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1、二维图形观察与变换二维图形观察与变换二维图形观察与变换二维图形观察与变换图形观察和变换图形观察和变换 图形变换和观察是计算机图形学的基础内容之一。图形变换和观察是计算机图形学的基础内容之一。图形变换和观察是计算机图形学的基础内容之一。图形变换和观察是计算机图形学的基础内容之一。图形变换图形变换图形变换图形变换是图形显示过程中不可缺少的一个环节。是图形显示过程中不可缺少的一个环节。是图形显示过程中不可缺少的一个环节。是图形显示过程中不可缺少的一个环节。通过图形变换可由简单图形生成复杂图形；通过图形变换可由简单图形生成复杂图形；通过图形变换可由简单图形生成复杂图形；通过图形变换可由简单图形生成复杂
2、图形；变变变变换换换换是是是是描描描描述述述述图图图图形形形形的的的的有有有有力力力力工工工工具具具具，可可可可改改改改变变变变和和和和管管管管理理理理各各各各种种种种图图图图形的显示。例如：形的显示。例如：形的显示。例如：形的显示。例如：通通通通过过过过调调调调整整整整组组组组成成成成部部部部分分分分的的的的方方方方向向向向和和和和大大大大小小小小来来来来实实实实现现现现设设设设计计计计和和和和设设设设施施施施布布布布局；局；局；局；动动动动画画画画则则则则通通通通过过过过沿沿沿沿动动动动画画画画路路路路径径径径移移移移动动动动“照照照照相相相相机机机机”或或或或场场场场景景景景中中中中的的
3、的的对对对对象而产生；象而产生；象而产生；象而产生；在在在在方方方方向向向向、尺尺尺尺寸寸寸寸和和和和形形形形状状状状方方方方面面面面的的的的变变变变化化化化是是是是用用用用改改改改变变变变对对对对象象象象坐坐坐坐标标标标描描描描述的几何变换来完成。述的几何变换来完成。述的几何变换来完成。述的几何变换来完成。图图图图形形形形观观观观察察察察是是是是通通通通过过过过指指指指定定定定一一一一个个个个图图图图形形形形中中中中要要要要显显显显示示示示的的的的部部部部分分分分以以以以及及及及在在在在显显显显示示示示器器器器显显显显示示示示位位位位置置置置，并并并并执执执执行行行行从从从从世世世世界界界界
4、坐坐坐坐标标标标系系系系到到到到设设设设备备备备坐坐坐坐标标标标系系系系的的的的图图图图形形形形变变变变换换换换及及及及删删删删除除除除位位位位于于于于显显显显示示示示区区区区域域域域范范范范围围围围以以以以外外外外的的的的图图图图形形形形部部部部分分分分而而而而实现的。实现的。实现的。实现的。图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 平平平平移移移移是是是是指指指指：将将将将物物物物体体体体沿沿沿沿直直直直线线线线路路路路径径径径从从从从一一一一个个个个坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置到到到到另另另另一一一一个个个个
5、坐标位置重定位。坐标位置重定位。坐标位置重定位。坐标位置重定位。给给给给原原原原始始始始坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置(x x,y y)加加加加上上上上平平平平移移移移距距距距离离离离t tx x和和和和t ty y来来来来实实实实现现现现到到到到新新新新位位位位置置置置(x x1 1,y y1 1)的移动：的移动：的移动：的移动：x x1 1 =x x+t tx x，y y1 1 =y y+t ty y。(t tx x,t ty y)称为平移向量或转换向量。称为平移向量或转换向量。称为平移向量或转换向量。称为平移向量或转换向量。平移的矩阵方程：平移的矩阵方程：平移的矩阵方程：平移的矩阵方程
6、：P P1 1 =P P+T T T T=(=(t tx x,t ty y)T T,P P=(=(x x,y y)T T,P P1 1=(=(x x1 1,y y1 1)T T 基本几何变换：基本几何变换：平移平移图形几何变换 基本几何变换 平移变换 平移变换特性 旋转变换 旋转变换特性 缩放变换 缩放变换特性 变换矩阵表示 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 P PP P1 1T T平移的特性平移的特性 平平平平移移移移是是是是不不不不产产产产生生生生变变变变形形形形而而而而移移移移动动动动物物物物体体体体的的的的刚刚刚刚体体体体变变变变换换换换，物物
