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1、第三章第三章线性控制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性一一一一.问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出 二二二二.线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性 三三三三.线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性四四四四.离散系统的能控性与能观性离散系统的能控性与能观性离散系统的能控性与能观性离散系统的能控性与能观性五五五五.控制系统能控性与能观性之间的关系控制系统能控性与能观性之间的关系控制系统能控性与能观性之间的关系控制系统能控性与能观性之间的关系六六六六.传递函数矩阵
2、的最小实现问题传递函数矩阵的最小实现问题传递函数矩阵的最小实现问题传递函数矩阵的最小实现问题 七七.单元练习单元练习单元练习单元练习3 3 3 3一一.问题的提出问题的提出 现现代代控控制制理理论论将将系系统统由由古古典典控控制制理理论论的的外外部部描描述述转转换换成成内内部部描描述述所所引引发发出出的的问问题题状状态态变变量量（中中间间变变量量）的的能能控控性性和和能能观观性。性。1 1所有状态所有状态所有状态所有状态X X（t t）是否都能受输入信号是否都能受输入信号是否都能受输入信号是否都能受输入信号U U（t t）的控制；的控制；的控制；的控制；2 2系统的所有状态系统的所有状态系统的
3、所有状态系统的所有状态X X（t t）是否都能通过输出信号是否都能通过输出信号是否都能通过输出信号是否都能通过输出信号Y Y（t t）观测到；观测到；观测到；观测到；3 3控制系统的能控性和能观性是采用现代控制理论方法设计高控制系统的能控性和能观性是采用现代控制理论方法设计高控制系统的能控性和能观性是采用现代控制理论方法设计高控制系统的能控性和能观性是采用现代控制理论方法设计高性能指标系统的必备条件。性能指标系统的必备条件。性能指标系统的必备条件。性能指标系统的必备条件。返回返回返回返回 二二.线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性1、定义与性质2、状态能控性的判别3、状态能控标准型
4、及其求取4、状态不完全能控系统按能控性分解5、综合应用举例返回返回返回返回1.定义及其性质定义及其性质（1 1）物理意义物理意义物理意义物理意义 状状状状态态态态的的的的能能能能控控控控性性性性是是是是指指指指系系系系统统统统的的的的输输输输入入入入能能能能否否否否控控控控制制制制系系系系统统统统状状状状态态态态的的的的变变变变化化化化。这这这这一一一一特特特特性性性性是是是是由由由由系系系系统统统统的的的的状状状状态态态态方方方方程程程程唯唯唯唯一一一一确确确确定定定定的的的的。而而而而系系系系统统统统输输输输出出出出能能能能控控控控是是是是指指指指系系系系统统统统的的的的输输输输入入入入能
5、能能能否否否否控控控控制制制制系系系系统统统统输输输输出出出出的的的的变变变变化化化化。显显显显然然然然，这这这这一一一一特特特特性性性性是是是是由由由由系系系系统统统统的的的的状状状状态态态态方方方方程程程程和和和和输输输输出出出出方方方方程程程程共同确定的。共同确定的。共同确定的。共同确定的。应用举例：应用举例：(2)(2)定义定义定义定义n n状态完全能控：状态完全能控：状态完全能控：状态完全能控：对对于于线线性性定定常常系系统统 ，如如果果存存在在一一个个分分段段连连续续的的控控制制信信号号u u（t t），能能在在有有限限时时间间 内内，使使系系统统由由某某一一个个初初始始状状态态转
6、转移移到到指指定定的的任任一一终终止止状状态态，则则称称此此状状态态是是能能控控的的，若若系系统统所所有有状状态态都都能能控控，即即状状态态向向量在整个状态空间能控，则称系统状态完全能控，或简称系统是能控的。量在整个状态空间能控，则称系统状态完全能控，或简称系统是能控的。n n输出完全能控：输出完全能控：输出完全能控：输出完全能控：对对于于线线性性定定常常系系统统 ，如如果果存存在在一一个个分分段段连连续续的的控控制制信信号号u u（t t），能能在在有有限限时时间间 内内，使使系系统统输输出出由由某某一一个个初初始始状态转移到指定的任意一个终止状态，则称此系统输出是完全能控的。状态转移到指定
