控制理论第三章.ppt

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1、第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 数学模型数学模型控制器被控对象输入量r(t)输出量c(t)控制量u(t)扰动量N(t)检测反馈元件偏差e(t)反馈量b(t)第三章 控制系统的时域分析 控制系统的实际运行，都是在时域内进行的。给系统输入时间信号，系统的输出即为系统的时间响应。控制系统的时域分析是通过研究系统在给定输入信号作用下的时间响应来评价系统的性能，在时域内分析系统的动静态特性。第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3-2一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应 3-4高阶系统的时间响应高阶系统的时间响应3-1时间响应及系统性能指标时间响应及系统性能指标 3-3

2、二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应3-5稳定性及其代数稳定判据稳定性及其代数稳定判据 3-6误差分析与计算误差分析与计算 第三章 控制系统的时域分析第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3-1时间响应及系统性能指标v一、时间响应的概念 描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式。任一系统的时间响应都是由瞬态响应(Transient Response)和稳态响应(Steady-State Response)组成。瞬态响应瞬态响应：系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态(或称暂态)响应，也称过渡过程。在某一输入信号的作用后，时间趋于

3、无穷大时系统的输出状态称为稳态响应。稳态响应稳态响应：第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v二、典型实验信号 系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。在分析和设计控制系统时，总是预先规定一些特殊的实验输入信号，然后比较各种系统对这些实验输入信号的响应，并以此作为对各种控制系统性能进行比较的基础。实验信号的选取原则：1)具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。2)形式尽可能简单，便于分析处理。3)能使系统在最不利的情况下工作。3-1时间响应及系统性能指标第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 1.阶跃信号阶跃信号3-1时间响应及系统性

4、能指标阶跃信号相当于一个数值为一常值的信号，在 时突然加到系统上。幅值A为1的阶跃函数称为单位阶跃函数，记作1(t)，单位阶跃函数的拉氏变换为：阶跃函数如右图所示，定义为图图3-1a 阶跃信号阶跃信号第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 2斜坡信号斜坡信号 当A1时称为单位斜坡函数。这种实验信号相当于控制系统中加入一个按恒速变化的信号，其速度为A。3-1时间响应及系统性能指标斜坡函数如右图所示，定义为 拉氏变换为：图图3-1b 斜坡信号斜坡信号第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3加速度信号加速度信号 该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化的信号，加速度为

5、A。当A1时，称为单位加速度函数。3-1时间响应及系统性能指标 加速度函数如右图所示，定义为拉氏变换为：图图3-1c 加速度信号加速度信号第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 4脉冲信号脉冲信号 若对实用脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理想单位脉冲，称作单脉冲信号，记为 拉氏变换为：3-1时间响应及系统性能指标 脉冲函数如右图所示，定义为其中，脉冲宽度为h，脉冲面积为1。图图3-1d 脉冲信号脉冲信号第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v三、瞬态响应指标 通常，控制系统的动态性能指标，以系统对单位阶跃输入量的瞬态响应形式给出。3-1时间响应及系统性能指标 在工程实践

6、中，评价控制系统动态性能的好坏，多用时域的几个特征量来表示。为了评价控制系统对单位阶跃输入的瞬态响应特征，通常采用下列一些性能指标：延迟时间，上升时间，峰值时间，最大超调量以及调整时间。第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3-1时间响应及系统性能指标图图3-2 表示性能指标的阶跃响应曲线表示性能指标的阶跃响应曲线 ：延迟时间 ：上升时间 ：峰值时间 ：最大超调量 ：调整时间第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3-1时间响应及系统性能指标1.1.延迟时间延迟时间：响应曲线第一次达到稳定值的一半所需的时间，叫做延迟时间。响应曲线从稳态值的10%上升到90%，或从0上

7、升到100%所需的时间都叫做上升时间。对于过阻尼和临界系统(1)，通常采用10%90%的上升时间；对于欠阻尼系统(01)，通常采用0100%的上升时间。2.2.上升时间上升时间 ：各性能指标定义如下:3 3峰值时间峰值时间 ：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间叫做峰值时间。第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 最大峰值(即第一个峰值)与理想稳态值1之间的差值叫做最大超调量值Mp。通常采用百分比表示最大相对超调量，定义为4 4最大超调量最大超调量：最大超调量的数值，直接说明了系统的相对稳定性。3-1时间响应及系统性能指标响应曲线第一次达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要

8、的时间，叫做调整时间。调整时间与控制系统的时间常数有关。允许误差的百分比选多大，取决于设计要求，通常取5%或2%。5 5调整时间：调整时间：第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应v一、一阶系统的数学模型 能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统的典型形式是惯性环节。传递函数为 描述一阶系统的微分方程的通式为 如图3-3所示的不计质量的弹簧-阻尼系统，若以油压p为输入，以位移x为输出，则表现为一阶系统。描述它的微分方程为图3-3 一阶系统第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 传递函数的一般形式为(3-1)式中 K系统