7、物物体体体体上上上上的的的的每每每每个点移动相同的坐标个点移动相同的坐标个点移动相同的坐标个点移动相同的坐标。直线的平移是将平移方程加到线的每个直线的平移是将平移方程加到线的每个直线的平移是将平移方程加到线的每个直线的平移是将平移方程加到线的每个端点端点端点端点上；上；上；上；多边形的平移是将平移向量加到每个多边形的平移是将平移向量加到每个多边形的平移是将平移向量加到每个多边形的平移是将平移向量加到每个顶点顶点顶点顶点的坐标；的坐标；的坐标；的坐标；曲线可用同样方法来平移：曲线可用同样方法来平移：曲线可用同样方法来平移：曲线可用同样方法来平移：为为为为了了了了改改改改变变变变圆圆圆圆或或或或椭
8、椭椭椭圆圆圆圆的的的的位位位位置置置置，可可可可以以以以平平平平移移移移中中中中心心心心坐坐坐坐标标标标并并并并在新中心位置在新中心位置在新中心位置在新中心位置重画图形重画图形重画图形重画图形；通通通通过过过过替替替替代代代代定定定定义义义义曲曲曲曲线线线线的的的的坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置，而而而而后后后后用用用用平平平平移移移移过过过过的的的的坐标点来重构曲线路径来实现其它曲线的平移。坐标点来重构曲线路径来实现其它曲线的平移。坐标点来重构曲线路径来实现其它曲线的平移。坐标点来重构曲线路径来实现其它曲线的平移。T TT T图形几何变换 基本几何变换 平移变换 平移变换特性 旋转变换 旋
9、转变换特性 缩放变换 缩放变换特性 变换矩阵表示 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 二维旋转是将物体沿二维旋转是将物体沿二维旋转是将物体沿二维旋转是将物体沿xyxy平面内的平面内的平面内的平面内的圆弧路径圆弧路径圆弧路径圆弧路径重定位。重定位。重定位。重定位。指指指指定定定定物物物物体体体体旋旋旋旋转转转转的的的的旋旋旋旋转转转转点点点点(或或或或基基基基准准准准点点点点)的的的的位位位位置置置置(x xr r,y yr r)和和和和旋转旋转旋转旋转角角角角(逆时针旋转时旋转角为正逆时针旋转时旋转角为正逆时针旋转时旋转角为正逆时针旋转时旋转角为正)。或
10、或或或：描描描描述述述述为为为为绕绕绕绕通通通通过过过过基基基基准准准准点点点点、垂垂垂垂直直直直于于于于xyxy平平平平面面面面的的的的旋旋旋旋转转转转轴轴轴轴旋转。旋转。旋转。旋转。当当当当基准点为坐标原点基准点为坐标原点基准点为坐标原点基准点为坐标原点时，变换方程：时，变换方程：时，变换方程：时，变换方程：x x1 1=xcosxcos-ysinysin,y y1 1=xsinxsin+ycosycos。方程的列向量矩阵为：方程的列向量矩阵为：方程的列向量矩阵为：方程的列向量矩阵为：P P1 1=R R P P 旋转矩阵为：旋转矩阵为：旋转矩阵为：旋转矩阵为：基本几何变换：基本几何变换：
11、旋转旋转 变换也可表示为行坐标向量矩阵：变换也可表示为行坐标向量矩阵：变换也可表示为行坐标向量矩阵：变换也可表示为行坐标向量矩阵：P P1 1T T=(=(R R P P)P P R R。旋转矩阵旋转矩阵旋转矩阵旋转矩阵R R的转置的转置的转置的转置R R可通过交换行和列而得到；可通过交换行和列而得到；可通过交换行和列而得到；可通过交换行和列而得到；旋转矩阵旋转矩阵旋转矩阵旋转矩阵R R的置换则可简单地改变的置换则可简单地改变的置换则可简单地改变的置换则可简单地改变sinsin项符号而得到。项符号而得到。项符号而得到。项符号而得到。图形几何变换 基本几何变换 平移变换 平移变换特性 旋转变换
12、旋转变换特性 缩放变换 缩放变换特性 变换矩阵表示 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 旋转旋转变换的特性变换的特性 点绕点绕点绕点绕任意基准位置任意基准位置任意基准位置任意基准位置旋转的变换方程：旋转的变换方程：旋转的变换方程：旋转的变换方程：x x1 1=x xr r+(+(x x-x xr r)coscos-(-(y y-y yr r)sinsin y y1 1=y yr r+(+(x x-x xr r)sinsin+(+(y y-y yr r)coscos 这这这这个个个个通通通通用用用用旋旋旋旋转转转转方方方方程程程程不不不不同同同同于于于于绕