7、的任意一个终止状态，则称此系统输出是完全能控的。n n 能达性的概念：能达性的概念：能达性的概念：能达性的概念：如如果果存存在在一一个个分分段段连连续续的的控控制制信信号号u u（t t），能能在在有有限限时时间间 内内，使使状状态态由由原原点转移到任意一指定的终端状态。可以证明线性系统的能控性与能达性等价。点转移到任意一指定的终端状态。可以证明线性系统的能控性与能达性等价。(3(3)性质定理性质定理性质定理性质定理（所有内容可以从状态解推出）（所有内容可以从状态解推出）（所有内容可以从状态解推出）（所有内容可以从状态解推出）定理一：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是满足下列等价条定理一
8、：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是满足下列等价条定理一：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是满足下列等价条定理一：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是满足下列等价条件之一。件之一。件之一。件之一。n n矩阵矩阵矩阵矩阵 是行线性无关的；是行线性无关的；是行线性无关的；是行线性无关的；n n矩阵矩阵矩阵矩阵 是行线性无关的；是行线性无关的；是行线性无关的；是行线性无关的；n n格拉姆矩阵格拉姆矩阵格拉姆矩阵格拉姆矩阵 是非奇异的。是非奇异的。是非奇异的。是非奇异的。n n能控性判别矩阵能控性判别矩阵能控性判别矩阵能控性判别矩阵 是满秩的，是满秩的，是满秩的，是满秩的，即即即即 技
9、巧：技巧：技巧：技巧：定理二：线性变换不改变系统的能控性。定理二：线性变换不改变系统的能控性。定理二：线性变换不改变系统的能控性。定理二：线性变换不改变系统的能控性。定理三：线性定常系统输出完全能控的充分必要条件是：定理三：线性定常系统输出完全能控的充分必要条件是：定理三：线性定常系统输出完全能控的充分必要条件是：定理三：线性定常系统输出完全能控的充分必要条件是：另有：若系统状态能控，则系统的输出必然能控。另有：若系统状态能控，则系统的输出必然能控。另有：若系统状态能控，则系统的输出必然能控。另有：若系统状态能控，则系统的输出必然能控。返回返回返回返回2.2.系统状态能控性的判别方法系统状态能
10、控性的判别方法系统状态能控性的判别方法系统状态能控性的判别方法(1)(1)由由由由A A、BB阵唯一确定：能控性判别矩阵阵唯一确定：能控性判别矩阵阵唯一确定：能控性判别矩阵阵唯一确定：能控性判别矩阵(2)(2)若若若若AA阵阵阵阵为为为为对对对对角角角角型型型型，则则则则系系系系统统统统完完完完全全全全能能能能控控控控的的的的条条条条件件件件是是是是B B阵阵阵阵中中中中没没没没有有有有全全全全为为为为零零零零的的的的行行行行；若若若若A A阵阵阵阵为为为为约约约约旦旦旦旦型型型型，则则则则系系系系统统统统完完完完全全全全能能能能控控控控的的的的条条条条件件件件是是是是BB阵阵阵阵中中中中对对
11、对对应应应应于于于于互互互互异异异异的的的的特特特特征征征征值值值值的的的的各各各各行行行行，没没没没有有有有一一一一行行行行的的的的元元元元素素素素全全全全为为为为零零零零，BB阵阵阵阵中中中中对对对对应应应应于于于于每每每每个个个个约约约约旦旦旦旦块块块块的的的的最最最最后后后后一一一一行行行行不不不不全全全全为为为为零零零零。p105p105例例例例3-43-4特殊情况：特殊情况：特殊情况：特殊情况：p105p105例例例例3-53-5(3)(3)选选选选择择择择变变变变换换换换阵阵阵阵 P P P P，对对对对原原原原模模模模型型型型作作作作线线线线性性性性变变变变换换换换，化化化化A