9、增益；T时间常数，具有时间量纲。当K1时，典型系统的方块图及其简化形式如图3-4a、图3-4b所示。a)b)图图3-4 一阶系统方块图一阶系统方块图3-23-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v二、一阶系统的单位阶跃响应 给一阶系统输入单位阶跃信号，根据式(3-1)进行拉氏反变换，求出微分方程的解即为一阶系统的单位阶跃响应。为单位阶跃函数(3-2)对上式进行拉氏反变换，得出(3-3)(t 0)时间响应曲线见图3-5a。3-23-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 图图3-5a 一阶

10、系统的时间响应一阶系统的时间响应 时间响应从零值到终值呈指数曲线上升。曲线在t=0的初始斜率为 可见，时间常数T是一阶系统重要的特征参数。它表征了系统过渡过程的品质，T越小，惯性越小，系统的响应越快。系统响应的稳态值为3-23-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 把t=T代入式(3-3)可得 故时间常数T可定义为系统的时间响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。如果要求响应曲线保持在稳态值的5%2%的允许误差范围内，

11、那么系统的调整时间ts=(34)T，以此作为评价响应时间长短的标准。时间常数决定于系统参数 而与输入函数无关。在图3-3所示系统中，3-23-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v三、一阶系统的单位斜坡响应图图3-5b 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应 单位斜坡函数t的拉氏变换 为 ，代入式(3-2)中可得取上式的拉氏反变换，可得(3-4)系统对单位斜坡输入的时间响应和输入信号表示于图3-5b中。3-23-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 误差信号为 即当t时，0，从图中也可以

12、看出，当t足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信号输入的误差等于时间常数T。3-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应图图3-5b 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v四、一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲的拉氏变换 ，这时式(3-2)为取其拉式反变换得 时间响应曲线如图3-5c所示。图图3-5c 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应3-23-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v五、线性定常系统的重要特征 系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行微分来求出；系统对原信号

13、积分的响应，等于系统对原信号响应的积分。这是线性定常系统的特点，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特点。3-23-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3-3 二阶系统的时间响应v一、二阶系统的数学模型二阶系统是可以用二阶微分方程描述的系统。图2-13所示质量-弹簧-阻尼系统，外力F(t)为输入，位移x为输出，描述它的微分方程为 该系统的传递函数为(3-6)上式可以写成(3-7)图图2-13第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 式中 为系统增益，和只决定于系统参数而与输入无关。传递函数(3-9)微分方程(3-8)可以用两个特

14、征参数来普遍地描述各种二阶系统的动态特性，即无阻尼自然频率 和阻尼比。借助这两个参数，把二阶系统的数学模型写成如下标准形式3-3 二阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 典型二阶系统的方块图及其简化形式示于图3-6a，图3-6b。a)b)图图3-6 二阶系统框图二阶系统框图3-3 二阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v二、二阶系统的单位阶跃响应 对单位阶跃输入 ，从式(3-9)可以求出系统单位阶跃响应的拉氏变换(3-10)对上式进行拉式反变换，可得二阶系统的单位阶跃响应。从式(3-9)可求得二阶系统的特征方程(3-11)它的两个根

15、，即为二阶系统的闭环极点：(3-12)3-3 二阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 下面分别对二阶系统在 ，以 及四种情况下的瞬态响应进行讨论，假定初始状态为零。1 1 ，临界阻尼情况，临界阻尼情况 由式(3-12)得：，系统有两个相重的负实数极点，如图3-7a所示。3-3 二阶系统的时间响应图图3-7第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 这时式(3-10)变成 对上式进行拉式反变换，得到 3-3 二阶系统的时间响应 图3-7a表示了二阶系统在临界阻尼状态的单位阶跃响应，它既无超调，也无振荡。第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 2

16、2 ，过阻尼情况，过阻尼情况 由式(3-12)得 ，系统有两个不相等的负实数极点，示于图3-7b左图。3-3 二阶系统的时间响应图图3-7 二阶系统极点分布与对应的阶跃响应二阶系统极点分布与对应的阶跃响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 把式(3-10)写成部分分式3-3 二阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 求上式的拉式反变换，得到(3-14)它有两个指数衰减项，当较大时，一个极点远离虚轴，它的影响很小，可以忽略不计。此时，二阶系统就近似于一个惯性环节。图3-7b表示过阻尼二阶系统的单位阶跃响应。从图中可见，瞬态响应无超调，无振荡，过渡过程比

