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1、 第五章 线性系统的频域分析本章主要内容与重点本章主要内容与重点频率特性的基本概念频率特性的基本概念极坐标图极坐标图对数坐标图对数坐标图奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据稳定裕度稳定裕度闭环系统频率特性闭环系统频率特性系统时域指标估算系统时域指标估算本章主要内容本章主要内容本章介绍了控制系统频率分析法的相关概念和原理。包括频率特性的基本概念和定义、开环频率特性的极坐标图表示法、波特图表示法、控制系统稳定性的频率特性分析法及其应用、控制系统闭环频率特性、闭环频率特性与时域性能的关系等。本章重点本章重点通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和波特图的绘制和
2、分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。本章考点本章考点：应用频率特性计算系统的稳态响应；绘制开环系统的奈奎斯特曲线和伯德图，并由此判断闭环系统的稳定性；计算系统的相角裕度和幅值裕度；根据最小相位系统的对数幅频特性曲线，确定系统的传递函数；根据系统的频域指标估算时域动态性能。第五章 频域响应法 时域分析法的缺点：时域分析法的缺点：（1 1）高阶系统的分析难以进行；）高阶系统的分析难以进行；（2 2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。整个系统的分析工作
3、将无法进行。（3 3）物理意义欠缺。）物理意义欠缺。频频率率响响应应法法是是二二十十世世纪纪三三十十年年代代发发展展起起来来的的一一种种经经典典工工程程实实用用方方法法,是是一一种种利利用用频频率率特特性性进进行行控控制制系系统统分分析析的的图图解解方方法法,可可方方便便地地用用于于控控制制工工程程中中的的系系统统分分析析与与设设计计。频频率率法法用用于于分析和设计系统有如下优点：分析和设计系统有如下优点：（1）不不必必求求解解系系统统的的特特征征根根，采采用用较较为为简简单单的的图图解解方方法法就就可可研研究究系系统统的的稳稳定定性性。由由于于频频率率响响应应法法主主要要通通过过开开环环频频
4、率率特特性性的的图图形形对对系系统统进进行行分分析析，因因而而具具有有形形象象直直观观和和计计算算量量少少的的特特点。点。（2）系系统统的的频频率率特特性性可可用用实实验验方方法法测测出出。频频率率特特性性具具有有明明确确的的物物理理意意义义，它它可可以以用用实实验验的的方方法法来来确确定定，这这对对于于难难以以列列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（3）可可推推广广应应用用于于某某些些非非线线性性系系统统。频频率率响响应应法法不不仅仅适适用用于于线线性性定定常常系系统统，而而且且还还适适用用于于传传递递函函数数中中含含有有
5、延延迟迟环环节节的的系统和部分非线性系统的分析。系统和部分非线性系统的分析。（4）用用频频率率法法设设计计系系统统，可可方方便便设设计计出出能能有有效效抑抑制制噪噪声声的系统的系统。设系统的传递函数为：已知输入其拉氏变换为则系统输出为 趋向于零）稳态响应Css(t)瞬态响应（假设系统稳定）5-1 频率特性基本概念由于是一个复数向量，因而可表示为 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为输出与输入的相位差相频特性幅频特性频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不
6、变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1=0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:结论：结论：给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。40不不一、基本概念 幅相频率特性幅相频率特性G(j):G(j)的幅值和相位均随输入正弦信号的幅值和相位均随输入正弦信号角频率角频率 的的变化而变化。变化而变化。在系统闭环传递函数在系统闭环传递函数G(s)中，令中，令s=j，即可得到系统的频率即可得到系统的频率特性。特性。1、频率响应、频率响应 在正弦输入信号作用下，
7、系统输出的稳态值称为系统的在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应频率响应,记为记为css(t)2、频率特性频率特性 幅频特性幅频特性A():稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:相频特性相频特性():稳态输出信号的相角与输入信号相角之差稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:频率特性与传递函数具有十分相的形式 二、频率特性表示法 频率特性可用解析式或图形来表示。频率特性可用解析式或图形来表示。（一）解析表示（一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频幅频-相频形式相频形式：指数形式指数形式(极