12、 A A A阵阵阵阵为为为为对对对对角角角角阵阵阵阵或或或或约约约约旦旦旦旦阵阵阵阵，再再再再由由由由 P P P P-1-1-1-1AP AP AP AP 和和和和 P P P P-1-1-1-1B B B B 阵依据（阵依据（阵依据（阵依据（2 2 2 2）判别方法判别系统的能控性。举例。）判别方法判别系统的能控性。举例。）判别方法判别系统的能控性。举例。）判别方法判别系统的能控性。举例。返回返回返回返回 3 3.能控标准型及其求取能控标准型及其求取能控标准型及其求取能控标准型及其求取(1)(1)研究能控标准型的意义：为简化反馈控制系统的设计奠定基础。研究能控标准型的意义：为简化反馈控制系
13、统的设计奠定基础。研究能控标准型的意义：为简化反馈控制系统的设计奠定基础。研究能控标准型的意义：为简化反馈控制系统的设计奠定基础。(2)(2)单输入单输出系统能控标准型的形式单输入单输出系统能控标准型的形式单输入单输出系统能控标准型的形式单输入单输出系统能控标准型的形式(3)(3)能能能能控标准型的求取方法控标准型的求取方法控标准型的求取方法控标准型的求取方法 方法之一：方法之一：方法之一：方法之一：n n选择变换阵选择变换阵n n取取作线性变换，再由作线性变换，再由和和可以将任意形可以将任意形 式的式的能控系统化成上述能控标准型。能控系统化成上述能控标准型。（证明过程见（证明过程见P113-
14、114P113-114）方法之二：方法之二：方法之二：方法之二：由传递函数直接写出上述能控标准型由传递函数直接写出上述能控标准型 (4)(4)多输入多输出系统的能控标准型及其求取多输入多输出系统的能控标准型及其求取多输入多输出系统的能控标准型及其求取多输入多输出系统的能控标准型及其求取n n形式形式形式形式 原多输入多输出系统的状态空间表达式为原多输入多输出系统的状态空间表达式为 系统的特征多项式为系统的特征多项式为 存在变换阵对其进行线性变换后得：存在变换阵对其进行线性变换后得：则则 为能控标准型。为能控标准型。要求掌握由要求掌握由 传递函数矩阵求能控标准型传递函数矩阵求能控标准型n n求取
15、求取求取求取依据传递函数矩阵可以直接写出系统的能控标准型。依据传递函数矩阵可以直接写出系统的能控标准型。返回返回 举例举例：课堂课堂练习练习 4.4.不完全能控系统按能控性的结构分解不完全能控系统按能控性的结构分解不完全能控系统按能控性的结构分解不完全能控系统按能控性的结构分解(1)(1)分解的意义：便于进行系统性能分析以及反馈控制系统的设计。分解的意义：便于进行系统性能分析以及反馈控制系统的设计。分解的意义：便于进行系统性能分析以及反馈控制系统的设计。分解的意义：便于进行系统性能分析以及反馈控制系统的设计。(2)(2)能控分量个数能控分量个数能控分量个数能控分量个数n n n n1 1 1
16、1的确定：的确定：的确定：的确定：(3)(3)分解的结构形式：分解的结构形式：分解的结构形式：分解的结构形式：其中其中n n1 1维的能控子空间的状态方程为：维的能控子空间的状态方程为：输出方程为：输出方程为：n-nn-n1 1维的不能控子空间的状态方程为：维的不能控子空间的状态方程为：输出方程为：输出方程为：(4)(4)分解方法分解方法分解方法分解方法（寻求变换阵）（寻求变换阵）（寻求变换阵）（寻求变换阵）n n 线线性性变变换换结结构构分分解解：构构造造非非奇奇异异变变换换阵阵T Tc c，前前n n1 1列列为为能能控控判判别别阵阵U UC C中中的的n n1 1个个线线性性无无关关列列
17、，其其中中n n1 1为为能能控控判判别别阵阵U UC C的的秩秩，后后n-nn-n1 1列列为为任任意意形形式式，只只要要保保证证T Tc c-1-1存存在在即即可可。取取 ，得得 为为分分解解后后的的形式形式举例举例n n 对对角角标标准准型型或或约约旦旦标标准准型型的的直直接接分分解解：确确定定能能控控与与不不能能控控分分量量后后展展开开成成一阶微分方程组重新排列。一阶微分方程组重新排列。n n思考题：思考题：能控性结构分解后的能控性和传递函数矩阵如何改变？能控性结构分解后的能控性和传递函数矩阵如何改变？举例举例：系统状态空间表达式为：系统状态空间表达式为显然，系统状态显然，系统状态x
