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1、第五讲二 次 根 式考点一二次根式的意义考点一二次根式的意义 【主干必备主干必备】二次根式二次根式一般地一般地, ,形如形如_的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式.最简二次最简二次根式根式必须同时满足必须同时满足: :(1)(1)被开方数不含被开方数不含_._.(2)(2)被开方数不含能开得尽方的被开方数不含能开得尽方的_._.a(a0)分母分母因数或因式因数或因式【微点警示微点警示】(1)(1)二次根式必须注意被开方数二次根式必须注意被开方数a0a0这一条件这一条件. .其结果其结果也是一个非负数也是一个非负数, ,即即 0.0.(2)(2)二次根式二次根式 (a0)(a0)中中,a,a既可
2、以表示数既可以表示数, ,也可以是也可以是一切符合条件的代数式一切符合条件的代数式. .aa【核心突破核心突破】【例例1 1】(1)(2018(1)(2018赤峰中考赤峰中考) )代数式代数式 中中x x的取值范围在数轴上表示为的取值范围在数轴上表示为( ( ) )13xx1A A(2)(2019(2)(2019山西中考山西中考) )下列二次根式是最简二次根式的下列二次根式是最简二次根式的是是( ( ) )D D112A. B. C. 8 D. 327【明明技法技法】二次根式有无意义的条件需注意的两个问题二次根式有无意义的条件需注意的两个问题(1)(1)如果一个式子中含有多个二次根式如果一个式
3、子中含有多个二次根式, ,那么它们有意那么它们有意义的条件是义的条件是: :各个二次根式中的被开方数都必须是非负各个二次根式中的被开方数都必须是非负数数. .(2)(2)如果所给式子中含有分母如果所给式子中含有分母, ,则除了保证被开方数为则除了保证被开方数为非负数外非负数外, ,还必须保证分母不为零还必须保证分母不为零. .【题组过关题组过关】1.(20191.(2019黄石中考黄石中考) )若式子若式子 在实数范围内有意在实数范围内有意义义, ,则则x x的取值范围是的取值范围是( ( ) )A.x1A.x1且且x2x2B.x1B.x1C.x1C.x1且且x2x2D.x1D.x1x1x2A
4、 A2.(20192.(2019广东深圳罗湖区期中广东深圳罗湖区期中) )若若 有意义有意义, ,则则a a能取的最小整数为能取的最小整数为( ( ) )A.0A.0B.-4B.-4C.4C.4D.-8D.-81a14B B3.(20193.(2019北京通州区期末北京通州区期末) )下列式子为最简二次根式下列式子为最简二次根式的是的是 世纪金榜导学号世纪金榜导学号( ( ) )B B1A. B. 30 C. 0.3 D. 203考点二二次根式的性质及应用考点二二次根式的性质及应用 【主干必备主干必备】二次根式的性质二次根式的性质两个重要性质两个重要性质2( a_(a0).） a2_(a0)a
5、|a |_(a0)，aa积的算术平积的算术平方根方根商的算术平商的算术平方根方根ab_ _(a0b0).，aba_(a0b0).b_，ab【微点警示微点警示】应用二次根式的性质化简时应用二次根式的性质化简时, ,注意挖掘题目中的隐含条注意挖掘题目中的隐含条件件, ,如如“化简化简 ” ”时时, ,题目中隐含题目中隐含着着:“1-3x0”:“1-3x0”这个条件这个条件. .224x4x11 3x （）【核心突破核心突破】【例例2 2】(2018(2018广州中考广州中考) )如图如图, ,数轴上点数轴上点A A表示的数为表示的数为a,a,化简化简:a+ =_.:a+ =_.2a4a42 2【明
6、明技法技法】理解二次根式的性质需注意的两个问题理解二次根式的性质需注意的两个问题(1) (a0)(1) (a0)的双重非负性的双重非负性: :被开方数被开方数a a非负非负; ; 本身非负本身非负. .aa(2) (2) 与与( )( )2 2的异同的异同: : 中的中的a a可以取任何实数可以取任何实数, ,而而( )( )2 2中的中的a a必须取非必须取非负数负数, ,只有当只有当a a取非负数时取非负数时, =( ), =( )2 2才成立才成立. .a2a2aa2aa【题组过关题组过关】1.(20191.(2019北京海淀区期末北京海淀区期末) )把把 化为最简二次根化为最简二次根式