8、坐标极坐标)：三角函数形式：三角函数形式：实频实频-虚频形式虚频形式：（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 1.极坐标图极坐标图奈奎斯特图奈奎斯特图（Nyqusit）幅相特性曲线幅相特性曲线 系统频率特性为幅频系统频率特性为幅频-相频形式相频形式 当当 在在0 变化时变化时,相量相量G(j)H(j)的幅值和相角随的幅值和相角随 而变化而变化,与此对应与此对应的相量的相量G(j)H(j)的端点在复平面的端点在复平面 G(j)H(j)上的运动轨迹就称为上的运动轨迹就称为幅相频幅相频率特性率特性或或 Nyqusit曲线曲线。画有。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为曲线的
9、坐标图称为极坐标图极坐标图或或Nyqusit图图。对数相频特性记为对数相频特性记为单位为分贝（单位为分贝（dB)对数幅频特性记为对数幅频特性记为单位为弧度（单位为弧度（rad)如将系统频率特性如将系统频率特性G(j )的幅值和相角分别绘在的幅值和相角分别绘在半对数坐标图半对数坐标图上上,分别得到分别得到对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度为底的对数后进行分度:lgw）和和相频特相频特性曲线性曲线（纵轴纵轴：对相角进行线性分度；：对相角进行线性分度；横轴横轴：对频率取以：对频率
10、取以10为底为底的对数后进行分度的对数后进行分度lgw），），合称为伯德图合称为伯德图(Bode图图)。（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 2.伯德图伯德图(Bode图图)（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 3.对数幅相图对数幅相图(Nichols图图)将将Bode图的两张图合二为一。图的两张图合二为一。0o180o-180ow0-20dB20dB2023/4/2015特点：特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化比例环节比例环节惯性环节惯性环节特点：特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律微分方程自动控制理论自动控制理论5
11、-2 典型环节与开环系统频率特性2023/4/2016积分环节积分环节特点：特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有图1 积分调节器例如图1所示的积分器，其传递函数为自动控制理论自动控制理论对应的传递函数：T-环节的时间常数2023/4/2017微分环节微分环节理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即图2 R-C网络1）实际的微分环节，如图2所示，它的传递函数为：2）直流测速发电机。如图3所示，示，图3直流测速发电机自动控制理论自动控制理论2023/4/2018振荡环节振荡环节特点：特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却呈周期振荡形式微分方程具有式（2-37）形式的传递
12、函数在控制工程中经常会碰到，例如自动控制理论自动控制理论2023/4/20191）R-L-C电路的传递函数电路的传递函数2）弹簧）弹簧-质量质量-阻尼器系统的传递函数阻尼器系统的传递函数3）直流他励电动机在变化时的传递函数）直流他励电动机在变化时的传递函数上述三个传递函数在化成式（2-37）所示的形式时，虽然它们的阻尼比和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们都是振荡环节。自动控制理论自动控制理论2023/4/2020纯滞后环节纯滞后环节图2-18 具有传递滞后的装置则则如果如果自动控制理论自动控制理论1.比例环节比例环节:G(s)=K典型环节的频率特性1.比例环节比例环节(K)
13、K1；当 K=1系统是临界稳定。2、开环系统（传递函数）临界稳定时，、开环系统（传递函数）临界稳定时，奈氏围线的修改奈氏围线的修改开环传递函数G(s)H(s)在虚轴上有极点（开环极点），则就是辅助函数 F(s)=1+G(s)H(s)的极点，而奈氏围线不允许通过极点，为此需对奈氏围线进行修改，如图所示。例1 已知系统开环传递函数修改后奈氏围线的映射有一个开环极点 s=0，作无穷小半径的围线。在围线 上S 在无穷小半圆上逆时针转过半圈，映射到G(s）平面上则为一条顺时针绕行半圈的圆弧曲线，半径为无穷大对于 型系统，在G(s)平面上，半径为无穷大，顺时针方向绕行 个半圈的圆弧曲线。3、判断稳定性的实
14、用方法、判断稳定性的实用方法绘制 的奈氏曲线，按奈氏曲线包围临界点圈数 N和开环传递函数在右半 s 平面的极点数 P，确定闭环特征方程正实部根的个数。若 Z=0，则系统闭环稳定，否则闭环不稳定。对于 型系统的奈氏曲线：补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行 的圆弧，这样可得完整的 部分奈氏曲线。例2 设单位反馈系统，其开环传递函数试用奈氏判据判断系统稳定性。解：开环幅相大致曲线如图所示曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈，N=-1。P=0，Z=P-2N=2。闭环系统不稳定。用在 区间，奈氏曲线的正、负穿越的次数来确定 N 4、对数频率稳定判据、对数频率稳定判据对数频率稳定判据的依据是和奈氏稳定判据