18、x2 2（t t）不能控。不能控。对状态变量进行调整分解后得：对状态变量进行调整分解后得：能控子空间的状态方程为：能控子空间的状态方程为：不能控子空间的状态方程为：不能控子空间的状态方程为：举例举例：返回返回 显然，系统状态显然，系统状态x x2 2（t t）不能控。对状态变量进行调整分解后得：不能控。对状态变量进行调整分解后得：能控子空间的状态方程为：能控子空间的状态方程为：不能控子空间的状态方程为：不能控子空间的状态方程为：5.5.综合综合综合综合应用举例应用举例应用举例应用举例 例例11：判别下列系统的能控性。若能控，化能控标准型。若不能控：判别下列系统的能控性。若能控，化能控标准型。若
19、不能控则系统按能控性分解。则系统按能控性分解。(1)(1)n n判能控性判能控性 系统完全能控。系统完全能控。n n 化能控标准型化能控标准型方法之一：方法之一：方法之一：方法之一：求输入和输出之间的传递函数求输入和输出之间的传递函数方法之二：方法之二：方法之二：方法之二：求变换阵求变换阵P P-1-1C C（2 2）P122 P122 例例3-133-13。n n判状态的能控性：判状态的能控性：不完全能控；不完全能控；n n构造按能控性分解的变换阵：构造按能控性分解的变换阵：n n对原状态空间表达式进行线性变换：对原状态空间表达式进行线性变换：返回返回返回返回 三三.线性连续系统的能观性线性
20、连续系统的能观性1、定义与性质定义与性质2、状态能观性的判别状态能观性的判别3、状态能观标准型及其求取状态能观标准型及其求取4、状态不完全能观系统按能观性分解状态不完全能观系统按能观性分解返回返回返回返回1.定义及其性质(1)(1)物理意义物理意义物理意义物理意义 系统的能观性是指系统的状态（内部信息）是否可以在有限系统的能观性是指系统的状态（内部信息）是否可以在有限系统的能观性是指系统的状态（内部信息）是否可以在有限系统的能观性是指系统的状态（内部信息）是否可以在有限的时间内通过系统的输出信号获得。的时间内通过系统的输出信号获得。的时间内通过系统的输出信号获得。的时间内通过系统的输出信号获得
21、。所以能观性是研究系统状态与输出的关系，而与输入无关。所以能观性是研究系统状态与输出的关系，而与输入无关。所以能观性是研究系统状态与输出的关系，而与输入无关。所以能观性是研究系统状态与输出的关系，而与输入无关。故应该由齐次方程故应该由齐次方程故应该由齐次方程故应该由齐次方程 的结构唯一确定。的结构唯一确定。的结构唯一确定。的结构唯一确定。工程实例：工程实例：u(t)y(t)y(t)u(t)图图2 2建模后的分析过程如下：建模后的分析过程如下：系统的状态空间表达式为系统的状态空间表达式为状态转移矩阵为状态转移矩阵为状态解为：状态解为：只要能够观测到状态的初值，就能通过状态方程的解获得状态只要能够
22、观测到状态的初值，就能通过状态方程的解获得状态在任意时刻的数值。在任意时刻的数值。系统输出为系统输出为 显然，当两个状态的初始条件相等时，系统的输出信号始终为零，无法显然，当两个状态的初始条件相等时，系统的输出信号始终为零，无法反映状态信息，所以该系统不完全能够观测。反映状态信息，所以该系统不完全能够观测。（2 2 2 2）定义）定义）定义）定义 对于线性定常系统对于线性定常系统 ，若系统任意初始时刻，若系统任意初始时刻t t0 0的状态的状态 ，在在有有限限时时间间 内内，可可由由系系统统的的输输出出y y（t t）唯唯一一的的确确定定出出来来，那那么么，称称状状态态 在在t t0 0时时刻
23、刻是是能能够够观观测测的的。若若系系统统的的整整个个状状态态向向量量 都都是是能能观观测测的，则系统是完全能观测的，简称系统能观。的，则系统是完全能观测的，简称系统能观。说明：说明：n n能观测初值就能观测任意时刻值，因为有能观测初值就能观测任意时刻值，因为有 ；n n当输出维数与状态维数相等且当输出维数与状态维数相等且C C阵的逆存在时，状态的观测立刻可以获得，阵的逆存在时，状态的观测立刻可以获得，即：即：n n当输出维数低于状态的维数，则观测需要一定的时间来确定，当输出维数低于状态的维数，则观测需要一定的时间来确定，即：即：表达式中由输出检测值求状态的初值，再由状态的初值得表达式中由输出检
24、测值求状态的初值，再由状态的初值得到状态在任意时刻的值。到状态在任意时刻的值。（3 3）定理定理定理定理返回返回返回返回 定理一：线性定常系统状态完全能观的充分必要条件定理一：线性定常系统状态完全能观的充分必要条件定理一：线性定常系统状态完全能观的充分必要条件定理一：线性定常系统状态完全能观的充分必要条件为下列等价条件之一：为下列等价条件之一：为下列等价条件之一：为下列等价条件之一：n n矩阵矩阵 是列线性无关的；是列线性无关的；n n矩阵矩阵 是列线性无关的；是列线性无关的；n n格拉姆矩阵格拉姆矩阵 是非奇异的。是非奇异的。n n能观性判别矩阵能观性判别矩阵 是满秩的，即是满秩的，即 。定