17、临界阻尼时长。3-3 二阶系统的时间响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3 3 ，欠阻尼情况，欠阻尼情况由式(3-12)得 式中，称为阻尼自然频率。这时系统有一对共轭复数极点，如图3-7c所示。3-3 二阶系统的时间响应图图3-7 二阶系统极点分布与对应的阶跃响应二阶系统极点分布与对应的阶跃响应第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3-3 二阶系统的时间响应这时式(3-10)可以写成求上式的拉式反变换，由拉氏变换表中查出注意到 ，可得(3-15)第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 其中 由上式可以看出，在欠阻尼状态下二阶系统的单位阶跃响应呈现衰

18、减振荡过程，振荡频率是阻尼自然频率 ，其振幅按指数曲线衰减，者均由系统参数和 决定。3-3 二阶系统的时间响应4.4.，零阻尼状态，零阻尼状态 将 代入式(3-15)可得(3-16)式(3-16)说明二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，振荡 频率为n。第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 从上面的分析可以看出频率 和 的物理意义。3-3 二阶系统的时间响应 是无阻尼时()二阶系统等幅振荡的振荡频率，因此称为无阻尼自然频率；而 是欠阻尼()时衰减振荡的振荡频率，因此称为阻尼自然频率；相应地把 称为阻尼振荡周期。显然，0.5即为所求。第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分

19、析 3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算本节目的 掌握稳态误差的计算方法。研究影响误差的因素，指出提高系统精度的途径。建立闭环控制系统的误差和稳态误差的概念。第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v一、误差与稳态误差的基本概念1误差误差:系统的误差是指被控对象的希望输出信号 与实际输出信号 之差，即 。系统的偏差信号，即输入信号与反馈信号之差，能够直接或间接地反映系统的希望输出值与实际输出值之差，而且在实际工程系统中便于测量，因而，用系统的偏差信号来定义系统的误差更有实际意义。误差信号的拉氏变换为图图3-15 闭环系统的误差闭环系统的误差3-6 3-6 误差分析与计算误差

20、分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 在一般情况下，两种定义下误差之间的关系为：或(3-39)2稳态误差稳态误差:误差信号的稳态分量，即 (3-40)根据式(3-38)，可以用拉氏变换终值定理来求稳态误差(3-38)对于单位反馈，两种定义下的误差表达式是一致的：3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3.给定稳态误差：给定稳态误差：在给定输入信号(以下简称输入信号)作用下产生的稳态误差，表征了系统的精度。如图3-15所示系统，在输入信号的作用下，误差信号为据上式可求得给定稳态误差的传递函数为(3-42)据式(3-4

21、1)，给定稳态误差为(3-43)给定稳态误差与开环传递函数的结构、参数及输入信号的形式有关。3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 4 4外部扰动引起的稳态误差外部扰动引起的稳态误差 图图3-16 控制系统方块图控制系统方块图 图3-16所示的系统。该系统同时受到输入信号和扰动信号的作用 令令(3-44)3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 令 (3-45)(3-46)输入信号和扰动信号共同作用下的总误差为总的稳态误差为 (3-47)(3-48)3-6 3-6 误差分析与计算误差分

22、析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 假定扰动量为阶跃函数 则系统在扰动信号单独作用下的稳态误差 在一般情况下，所以 扰动输入信号引起的稳态误差和扰动量的大小成正比，增大扰动作用点以前的前向通道传递函数，可以减少扰动误差。3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 5 5内部扰动引起的稳态误差内部扰动引起的稳态误差 如图3-15所示系统，假定输入信号为恒值 ，该系统的稳态输出为(3-50)系统稳态输出的变化 稳态输出的相对增量(3-51)3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统

23、的时域分析 由于开环传递系数 一般较大：，则(3-52)分析上式可知(1)反馈系数变化，将使系统的稳态输出发生同样大小(相对值)的变化，因此，为保证系统的精度，检测元件(包括反馈通道环节)应该准确恒定。(2)前向通道环节变化引起的误差，近似与开环传递系数 成反比，由于一般 较大，所以 的变化对系统的精度影响不大，对它的准确度和恒定性要求可以降低，这是负反馈系统的特点。3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 v二、误差计算 影响系统稳态误差的主要因素是系统的结构、参数和输入信号的性质，为了计算稳态误差，需要引入系统的类型和静态误差系数的概念

24、。1系统的类型系统的类型 闭环系统的开环传递函数可以写成如下形式(3-53)式中 ，时间常数；3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 开环放大倍数；表示包括个串联的积分环节，。将式(3-53)代入式(3-43)中，可得(3-54)分析上式可知，当系统的输入信号 一定时，稳态误差值和时间常数无关，和开环放大倍数 及开环传递函数中包含的积分环节个数 有关。特别是 值决定了稳态误差为零、有限值和无穷大三种情况。因此，可以把系统按 值分类为：1)=0，无积分环节，称之为，无积分环节，称之为0型系统；型系统；2)=1，有一个积分环节，称之为，有一个