15、的依据是一样的，关键是在对数频率特性图（对数幅频图和对数相频图）上如何确定 N。考察以下开环幅相曲线与Bode图的对应情况：当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画 这一段频率变化范围的相角变化曲线。例如系统闭环不稳定。对数频率稳定判据对数频率稳定判据：已知开环系统在右半s平面的极点数P，开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线对-180o线的正、负穿越之差 ，然后 确定条件稳定系统条件稳定系统考察图示系统的奈氏曲线 P=0（1）开环增益K增加到足够大，系统闭环不稳定。（2）开环增益足够小，系统闭环不稳定。5-5-4 4 稳定裕度稳定裕度表征系统稳定程度的两个指标：相角
16、裕度 ，幅值裕度 h开环幅相曲线与阶跃响应的关系相角裕度和幅值裕度的定义相角裕度和幅值裕度的定义ReIm结论结论：对于最小相位系统，若相角裕度大于零，幅值裕度大于1，则系统闭环稳定；这些值越大稳定程度越好。否则系统闭环不稳定。例1 设单位反馈系统的开环传递函数为试分别计算K=2,K=20时，系统的相角裕度和幅值裕度。解：一般要求系统具有4570的相角裕度。对于最小相位系统，当相角裕度在3070之间时，则要求幅频曲线在截止频率处的斜率大于-40dB/dec,通常采用-20 dB/dec。5-5-5 5 闭环频率特性闭环频率特性对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系 对于一般系统的闭环和开
17、环系统频率特性的关系对于要求确定系统频带宽度，谐振峰值和谐振频率等性能指标就要求绘制闭环系统的频率特性。对于非单位反馈系统闭环频率特性的绘制，只要经过上述处理即可。考察开环幅相曲线求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可得闭环频率特性，画出闭环频率特性曲线。在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率曲线。等等M圆图圆图 可以作闭环幅频特性曲线假设开环频率特性和闭环频率特性分别为则有令M为常数，则上式表示为一个圆。P.214 图5-82 等M圆图等等N圆图圆图 应用等N圆作闭环相频特性曲线令等N圆图见 P.215 图2-83圆心：半径：用等M圆图和
18、等N圆图求闭环幅频特性和相频特性通过开环幅相特性曲线与等M圆图的交点，可以得到相应频率的M值，即闭环幅频值。通过开环幅相特性曲线与等N圆图的交点，可以得到相应频率的N值（或 ），即闭环相频值。P.216 图5-84 是由开环幅相特性曲线、等M圆图和等N圆图确定闭环频率特性曲线。尼柯尔斯图线尼柯尔斯图线 设开环频率特性比较等式两边可得：设 为常数，在平面上得到等 曲线。利用指数函数和三角函数的关系，即有尼柯尔斯图线的应用带宽频率和带宽带宽频率和带宽设闭环频率特性如图所示（1）带宽频率（2）系统带宽谐振峰值和谐振频率谐振峰值和谐振频率（1）谐振峰值（2）谐振频率闭环幅频特性曲线在 附近斜率越小，则
19、曲线越陡峭，系统能对带有噪声的信号进行有效的鉴别；随之而来的结果是谐振峰值 较大，系统稳定程度较差。（1）一阶系统一阶系统的性能 （2）欠阻尼二阶系统 与 的关系频率尺度与时间尺度的反比性质频率尺度与时间尺度的反比性质研究带宽和响应速度的反比关系,可借助频率尺度和时间尺度的反比性质证明。若单位阶跃响应系统的频率特性放宽若干倍，单位阶跃响应就加快若干倍。开环系统截止频率与闭环系统带宽的大致关系：根据相角裕度 和闭环幅频曲线估算时域指标的两种方法。相角裕度 表明系统的稳定程度，而系统的稳定程度直接影响时域指标 、。由由 确定二阶系统时域指标确定二阶系统时域指标典型二阶系统开环传递函数为 系统时域指
20、标估算系统时域指标估算求 和 的关系P.213 图5-48 给出了二阶系统相角裕度和阻尼比之间的关系。由图可知：阻尼比越大，相应的相角裕度就越大。对于二阶系统，一般要求：估算时域指标方法：（1）从开环对数频率特性曲线确定相角裕度（2）根据 查对应的（3）由 查图3-13得 ；由 求自然频率可从近似开环对数幅频曲线确定 和时域指标关系也是确定的。应用相角裕度应用相角裕度 估算高阶时域指标估算高阶时域指标对于二阶振荡系统，谐振峰值 和阻尼比 之间得关系：其实：高阶系统振荡性能指标和时域指标没有准确的关系式。通常用以下近似估算：一般上述估算得到的结果偏保守，实际性能比估算结果要好。式中闭环谐振峰值闭环谐振峰值 和相角裕度和相角裕度 的关系的关系一般 极大值发生在 附近常数在开环截止频率 附近，上述近似程度就越高。比较小，上述关系式的准确度就高；较大，上述关系式的准确度就低。与与 和和 的关系的关系知识结构图频域分析法频率特性定义绘制典型环节及开环系统的奈奎斯特曲线典型环节及开环系统的伯德图闭环系统的对数幅相频率特性曲线稳定性分析频率稳定判据稳定裕度奈奎斯特判据对数判据相角裕度幅值裕度典型二阶系统的时域指标估算高阶系统的时域指标近似估算根据闭环频域指标估算时域指标动态性能分析低频段:决定系统的稳定性能中频段:决定系统的稳定性及动态性能高频段:决定系统的抗高频干扰能力三频段与系统性能的关系