25、理二：线性变换不改变系统的能观性。（证明略）定理二：线性变换不改变系统的能观性。（证明略）定理二：线性变换不改变系统的能观性。（证明略）定理二：线性变换不改变系统的能观性。（证明略）2 2.能观性的判别方法能观性的判别方法能观性的判别方法能观性的判别方法 (1 1)A)A)A)A、C C C C 阵唯一确定：能观性判别矩阵阵唯一确定：能观性判别矩阵阵唯一确定：能观性判别矩阵阵唯一确定：能观性判别矩阵 。（2 2 2 2）若若若若A A A A为对角阵，则系统完全能观的充分必要条件是为对角阵，则系统完全能观的充分必要条件是为对角阵，则系统完全能观的充分必要条件是为对角阵，则系统完全能观的充分必要
26、条件是C C C C阵中没有全为阵中没有全为阵中没有全为阵中没有全为零的列；若零的列；若零的列；若零的列；若A A A A为约旦阵则系统完全能观的充分必要条件是为约旦阵则系统完全能观的充分必要条件是为约旦阵则系统完全能观的充分必要条件是为约旦阵则系统完全能观的充分必要条件是C C C C阵中对应阵中对应阵中对应阵中对应于约旦块的第一列不全为零。于约旦块的第一列不全为零。于约旦块的第一列不全为零。于约旦块的第一列不全为零。(3)(3)通过线性变换通过线性变换通过线性变换通过线性变换化对角或约旦型后采用上述（化对角或约旦型后采用上述（化对角或约旦型后采用上述（化对角或约旦型后采用上述（2 2）的方
27、法判能观性。）的方法判能观性。）的方法判能观性。）的方法判能观性。返回返回返回返回 3 3.能观标准型的求取能观标准型的求取能观标准型的求取能观标准型的求取(1)(1)研究能观标准型的意义：为系统状态观测器的制作及反馈控制系统的设计研究能观标准型的意义：为系统状态观测器的制作及反馈控制系统的设计研究能观标准型的意义：为系统状态观测器的制作及反馈控制系统的设计研究能观标准型的意义：为系统状态观测器的制作及反馈控制系统的设计奠定基础。奠定基础。奠定基础。奠定基础。(2)2)单输入单输出系统的能观标准型的形式：单输入单输出系统的能观标准型的形式：单输入单输出系统的能观标准型的形式：单输入单输出系统的
28、能观标准型的形式：(3)3)能观标准型的求取能观标准型的求取能观标准型的求取能观标准型的求取：n n选择非奇异变换选择非奇异变换选择非奇异变换选择非奇异变换 ，。n n取取取取 作线性变换，再由作线性变换，再由作线性变换，再由作线性变换，再由 ，和和和和 可以将可以将可以将可以将任意形式的能观系统化成上述能观标准型。任意形式的能观系统化成上述能观标准型。任意形式的能观系统化成上述能观标准型。任意形式的能观系统化成上述能观标准型。n n由传递函数直接写出上述能观标准型由传递函数直接写出上述能观标准型由传递函数直接写出上述能观标准型由传递函数直接写出上述能观标准型 。其中其中其中其中A A A A
29、阵由分母写出，阵由分母写出，阵由分母写出，阵由分母写出，B B B B阵由分子写出，阵由分子写出，阵由分子写出，阵由分子写出，C C C C阵见能观标准模式。阵见能观标准模式。阵见能观标准模式。阵见能观标准模式。（4 4 4 4）多输入多输出系统的能观标准型多输入多输出系统的能观标准型多输入多输出系统的能观标准型多输入多输出系统的能观标准型 原多输入多输出系统的状态空间表达式为原多输入多输出系统的状态空间表达式为原多输入多输出系统的状态空间表达式为原多输入多输出系统的状态空间表达式为 。系统的特征多项式为系统的特征多项式为系统的特征多项式为系统的特征多项式为 存在变换阵对其进行线性变换后得：存
30、在变换阵对其进行线性变换后得：存在变换阵对其进行线性变换后得：存在变换阵对其进行线性变换后得：则则则则 为能观标准型。为能观标准型。为能观标准型。为能观标准型。由传递函数矩阵可以直接获得状态空间表达式的能观标准。由传递函数矩阵可以直接获得状态空间表达式的能观标准。由传递函数矩阵可以直接获得状态空间表达式的能观标准。由传递函数矩阵可以直接获得状态空间表达式的能观标准。返回返回返回返回 举例举例举例举例：4.4.系统按能观性的结构分解系统按能观性的结构分解系统按能观性的结构分解系统按能观性的结构分解(1)(1)分解的意义：便于进行系统性能分析以及状态观测器的制作。分解的意义：便于进行系统性能分析以