13、绕绕绕原原原原点点点点旋旋旋旋转转转转方方方方程程程程之之之之处处处处在在在在于于于于:包括一个包括一个包括一个包括一个加项加项加项加项(平移项平移项平移项平移项)以及以及以及以及坐标值上的多重系数坐标值上的多重系数坐标值上的多重系数坐标值上的多重系数。旋旋旋旋转转转转也也也也是是是是一一一一种种种种不不不不变变变变形形形形地地地地移移移移动动动动物物物物体体体体的的的的刚刚刚刚体体体体变变变变换换换换，物物物物体体体体上上上上的的的的所有点旋转相同的角度：所有点旋转相同的角度：所有点旋转相同的角度：所有点旋转相同的角度：直线段旋转是将每个线直线段旋转是将每个线直线段旋转是将每个线直线段旋转是
14、将每个线端点端点端点端点；多边形的旋转则是将每个多边形的旋转则是将每个多边形的旋转则是将每个多边形的旋转则是将每个顶点顶点顶点顶点旋转指定的旋转角；旋转指定的旋转角；旋转指定的旋转角；旋转指定的旋转角；曲线的旋转则是旋转曲线的旋转则是旋转曲线的旋转则是旋转曲线的旋转则是旋转控制取样点控制取样点控制取样点控制取样点。(x xr r,y yr r)图形几何变换 基本几何变换 平移变换 平移变换特性 旋转变换 旋转变换特性 缩放变换 缩放变换特性 变换矩阵表示 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 基本几何变换：基本几何变换：缩放缩放 缩放变换改变物体的尺寸。该
15、缩放变换改变物体的尺寸。该缩放变换改变物体的尺寸。该缩放变换改变物体的尺寸。该操作施加于多边形操作施加于多边形操作施加于多边形操作施加于多边形。通通通通过过过过将将将将每每每每个个个个顶顶顶顶点点点点坐坐坐坐标标标标值值值值(x x,y y)乘乘乘乘以以以以缩缩缩缩放放放放系系系系数数数数s sx x和和和和s sy y，产生变换的坐标产生变换的坐标产生变换的坐标产生变换的坐标(x x1 1,y y1 1)：x x1 1=x x s sx x，y y1 1y y s sy y。缩放系数缩放系数缩放系数缩放系数s sx x在在在在x x方向对物体缩放，方向对物体缩放，方向对物体缩放，方向对物体缩
16、放，s sy y在在在在y y方向缩放。方向缩放。方向缩放。方向缩放。相对于原点相对于原点相对于原点相对于原点的缩放矩阵形式：的缩放矩阵形式：的缩放矩阵形式：的缩放矩阵形式：P P1 1S S P P 缩放矩阵：缩放矩阵：缩放矩阵：缩放矩阵：缩放系数缩放系数缩放系数缩放系数s sx x和和和和s sy y可可可可赋予任何正数。赋予任何正数。赋予任何正数。赋予任何正数。小于小于小于小于1 1缩小物体的尺寸；缩小物体的尺寸；缩小物体的尺寸；缩小物体的尺寸；大于大于大于大于1 1则放大物体；则放大物体；则放大物体；则放大物体；当当当当s sx x和和和和s sy y值相同时，产生一致缩放；值相同时，
17、产生一致缩放；值相同时，产生一致缩放；值相同时，产生一致缩放；s sx x和和和和s sy y值值值值不等时产生差值缩放。不等时产生差值缩放。不等时产生差值缩放。不等时产生差值缩放。用缩放方程变换的物体既被缩放，又被重定位用缩放方程变换的物体既被缩放，又被重定位用缩放方程变换的物体既被缩放，又被重定位用缩放方程变换的物体既被缩放，又被重定位。当缩放系数值大于当缩放系数值大于当缩放系数值大于当缩放系数值大于1 1时则将坐标位置远离原点。时则将坐标位置远离原点。时则将坐标位置远离原点。时则将坐标位置远离原点。XYP1P2相对原点的一致缩放图形几何变换 基本几何变换 平移变换 平移变换特性 旋转变换
18、 旋转变换特性 缩放变换 缩放变换特性 变换矩阵表示 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 缩放缩放变换的特性变换的特性 可可可可选选选选择择择择一一一一个个个个在在在在缩缩缩缩放放放放变变变变换换换换后后后后不不不不改改改改变变变变位位位位置置置置的的的的点点点点(固固固固定定定定点点点点)来来来来控控控控制缩放物体的位置。制缩放物体的位置。制缩放物体的位置。制缩放物体的位置。固固固固定定定定点点点点的的的的坐坐坐坐标标标标(x xf f,y yf f)可可可可以以以以选选选选择择择择顶顶顶顶点点点点之之之之一一一一、物物物物体体体体中中中中点点点点或或
19、或或任何其它位置任何其它位置任何其它位置任何其它位置。多多多多边边边边形形形形通通通通过过过过缩缩缩缩放放放放每每每每个个个个顶顶顶顶点点点点到到到到固固固固定定定定点点点点的的的的距距距距离离离离而而而而相相相相对对对对于于于于固固固固定定定定点点点点缩缩缩缩放放放放。坐坐坐坐标标标标为为为为(x x,y y)的的的的顶顶顶顶点点点点缩缩缩缩放放放放后后后后坐坐坐坐标标标标(x x1 1,y y1 1)为：为：为：为：x x1 1=x x s sx x+x xf f(1-(1-s sx x)；y y1 1=y y s sy y+y yf f(1-(1-s sy y)；其其其其中中中中：加加加
