乘法公式的应用 【主干必备主干必备】1.1.平方差公式平方差公式:
22、(a+b)(a-b)=_.:(a+b)(a-b)=_.2.2.完全平方公式完全平方公式:(ab):(ab)2 2=_.=_.a a2 2-b-b2 2a a2 22ab+b2ab+b2 2【微点警示微点警示】运用完全平方公式常出现的易错点运用完全平方公式常出现的易错点:(ab):(ab)2 2=a=a2 2bb2 2.【核心突破核心突破】【例例5 5】(2018(2018乐山中考乐山中考)已知实数已知实数a,ba,b满足满足a+b=2,a+b=2,ab=ab=则则a-b=a-b=()A.1A.1B.-B.-C.1C.1D.D.C C【明明技法技法】乘法公式常用变形技巧乘法公式常用变形技巧(1)
23、(a+b)(1)(a+b)2 2=(a=(a2 2+b+b2 2)+2ab,)+2ab,(a-b)(a-b)2 2=(a=(a2 2+b+b2 2)-2ab.)-2ab.(2)(a+b)(2)(a+b)2 2=(a-b)=(a-b)2 2+4ab,+4ab,(a-b)(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab.-4ab.(3)a(3)a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab,-2ab,a a2 2+b+b2 2=(a-b)=(a-b)2 2+2ab,a+2ab,a2 2+b+b2 2=(4)4ab=(a+b)(4)4ab=(a+b)2 2-(a-b)-(a-b)
24、2 2.(5)(a-b)(5)(a-b)2 2=(b-a)=(b-a)2 2,(a-b),(a-b)3 3=-(b-a)=-(b-a)3 3.【题组过关题组过关】1.1.如果如果a+b=7,ab=12,a+b=7,ab=12,那么那么a a2 2+b+b2 2的值是的值是()A.11A.11B.49B.49C.25C.25D.61D.61C C2.(20192.(2019枣庄中考枣庄中考)若若m-=3,m-=3,则则m m2 2+=_.+=_.3.(20193.(2019资阳安岳期末资阳安岳期末)计算计算:2 018:2 0182 2-2 0192 017=-2 0192 017=_._.11
25、111 14.(4.(阅读理解题阅读理解题)某同学在计算某同学在计算3(4+1)(43(4+1)(42 2+1)+1)时时,把把3 3写写成成(4-1)(4-1)后后,发现可以连续运用平方差公式计算发现可以连续运用平方差公式计算:3(4+1)(43(4+1)(42 2+1)=(4-1)(4+1)(4+1)=(4-1)(4+1)(42 2+1)=(4+1)=(42 2-1)(4-1)(42 2+1)=+1)=(4(42 2)2 2-1-12 2=256-1=255.=256-1=255.请借鉴该同学的方法计算请借鉴该同学的方法计算(2+1)(2(2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)
26、+1)(2(28 8+1)(2+1)(22 0482 048+1)=_.+1)=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2 24 0964 096-1-1考点六整式化简及求值考点六整式化简及求值 【核心突破核心突破】【例例6 6】(2018(2018邵阳中考邵阳中考)先化简先化简,再求值再求值:(a-2b)(a+:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2b)-(a-2b)2 2+8b+8b2 2,其中其中a=-2,b=a=-2,b=【思路点拨思路点拨】原式利用平方差公式原式利用平方差公式,以及完全平方公式以及完全平方公式化简化简,去括号合并得到最简结果去括号合并得到最简结果,把把a a与与b b的值代
27、入计算的值代入计算即可求出值即可求出值.【自主解答自主解答】原式原式=a=a2 2-4b-4b2 2-a-a2 2+4ab-4b+4ab-4b2 2+8b+8b2 2=4ab,=4ab,当当a=a=-2,b=-2,b=时时,原式原式=-4.=-4.【明明技法技法】整式化简求值的注意问题整式化简求值的注意问题整式的化简求值整式的化简求值,通常涉及单项式乘单项式、平方差公通常涉及单项式乘单项式、平方差公式、完全平方公式以及整式的加减等式、完全平方公式以及整式的加减等,在运算过程中在运算过程中,要正确运用乘法法则、去括号法则及乘法公式要正确运用乘法法则、去括号法则及乘法公式,不要出不要出现类似现类似
28、(x-y)(x-y)2 2=x=x2 2-y-y2 2的错误的错误.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019广饶模拟广饶模拟)已知已知x x满足满足x x2 2-4x-2=0,-4x-2=0,求求(2x-3)(2x-3)2 2-(x+y)(x-y)-y(x+y)(x-y)-y2 2的值的值.【解析解析】原式原式=4x=4x2 2-12x+9-x-12x+9-x2 2+y+y2 2-y-y2 2=3x=3x2 2-12x+9,-12x+9,xx2 2-4x-2=0,x-4x-2=0,x2 2-4x=2,-4x=2,原式原式=3(x=3(x2 2-4x)+9-4x)+9=32+9=32+9
29、=6+9=6+9=15.=15.2.(20192.(2019凉山州中考凉山州中考)先化简先化简,再求值再求值:(a+3):(a+3)2 2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中其中a=-a=-【解析解析】原式原式=a=a2 2+6a+9-(a+6a+9-(a2 2-1)-4a-8=2a+2,-1)-4a-8=2a+2,将将a=-a=-代入原式代入原式=2 +2=1.=2 +2=1.3.(20193.(2019南阳淅川期中南阳淅川期中)先化简先化简,再求值再求值:(x-y):(x-y)2 2-(x+y)(x+y)2 2+y(2x-y)(-2y),+y(
30、2x-y)(-2y),其中其中2x+y=4.2x+y=4.【解析解析】原式原式=(x=(x2 2-2xy+y-2xy+y2 2-x-x2 2-2xy-y-2xy-y2 2+2xy-y+2xy-y2 2)(-2y)=(-2xy-y(-2y)=(-2xy-y2 2)(-2y)(-2y)=x+y,=x+y,2x+y=4,x+y=2,2x+y=4,x+y=2,原式原式=2.=2.4.4.先化简先化简,再求值再求值:当当|x-2|+(y+1)|x-2|+(y+1)2 2=0=0时时,求求(3x+(3x+2y)(3x-2y)+(2y+x)(2y-3x)4x2y)(3x-2y)+(2y+x)(2y-3x)4
31、x的值的值.世纪金榜导世纪金榜导学号学号【解析解析】|x-2|+(y+1)|x-2|+(y+1)2 2=0,=0,x-2=0,y+1=0,x-2=0,y+1=0,解得解得x=2,y=-1,x=2,y=-1,(3x+2y)(3x-2y)+(2y+x)(2y-3x)4x(3x+2y)(3x-2y)+(2y+x)(2y-3x)4x=(9x=(9x2 2-4y-4y2 2+4y+4y2 2-6xy+2xy-3x-6xy+2xy-3x2 2)4x)4x=(6x=(6x2 2-4xy)4x=1.5x-y,-4xy)4x=1.5x-y,当当x=2,y=-1x=2,y=-1时时,原式原式=1.52-(-1)=3+1=4.=1.52-(-1)=3+1=4.