31、及状态观测器的制作。分解的意义：便于进行系统性能分析以及状态观测器的制作。分解的意义：便于进行系统性能分析以及状态观测器的制作。(2)(2)能观分量个数能观分量个数能观分量个数能观分量个数n n1 1的确定：的确定：的确定：的确定：(3)(3)分解的结构形式分解的结构形式分解的结构形式分解的结构形式 其中其中其中其中n n1 1维的能观子空间的状态空间表达式为：维的能观子空间的状态空间表达式为：维的能观子空间的状态空间表达式为：维的能观子空间的状态空间表达式为：n-nn-n1 1维的不能观子空间的状态空间表达式为：维的不能观子空间的状态空间表达式为：维的不能观子空间的状态空间表达式为：维的不能
32、观子空间的状态空间表达式为：(4)(4)分解方法分解方法分解方法分解方法 n n线性变换分解：构造一个非奇异变换阵线性变换分解：构造一个非奇异变换阵线性变换分解：构造一个非奇异变换阵线性变换分解：构造一个非奇异变换阵T TOO，前，前，前，前n n1 1行为能观判别阵行为能观判别阵行为能观判别阵行为能观判别阵V VOO的线性无的线性无的线性无的线性无关行，后关行，后关行，后关行，后n-nn-n1 1行为任意形式，只要保证行为任意形式，只要保证行为任意形式，只要保证行为任意形式，只要保证T TOO-1-1存在即可。取存在即可。取存在即可。取存在即可。取 作线性变换，作线性变换，作线性变换，作线性
33、变换，再由再由再由再由 ，和和和和，可以将任意形式的能观系统化成上，可以将任意形式的能观系统化成上，可以将任意形式的能观系统化成上，可以将任意形式的能观系统化成上述能观标准型。述能观标准型。述能观标准型。述能观标准型。n nA A A A阵为对角或约旦标准型的直接分解：确定能观与不能观分量后展开成一阶微阵为对角或约旦标准型的直接分解：确定能观与不能观分量后展开成一阶微阵为对角或约旦标准型的直接分解：确定能观与不能观分量后展开成一阶微阵为对角或约旦标准型的直接分解：确定能观与不能观分量后展开成一阶微分方程组重新排列。分方程组重新排列。分方程组重新排列。分方程组重新排列。举例：举例：举例：举例：返
34、回返回返回返回 5 5.综合应用举例综合应用举例综合应用举例综合应用举例(1)P117(1)P117例例例例3-103-10。判能观性，求能观标准型。判能观性，求能观标准型。判能观性，求能观标准型。判能观性，求能观标准型。判能观性：判能观性：判能观性：判能观性：n=2n=2，系统完全能观。系统完全能观。系统完全能观。系统完全能观。方法之一：求取变换阵。见书。方法之一：求取变换阵。见书。方法之一：求取变换阵。见书。方法之一：求取变换阵。见书。方法之二：依特征多项式求取。方法之二：依特征多项式求取。方法之二：依特征多项式求取。方法之二：依特征多项式求取。求系统系统特征多项式：求系统系统特征多项式：
35、求系统系统特征多项式：求系统系统特征多项式：系统的能观标准型为：系统的能观标准型为：系统的能观标准型为：系统的能观标准型为：(2 2)P124 )P124 )P124 )P124 例例例例3-143-143-143-14。判能观性，按能观型分解。判能观性，按能观型分解。判能观性，按能观型分解。判能观性，按能观型分解。返回返回返回返回 四四.离散系统的能控性与能观性离散系统的能控性与能观性 离散系统状态空间表达式为：离散系统状态空间表达式为：离散系统状态空间表达式为：离散系统状态空间表达式为：1.1.离散系统的能控性离散系统的能控性离散系统的能控性离散系统的能控性(1)(1)能控性定义能控性定义
36、能控性定义能控性定义 如如果果存存在在输输入入信信号号序序列列 ，使使得得系系统统从从第第k k步步的的状状态态x x（k k）开开始始，能能在在第第N N步步上上达达到到零零状状态态（平平衡衡状状态态），即即x x（N+1N+1）=0=0，其其中中N N为为大大于于k k的的某某一一个个正正整整数数，那那么么就就称称此此系系统统在在第第k k步步上上是是能能控控的的，如如果果每每一一个个第第k k步步上上的的状状态态x x（k k）都都是是能能控控的的，那那么么称称系系统统在在第第k k步步上上是是能能控控的的。如如果对于每一个果对于每一个k k，系统都是完全能控的，那么称系统是完全能控的。
