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1、第七讲分 式 方 程考点一分式方程的概念及其解法考点一分式方程的概念及其解法【主干必备主干必备】分式方程的概念及解法分式方程的概念及解法概概念念1.1.定义定义: :分母中含分母中含_的方程的方程.2.2.增根增根: :当分式方程中未知数当分式方程中未知数x x的值的值, ,使得原分使得原分式方程的分母为式方程的分母为_,_,我们称它为原方我们称它为原方程的增根程的增根.未知数未知数零零解解法法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为解分式方程的基本思路是将分式方程转化为_方程方程, ,具体步骤是具体步骤是:(1)(1)去分母去分母, ,在方程的两边都乘以在方程的两边都乘以_,_,化成整式方程化
2、成整式方程.(2)(2)解这个整式方程解这个整式方程. .(3)(3)验根验根, ,把整式方程的根代入最简公分母把整式方程的根代入最简公分母, ,如果如果_,_,则整式方则整式方程的解是原分式方程的解程的解是原分式方程的解; ;否则否则, ,这个解不是这个解不是原分式方程的解原分式方程的解.整式整式最简公最简公分母分母最简公分母不等于最简公分母不等于0 0【核心突破核心突破】【例例1 1】(1)(2019(1)(2019德州中考德州中考) )方程方程 的解为的解为_._.(2)(2019(2)(2019广安中考广安中考) )解分式方程解分式方程: : 631(x1)(x1)x12x41.x2x
3、4x4 x=-4x=-4【自主解答自主解答】 方程两边乘方程两边乘(x-2)(x-2)2 2得得: :x(x-2)-(x-2)x(x-2)-(x-2)2 2=4,=4,解得解得x=4,x=4,检验检验: :当当x=4x=4时时,(x-2),(x-2)2 20.0.所以原方程的解为所以原方程的解为x=4.x=4.2x41x2x4x4， 【明明技法技法】解分式方程时应注意的两点解分式方程时应注意的两点(1)(1)去分母时去分母时, ,要将最简公分母乘以每一个式子要将最简公分母乘以每一个式子, ,不要不要“漏乘漏乘”; ;(2)(2)解分式方程时必须检验解分式方程时必须检验, ,检验时只要代入最简公
4、分检验时只要代入最简公分母看其是否为母看其是否为0 0即可即可. .若能使最简公分母为若能使最简公分母为0,0,则该解是则该解是原方程的增根原方程的增根. .【题组过关题组过关】1.(20191.(2019滨州中考滨州中考) )方程方程 的解是的解是_._.2.(20192.(2019广州二模广州二模) )若代数式若代数式 的值相的值相等等, ,则则x=_.x=_.x331x22x13x22x1和x=1x=17 73.(3.(新定义运算题新定义运算题)(2019)(2019安顺期末安顺期末) )对于实数对于实数a,ba,b定义定义一种新运算一种新运算“”:a:ab= b= 例如例如, ,则方程
5、则方程x x2= -12= -1的解是的解是_._.世纪金榜世纪金榜导学号导学号21ab，211131 382x4x=5x=54.(20194.(2019宜春丰城期末宜春丰城期末) )解分式方程解分式方程: : x1x13(x2)(x1)【解析解析】两边都乘以两边都乘以(x+2)(x-1),(x+2)(x-1),得得:x(x+2)-(x+2)(x:x(x+2)-(x+2)(x-1)=3,-1)=3,解得解得:x=1,:x=1,检验检验:x=1:x=1时时,(x+2)(x-1)=0,(x+2)(x-1)=0,原方原方程无解程无解. .考点二与分式方程的解有关的字母取值问题考点二与分式方程的解有关
6、的字母取值问题【核心突破核心突破】【例例2 2】(1)(2018(1)(2018眉山中考眉山中考) )已知关于已知关于x x的分式方程的分式方程 有一个正数解有一个正数解, ,则则k k的取值范围为的取值范围为_._.xk2x3x3kk6 6且且k3k3(2)(2018(2)(2018齐齐哈尔中考齐齐哈尔中考) )若关于若关于x x的方程的方程 无解无解, ,则则m m的值为的值为_._.1mx4x42m3x1613 -1 -1或或5 5或或- - 【明明技法技法】与分式方程的解有关问题的两种类型与分式方程的解有关问题的两种类型一是根据方程的解的性质讨论字母的取值一是根据方程的解的性质讨论字母
7、的取值, ,其解题策其解题策略略是化分式方程为整式方程是化分式方程为整式方程, ,用含有字母的代数式表示方用含有字母的代数式表示方程的解程的解, ,根据题意列不等式求出字母的取值范围根据题意列不等式求出字母的取值范围, ,注意注意考虑满足分母不等于零的限制条件考虑满足分母不等于零的限制条件; ;二是分式方程无解二是分式方程无解, ,分式方程无解有两种情况分式方程无解有两种情况: :1.1.由分式方程所化为的整式方程由分式方程所化为的整式方程ax=b,ax=b,出现出现a=0,b0a=0,b0的的情况情况, ,此时整式方程无解此时整式方程无解, ,所以分式方程也无解所以分式方程也无解; ;2.2
