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1、第六章第六章 二维变换及二维观察二维变换及二维观察(1)本课教学目的本课教学目的:掌握二维图形的矩阵方法，主要包括平移、缩放、旋转、拉伸变形以及复合变换方法。了解计算机动画制作的基本方法。重点：重点：二维图形的平移、缩放、旋转、拉伸变换矩阵的掌握。难点：难点：复合变换方法 第三章第三章 二维图形变换二维图形变换1.1 二维图形变换的概述二维图形变换的概述 图形变换指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形，它提供了构造或修改图形的方法。如 平移、缩放、旋转、拉伸变形图形是点的集合。在二维空间里，一个点可以用两个坐标来表示，如 x,y 也可以是 x。第第1节节 二维图形的矩阵方法二维图形的矩阵
2、方法yA=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素矩阵的行、矩阵的列、方阵1.2 1.2 矩阵和齐次坐标矩阵和齐次坐标矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。矩阵运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=k*aij|i=1.m,j=1,.n变换的数学基础变换的数学基础乘法设A为23矩阵，B为32矩阵 C=A B=a11 a12 a13a21 a22 a23 A=b11 b12b21 b22b31 b32 B=齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如 n维 向 量(P1,P2,Pn)表 示 为（hP1,hP2,，hPn,h），其中h称为哑坐标。
3、注意：1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h齐次坐标 由齐次坐标h普通坐标 齐次坐标齐次坐标3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。1.便于表示无穷远点。例如：（a,b,h)，令h等于02.齐次坐标可以把几种变换统一表示。3.如二维空间中，图形变换矩阵可以表示为4.齐次坐标的作用齐次坐标的作用二维图形的几何变换二维图形的几何变换从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵=(x y
4、i)=(x/i y/i 1)1.3 1.3 平移变换平移变换 平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 x*=x+c y*=y+f cfcf11.4 1.4 旋转变换旋转变换注意；是逆时针旋转角度。(x,y)(x,y)x*=ax a0 y*=ey e0 以坐标原点为放缩参照点1.当a=e=1时：恒等比例变换2.当a=e1时：沿x,y方向等比例放大。3.当a=e0，图形沿+x方向作错切；b0，图形沿+y方向作错切；d0，图形沿-y方向作错切；直线的变换直线的变换 直线的变换可以通过对直线的两端点进行变换，从改变直线的位置和方向。直线可表示为：然后与变换矩阵相乘：*T*T多边形的变换多边形
5、的变换 首先将多边形各个顶点坐标写成矩阵形式，然后与变换矩阵相乘。N个顶点多边形可表示为：然后与变换矩阵相乘：*T*T 1.8 1.8 复合变换复合变换 以上所讨论的图形变换是相对于坐标原点或坐标轴来进行的。在实际中，常常需要相对于任意点或任意轴来进行变换。如要相对某一点(xf,yf)作比例、旋转变换。其过程是：先把坐标原点平移到(xf,yf)；在新的坐标系下作比例或旋转变换；再将坐标原点平移回原坐标系。其变换矩阵如下：（1）相对(xf,yf)点的比例变换矩阵：（2）相对(xf,yf)点的旋转变换矩阵讨论：讨论：对正方形对正方形ABCDABCD变形成为变形成为ABCD ABCD，求其变换，求其变换矩阵矩阵y 23/2A1/2 O1/2 1 3/2 2 xBBCCABC