25、积分环节，称之为型系统；型系统；3)=2，有两个积分环节，称之为，有两个积分环节，称之为型系统；以此类推。型系统；以此类推。3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 2静态误差系数和稳态误差计算静态误差系数和稳态误差计算 系统的开环放大系数K直接影响其稳态误差的大小，为了计算稳态误差，引入静态误差系数的概念。系统的稳态误差为：1)静态位置误差系数静态位置误差系数 系统对单位阶跃输入的稳态误差称为位置误差，即3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 静态位置误差系数 定义为 位置误差可用

26、表示 系统的开环传递函数可以写成对于0型系统3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 对于对于型或高于型或高于型的系统型的系统 图3-17所示为单位反馈系统的单位阶跃响应曲线，其中图3-17a为0型系统；图3-17b为型或高于型的系统。图3-17 单位阶跃响应曲线a)b)3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 2)静态速度误差系数静态速度误差系数 系统对单位斜坡输入 的稳态误差称为速度误差，即 静态速度误差系数定义为 则速度误差为(3-58)(3-59)3-6 3-6 误差分析与计算误

27、差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 对于0型系统 对于型系统 对于型或高于型的系统 3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 图3-18为单位反馈系统对单位斜坡输入的响应曲线。其中图3-18a、图3-18b、图3-18c分别为0型、型、型(或高于型)系统的单位斜坡响应曲线及稳态误差。a)b)c)图图3-18 单位斜坡响应曲线单位斜坡响应曲线3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 3)静态加速度误差系数静态加速度误差系数 系统对单位加速度输入 的稳态误差称为加

28、速度误差，即 静态加速度误差系数 定义为 对于0型系统 3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 对于型系统，静态加速度误差系数 就是其开环放大系数K。对于型系统 对于型或高于型的系统 图3-19为型单位反馈系统对单位加速度输入信号的响应曲线和加速度误差。3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 各种类型系统对三种典型输入信号的稳态误差列于表3-1。图图3-19 单位加速度输入的响应曲线单位加速度输入的响应曲线 3-6 3-6 误差分析与计算误差分析与计算表表3-1 以增益以增益K表示的

29、稳态误差表示的稳态误差 00型0型0型加速度斜坡阶跃输入信号系统类型第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 例例3-103-10解：解：某单位反馈的电液反馈伺服系统，其开环传递函数为 试分别求出该系统对单位阶跃、等速、等加速输入时的稳态误差。该系统的静态误差系数为 所以该系统对三种典型输入的稳态误差分别为 位置误差 速度误差 加速度误差 第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 例例3-113-11解：解：图3-20a所示系统中，设扰动信号为单位阶跃输入 ，试分别求出 和 单独作用时，系统的稳态误差 ，。假定 ，扰动信号 、分别单独作用于系统时，其等效方块图如图3-20b

30、、图3-20c所示。a)有外干扰的反馈控制系统有外干扰的反馈控制系统 第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 b)单独加上单独加上 的方块图的方块图 c)单独加上单独加上 的方块图的方块图 误差信号分别为 利用终值定理求稳态误差，分别为 第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 一般情况下，所以有 由此题可以看出，扰动信号引起的稳态误差与扰动信号的作用点有关，误差的大小主要决定于扰动信号用点之前的环节增益 第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 例例3-123-12 图3-21a为开环控制系统方块图。为使稳态误差 很小，调定控制器的增益 为控制对象增益的倒数

31、。图3-21b为闭环控制系统方块图。为减小稳态误差 使控制器的增益 。由于环境变化或元件老化等原因使控制对象的静特性发生变化 ，试分析这种变化对两种系统稳态误差的影响。(假定输入量为单位阶跃信号，)图图3-21 开环控制系统与闭环控制系统方块图开环控制系统与闭环控制系统方块图a)b)第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 解：解：对于开环系统误差信号为则对于闭环系统，该0型系统对单位阶跃输入的稳态误差为：当控制对象的静特性发生变化 时，开环系统稳态误差的变为闭环系统稳态误差的变化为 第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 由于 ，所以此时开环系统的稳态误差为 而闭环系统的稳态误差为 由上面的分析可知，开环控制系统可以由调定由上面的分析可知，开环控制系统可以由调定 而使稳态误差为零，但系统的静特性发生变化时会产生较大而使稳态误差为零，但系统的静特性发生变化时会产生较大的稳态误差，欲消除该稳态误差，必须重新调定的稳态误差，欲消除该稳态误差，必须重新调定 ；闭环系；闭环系统的稳态误差虽然不等于零，但只要使统的稳态误差虽然不等于零，但只要使 ，稳态误差，稳态误差就会很小，而且，当系统的静特性发生变化时，稳态误差的就会很小，而且，当系统的静特性发生变化时，稳态误差的变化也很小，因此闭环系统比开环系统优越。变化也很小，因此闭环系统比开环系统优越。