8、.由分式方程化为整式方程由分式方程化为整式方程, ,整式方程的解使得分式方整式方程的解使得分式方程的分母为零程的分母为零, ,此时分式方程无解此时分式方程无解. .【题组过关题组过关】1.(20191.(2019北京密云区期末北京密云区期末) )已知关于已知关于x x的方程的方程 的解是正整数的解是正整数, ,且且k k为整数为整数, ,则则k k的值是的值是( ( ) )A.0A.0B.-2B.-2C.0C.0或或6 6D.-2D.-2或或6 63kx3xD D2.(20192.(2019巴中中考巴中中考) )若关于若关于x x的分式方程的分式方程 有增根有增根, ,则则m m的值为的值为_
9、._.3.(20193.(2019宿迁中考宿迁中考) )关于关于x x的分式方程的分式方程 的解为正数的解为正数, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.x2m2mx22x1a21x22x1 1a5a5且且a3a34.(20194.(2019广饶模拟广饶模拟) )已知关于已知关于x x的分式方程的分式方程 世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)已知已知m=4,m=4,求方程的解求方程的解. .(2)(2)若该分式方程无解若该分式方程无解, ,试求试求m m的值的值. .2x1mx1.(x1)(x2)x2【解析解析】分式方程去分母得分式方程去分母得:2(x+2)+mx=x-1,:2(x+
10、2)+mx=x-1,整理得整理得:(m+1)x=-5.:(m+1)x=-5.(1)(1)当当m=4m=4时时,(4+1)x=-5,(4+1)x=-5,解得解得:x=-1,:x=-1,经检验经检验:x=-1:x=-1是原方程的解是原方程的解. .(2)(2)分式方程无解分式方程无解, ,m+1=0m+1=0或或(x+2)(x-1)=0,(x+2)(x-1)=0,当当m+1=0m+1=0时时,m=-1;,m=-1;当当(x+2)(x-1)=0(x+2)(x-1)=0时时,x=-2,x=-2或或x=1.x=1.当当x=-2x=-2时时m= m= 当当x=1x=1时时m=-6,m=-6,m=-1m=-
11、1或或-6-6或或 时该分式方程无解时该分式方程无解. .32；32考点三分式方程的应用考点三分式方程的应用【主干必备主干必备】列分式方程解应用题的步骤跟一次方程列分式方程解应用题的步骤跟一次方程( (组组) )的应用题的应用题不一样的是不一样的是: :要检验要检验, ,既要检验求出来的解是否为原方既要检验求出来的解是否为原方程的根程的根, ,又要检验是否符合题意又要检验是否符合题意. . 【核心突破核心突破】【例例3 3】(1)(2019(1)(2019绵阳中考绵阳中考) )一艘轮船在静水中的最一艘轮船在静水中的最大航速为大航速为30 km/h,30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行它以最
12、大航速沿江顺流航行120 km120 km所用时间所用时间, ,与以最大航速逆流航行与以最大航速逆流航行60 km60 km所用时间相同所用时间相同, ,则江水的流速为则江水的流速为_km/h._km/h.1010(2)(2019(2)(2019甘肃中考甘肃中考) )中国古代人民很早就在生产生活中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题中发现了许多有趣的数学问题, ,其中其中孙子算经孙子算经中有中有个问题个问题, ,原文原文: :今有三人共车今有三人共车, ,二车空二车空; ;二人共车二人共车, ,九人步九人步, ,问人与车各几何问人与车各几何? ?译文为译文为: :今有若干人乘车
13、今有若干人乘车, ,每每3 3人共乘人共乘一车一车, ,最终剩余最终剩余2 2辆车辆车, ,若每若每2 2人共乘一车人共乘一车, ,最终剩余最终剩余9 9个个人无车可乘人无车可乘, ,问共有多少人问共有多少人, ,多少辆车多少辆车? ?【自主解答自主解答】略略 【明明技法技法】用分式方程解决实际问题的关键及注意点用分式方程解决实际问题的关键及注意点列分式方程解应用题的关键是分析题意列分式方程解应用题的关键是分析题意, ,弄清楚已知量弄清楚已知量与未知量之间的关系与未知量之间的关系, ,从而得到等量关系式从而得到等量关系式, ,进而引进进而引进未知数未知数, ,列出方程解决问题列出方程解决问题.