7、得式得 ( ( ) )38aA A33A.2a 2a B.4 2a C.2 2a D.2a 4a2.(20192.(2019上海浦东新区月考上海浦东新区月考) )如图所示如图所示, ,数轴上点数轴上点A A与与点点B B分别对应实数分别对应实数a,b,a,b,下列四个等式中正确的个数有下列四个等式中正确的个数有 ( ( ) )B BA.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42222aa aa abab baba（） （） （） 3.(20193.(2019湖南邵阳县期末湖南邵阳县期末) )若若 =x-5,=x-5,则则x x的取的取值范围是值范围是( ( ) )A.x5A.x5D.x52
8、5x（）C C4.(20194.(2019北京门头沟区期末北京门头沟区期末) )如果实数如果实数a,ba,b在数轴上的在数轴上的位置如图所示位置如图所示, ,那么那么 =_.=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号22abb（）2b-a2b-a考点三二次根式的运算考点三二次根式的运算 【主干必备主干必备】二次根式的运算二次根式的运算二次根式的二次根式的加减加减先将各根式化为先将各根式化为_,_,然后合然后合并被开方数并被开方数_的二次根式的二次根式.二次根式的二次根式的乘法乘法 =_(a0,b0). =_(a0,b0).abab最简二次根式最简二次根式相同相同二次根式的二次根式的除法除法 =_(a0
9、,b0). =_(a0,b0).二次根式的二次根式的混合运算混合运算与实数的运算顺序相同与实数的运算顺序相同, ,先算乘方先算乘方, ,再再算乘除算乘除, ,最后算加减最后算加减, ,有括号的先算括有括号的先算括号里面的号里面的( (或先去括号或先去括号).).abab【微点警示微点警示】二次根式的乘法运算需注意的问题二次根式的乘法运算需注意的问题: :(1)(1)进行二次根式的乘法运算时进行二次根式的乘法运算时, ,应尽量把被开方数进应尽量把被开方数进行因数分解或因式分解行因数分解或因式分解, ,不可机械地套用乘法法则不可机械地套用乘法法则, ,盲盲目地把被开方数相乘目地把被开方数相乘. .
10、(2)(2)进行二次根式的乘法运算时进行二次根式的乘法运算时, ,不一定非得把二次根不一定非得把二次根式先化成最简二次根式式先化成最简二次根式, ,然后再相乘然后再相乘, ,但最后结果必须但最后结果必须是最简二次根式是最简二次根式. .【核心突破核心突破】【例例3 3】(1)(2018(1)(2018聊城中考聊城中考) )下列计算正确的是下列计算正确的是 ( ( ) )B B7111A 3 102 55 B()111171118C ( 7515)32 5 D183239(2)(2018(2)(2018山西中考山西中考) )计算计算: =_.: =_.3 21)(3 21)（1717 【明明技法
11、技法】二次根式运算中需注意的三个问题二次根式运算中需注意的三个问题(1)(1)二次根式乘法、除法法则也可逆用二次根式乘法、除法法则也可逆用, , (a0,b0), (a0,b0),(a0,b0), (a0,b0),利用这两个等式可利用这两个等式可以化简二次根式以化简二次根式. .ababaabb(2)(2)运算结果应尽可能化简运算结果应尽可能化简. .在解决实际问题时在解决实际问题时, ,二次根二次根式的结果可按要求取近似值式的结果可按要求取近似值( (将无理数转化为有理数将无理数转化为有理数).).(3)(3)在二次根式的运算或化简过程中在二次根式的运算或化简过程中, ,乘法公式、因式乘法公
12、式、因式分解等相关法则、方法均可使用分解等相关法则、方法均可使用. .【题组过关题组过关】1.1.下列各式中下列各式中, ,计算正确的是计算正确的是 ( ( ) )C C22A. abab B. 3056C.3142 3 D.2 510（）（）2.(20192.(2019滨州中考滨州中考) )计算计算: :_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2131()|32|221824 33.(20193.(2019广州一模广州一模) )计算计算: =_.: =_.12466（）13134.(20194.(2019福建漳州期末福建漳州期末) )计算计算: : 世纪金榜导学号世纪金榜导学号226|32|2 . （）（）【解析解析】原式原式= =2 32323 3. 【解析解析】原式原式= =2 32323 3.