37、系统都是完全能控的，那么称系统是完全能控的。（2 2）能控性判别定理能控性判别定理能控性判别定理能控性判别定理 线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是能控判别阵线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是能控判别阵M MC C是满秩的。是满秩的。2.2.离散系统的能观性离散系统的能观性离散系统的能观性离散系统的能观性（1 1）能观性定义能观性定义能观性定义能观性定义 如如如如果果果果根根根根据据据据第第第第i i步步步步及及及及以以以以后后后后的的的的观观观观测测测测值值值值 ，能能能能唯唯唯唯一一一一地地地地确确确确定定定定出出出出第第第第i i步步步步的的的的状状状状态态态态x x（i i）
38、，则则则则称称称称系系系系统统统统在在在在第第第第i i步步步步是是是是能能能能观观观观的的的的，若若若若系系系系统统统统在在在在任任任任何何何何一一一一步步步步都都都都是是是是能能能能观观观观的，则称系统是完全能观的。的，则称系统是完全能观的。的，则称系统是完全能观的。的，则称系统是完全能观的。（2 2）能观性判别定理能观性判别定理能观性判别定理能观性判别定理 线性定常离散系统完全能观的充分必要条件是能观判别阵线性定常离散系统完全能观的充分必要条件是能观判别阵线性定常离散系统完全能观的充分必要条件是能观判别阵线性定常离散系统完全能观的充分必要条件是能观判别阵N NOO是满秩的。是满秩的。是满
39、秩的。是满秩的。返回返回返回返回 五五.控制系统能控与能观性的关系控制系统能控与能观性的关系1.1.对偶系统的概念对偶系统的概念对偶系统的概念对偶系统的概念（P110-111P110-111P110-111P110-111）（1 1）定义定义定义定义系统模型为系统模型为 ，若存在，若存在 ，则，则为其对偶系统。为其对偶系统。（2 2）性质性质性质性质n n 系统结构图输入与输出互换、方向线反向、和点与引出点互换。系统结构图输入与输出互换、方向线反向、和点与引出点互换。n n两两个个对对偶偶系系统统的的传传递递函函数数矩矩阵阵互互为为转转置置，而而单单输输入入/单单输输出出系系统统传传递递函函数
40、数等价。等价。n n两个对偶系统的特征方程等价。两个对偶系统的特征方程等价。n n 一个系统的能观性等价于其对偶系统的能控性，反之依然。一个系统的能观性等价于其对偶系统的能控性，反之依然。2.2.单输入单输出系统的能控标准型和能观标准型为对偶系统单输入单输出系统的能控标准型和能观标准型为对偶系统单输入单输出系统的能控标准型和能观标准型为对偶系统单输入单输出系统的能控标准型和能观标准型为对偶系统。y返回yuCBAux原系统的传递函数矩阵和对偶系统的传递函数矩原系统的传递函数矩阵和对偶系统的传递函数矩阵分别如下所示：阵分别如下所示：由此得上述结论。由此得上述结论。返回返回原原系统的能观性由下列变换
41、得对偶系统的能控性：系统的能观性由下列变换得对偶系统的能控性：其它特性以此类推。其它特性以此类推。返回返回3.3.单单单单输输输输入入入入单单单单输输输输出出出出系系系系统统统统的的的的传传传传递递递递函函函函数数数数无无无无零零零零极极极极点点点点对对对对消消消消现现现现象象象象，是是是是系系系系统统统统既既既既能能能能控控控控又又又又能能能能观观观观的的的的充充充充分分分分必必必必要要要要条条条条件件件件。若若若若有有有有零零零零极极极极点点点点对对对对消消消消现现现现象象象象，则则则则系系系系统统统统可可可可能能能能能能能能控控控控不不不不能能能能观观观观（可可可可按按按按能能能能控控控
42、控标标标标准准准准型型型型写写写写）；或或或或能能能能观观观观不不不不能能能能控控控控（可可可可按按按按能能能能观观观观标标标标准准准准型型型型写写写写）；或或或或既既既既不不不不能能能能控控控控又又又又不不不不能能能能观观观观。而而而而多多多多输输输输入入入入多多多多输输输输出出出出系系系系统统统统传传传传递递递递函函函函数数数数矩矩矩矩阵阵阵阵无无无无零零零零极极极极点点点点对对对对消消消消现现现现象象象象，是是是是系系系系统统统统既既既既能控又能观的充分条件。能控又能观的充分条件。能控又能观的充分条件。能控又能观的充分条件。举例举例：P141P141例例3-233-234.4.状态空间表