14、 .利用分式方程解应用题一利用分式方程解应用题一定要注意检验定要注意检验, ,找出符合实际情况的答案找出符合实际情况的答案. .【题组过关题组过关】1.(20191.(2019广州三模广州三模) )某市为绿化环境计划植树某市为绿化环境计划植树2 4002 400棵棵, ,实际劳动中每天植树的数量比原计划多实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%,20%,结果提前结果提前8 8天完成任务天完成任务. .若设原计划每天植树若设原计划每天植树x x棵棵, ,则根据题意可列则根据题意可列方程为方程为_._.2 4002 4008x1.2x2.(20192.(2019达州中考达州中考) )端午节前后端午
15、节前后, ,张阿姨两次到超市购张阿姨两次到超市购买同一种粽子买同一种粽子. .节前节前, ,按标价购买按标价购买, ,用了用了9696元元; ;节后节后, ,按标按标价的价的6 6折购买折购买, ,用了用了7272元元, ,两次一共购买了两次一共购买了2727个个. .这种粽这种粽子的标价是多少子的标价是多少? ?世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解析解析】设这种粽子的标价是设这种粽子的标价是x x元元/ /个个, ,则节后的价格是则节后的价格是0.6x0.6x元元/ /个个, ,依题意依题意, ,得得: : 解得解得:x=8,:x=8,经检验经检验,x=8,x=8是原方程的解是原方程的解, ,且
16、符合题意且符合题意. .答答: :这种粽子的标价是这种粽子的标价是8 8元元/ /个个. .967227x0.6x，3.(20193.(2019扬州中考扬州中考)“)“绿水青山就是金山银山绿水青山就是金山银山”为了为了更进一步优化环境更进一步优化环境, ,甲、乙两队承担河道整治任务甲、乙两队承担河道整治任务. .甲、甲、乙两个工程队每天共整治河道乙两个工程队每天共整治河道1 5001 500米米, ,且甲整治且甲整治3 6003 600米河道用的时间与乙工程队整治米河道用的时间与乙工程队整治2 4002 400米所用的时间相米所用的时间相等等. .求甲工程队每天修多少米求甲工程队每天修多少米?
17、 ?【解析解析】设甲工程队每天修设甲工程队每天修x x米米, ,则乙工程队每天修则乙工程队每天修(1 500-x)(1 500-x)米米, ,根据题意得根据题意得 解得解得x=900,x=900,经检验经检验x=900 x=900是原方程的根是原方程的根. .答答: :甲工程队每天修甲工程队每天修900900米米. .3 6002 400,x1 500 x4.(20194.(2019安徽模拟安徽模拟) )某公司购买了一批某公司购买了一批A.BA.B型芯片型芯片, ,其其中中A A型芯片的单价比型芯片的单价比B B型芯片的单价少型芯片的单价少9 9元元, ,已知该公司已知该公司用用3 1203
18、120元购买元购买A A型芯片的条数与用型芯片的条数与用4 2004 200元购买元购买B B型芯型芯片的条数相等片的条数相等. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求该公司购买的求该公司购买的A,BA,B型芯片的单价各是多少元型芯片的单价各是多少元? ?(2)(2)若两种芯片共购买了若两种芯片共购买了200200条条, ,且购买的总费用为且购买的总费用为6 2806 280元元, ,求购买了多少条求购买了多少条A A型芯片型芯片? ?【解析解析】(1)(1)设设B B型芯片的单价为型芯片的单价为x x元元/ /条条, ,则则A A型芯片的型芯片的单价为单价为(x-9)(x-9)元元/
19、/条条, ,根据题意得根据题意得: : 解得解得:x=35,:x=35,经检验经检验,x=35,x=35是原方程的解是原方程的解, ,3 1204 200 x9x，x-9=26.x-9=26.答答: :A A型芯片的单价为型芯片的单价为2626元元/ /条条,B,B型芯片的单价为型芯片的单价为3535元元/ /条条. .(2)(2)设购买设购买a a条条A A型芯片型芯片, ,则购买则购买(200-a)(200-a)条条B B型芯片型芯片, ,根据题意得根据题意得:26a+35(200-a)=6 280,:26a+35(200-a)=6 280,解得解得:a=80.:a=80.答答: :购买了购买了8080条条A A型芯片型芯片. .