43、达式的能控性和能观性的结构分解状态空间表达式的能控性和能观性的结构分解状态空间表达式的能控性和能观性的结构分解状态空间表达式的能控性和能观性的结构分解（1 1）基本思想基本思想基本思想基本思想 将将不不能能控控不不能能观观系系统统分分解解成成四四个个子子系系统统既既能能控控又又能能观观子子空空间间、能能控控不不能能观观子子空间、不能控能观子空间和既不能控又不能观子空间。空间、不能控能观子空间和既不能控又不能观子空间。（2 2）分解方法分解方法分解方法分解方法 对对角阵或约旦阵的直接分解法（对对角阵或约旦阵的直接分解法（P129P129例例3-163-16）。）。按能控性和能观性逐步分解（按能控
44、性和能观性逐步分解（不做要求不做要求）。）。返回返回返回返回 六六.传递函数矩阵的最小实现问题传递函数矩阵的最小实现问题 由传递函数（矩阵）写状态空间表达式由传递函数（矩阵）写状态空间表达式1 1传传传传递递递递函函函函数数数数矩矩矩矩阵阵阵阵最最最最小小小小实实实实现现现现的的的的定定定定义义义义：能能能能够够够够完完完完全全全全反反反反映映映映系系系系统统统统输输输输入入入入输输输输出出出出特特特特性的最少状态变量的状态空间表达式。性的最少状态变量的状态空间表达式。性的最少状态变量的状态空间表达式。性的最少状态变量的状态空间表达式。2 2控制系统最小实现的充要条件：系统即完全能控又完全能观
45、。控制系统最小实现的充要条件：系统即完全能控又完全能观。控制系统最小实现的充要条件：系统即完全能控又完全能观。控制系统最小实现的充要条件：系统即完全能控又完全能观。3 3最小实现的方法：最小实现的方法：最小实现的方法：最小实现的方法：（1 1）单单单单输输输输入入入入单单单单输输输输出出出出系系系系统统统统直直直直接接接接约约约约去去去去相相相相同同同同零零零零极极极极点点点点后后后后，写写写写出出出出能能能能控控控控标标标标准准准准型型型型或或或或能能能能观观观观标标标标准准准准型型型型。（2 2）对对对对于于于于简简简简单单单单多多多多输输输输入入入入多多多多输输输输出出出出系系系系统统统
46、统，可可可可以以以以依依依依据据据据传传传传递递递递函函函函数数数数矩矩矩矩阵阵阵阵结结结结构构构构以以以以及及及及模模模模拟拟拟拟结结结结构构构构图图图图直接写出最小实现形式。再检验系统的能控性和能观性。直接写出最小实现形式。再检验系统的能控性和能观性。直接写出最小实现形式。再检验系统的能控性和能观性。直接写出最小实现形式。再检验系统的能控性和能观性。（3 3）对对对对于于于于复复复复杂杂杂杂系系系系统统统统，先先先先写写写写出出出出能能能能控控控控（能能能能观观观观）标标标标准准准准型型型型，再再再再进进进进行行行行能能能能观观观观（能能能能控控控控）结结结结构构构构分分分分解，找出既能控
47、又能观子空间即为传递函数矩阵的最小实现。解，找出既能控又能观子空间即为传递函数矩阵的最小实现。解，找出既能控又能观子空间即为传递函数矩阵的最小实现。解，找出既能控又能观子空间即为传递函数矩阵的最小实现。提示 例例55：求下列传递函数矩阵的最小实现。：求下列传递函数矩阵的最小实现。返回返回返回返回 单元练习单元练习31 1、已知系统的状态空间表达式如下所示，、已知系统的状态空间表达式如下所示，判系统的能控和能观性。若能控、能观判系统的能控和能观性。若能控、能观写出标准型写出标准型（两种方法）（两种方法）。2 2、已知系统的传递函数（矩阵）如下所示，求最小实现。、已知系统的传递函数（矩阵）如下所示，求最小实现。（两种方法）（两种方法）3 3、已知单输入、已知单输入/单输出系统的传递函数为：单输出系统的传递函数为：（1 1）写出能控标准型，检验能观性。）写出能控标准型，检验能观性。（2 2）写出能观标准型，检验能控性。）写出能观标准型，检验能控性。（3 3）求传递函数的最小实现，检验其能控性和能观性。）求传递函数的最小实现，检验其能控性和能观性。结束试将下列系统按能控性进行结构分解。试将下列系统按能控性进行结构分解。返回返回返回返回 试求传递函数矩阵的能控标准型返回返回返回返回提示：为简化过程，输入维数少写能控标准型；输出维数少写能观标准型。返回