20、加法法法法项项项项x xf f(1-(1-s sx x)和和和和y yf f(1-(1-s sy y)对对对对物物物物体体体体中中中中的的的的任任任任何何何何点都是常数。点都是常数。点都是常数。点都是常数。可可可可此此此此常常常常数数数数项项项项的的的的列列列列向向向向量量量量，而而而而后后后后将将将将这这这这个个个个列列列列向向向向量量量量加加加加到相对原点缩放方程中的乘积到相对原点缩放方程中的乘积到相对原点缩放方程中的乘积到相对原点缩放方程中的乘积S S P P上。上。上。上。多边形的缩放可将变换应用于多边形的缩放可将变换应用于多边形的缩放可将变换应用于多边形的缩放可将变换应用于每个顶点每
21、个顶点每个顶点每个顶点。其它物体变换则将缩放变换方程加到其它物体变换则将缩放变换方程加到其它物体变换则将缩放变换方程加到其它物体变换则将缩放变换方程加到定义物体的参数定义物体的参数定义物体的参数定义物体的参数。图形几何变换 基本几何变换 平移变换 平移变换特性 旋转变换 旋转变换特性 缩放变换 缩放变换特性 变换矩阵表示 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 变换的矩阵表示变换的矩阵表示 每个基本变换都可表示为普通矩阵形式：每个基本变换都可表示为普通矩阵形式：每个基本变换都可表示为普通矩阵形式：每个基本变换都可表示为普通矩阵形式：P P1 1MM1 1 P
22、 PMM2 2。坐标位置坐标位置坐标位置坐标位置P P1 1和和和和P P表示为列向量；表示为列向量；表示为列向量；表示为列向量；矩阵矩阵矩阵矩阵MM1 1是一包含乘法系数的是一包含乘法系数的是一包含乘法系数的是一包含乘法系数的2222矩阵；矩阵；矩阵；矩阵；MM2 2是包含平移项的两元素列矩阵。是包含平移项的两元素列矩阵。是包含平移项的两元素列矩阵。是包含平移项的两元素列矩阵。对平移，对平移，对平移，对平移，MM1 1是单位矩阵；是单位矩阵；是单位矩阵；是单位矩阵；对对对对旋旋旋旋转转转转或或或或缩缩缩缩放放放放，MM2 2包包包包含含含含与与与与基基基基准准准准点点点点或或或或固固固固定定
23、定定点点点点相相相相关关关关的平移项。的平移项。的平移项。的平移项。利利利利用用用用这这这这个个个个方方方方程程程程产产产产生生生生先先先先缩缩缩缩放放放放再再再再旋旋旋旋转转转转后后后后平平平平移移移移的的的的变变变变换换换换顺顺顺顺序序序序，必必必必须每次一步地计算变换的坐标。须每次一步地计算变换的坐标。须每次一步地计算变换的坐标。须每次一步地计算变换的坐标。图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 齐次坐标表示 变换矩阵表示 复合变换 变换模式 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 几何变换的齐次坐标几何变换的齐次坐标 更更更更有有有有效效效效的的的
24、的方方方方法法法法是是是是将将将将变变变变换换换换组组组组合合合合，使使使使最最最最后后后后的的的的坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置直直直直接接接接从从从从初始坐标得到，消除中间坐标值的计算。初始坐标得到，消除中间坐标值的计算。初始坐标得到，消除中间坐标值的计算。初始坐标得到，消除中间坐标值的计算。这就这就这就这就需消除需消除需消除需消除MM2 2中与平移项相关的矩阵加法。中与平移项相关的矩阵加法。中与平移项相关的矩阵加法。中与平移项相关的矩阵加法。扩扩扩扩充充充充坐坐坐坐标标标标的的的的齐齐齐齐次次次次坐坐坐坐标标标标矩矩矩矩阵阵阵阵表表表表示示示示可可可可将将将将变变变变换换换换过过过过程
25、程程程表表表表示示示示为为为为矩矩矩矩阵阵阵阵乘法乘法乘法乘法。齐次坐标表示法就是用齐次坐标表示法就是用齐次坐标表示法就是用齐次坐标表示法就是用n n+1+1维维维维表示表示表示表示n n维。维。维。维。对二维变换：对二维变换：对二维变换：对二维变换：可可可可用用用用齐齐齐齐次次次次坐坐坐坐标标标标三三三三元元元元组组组组(x xh h,y yh h,h h)来来来来表表表表示示示示每每每每个个个个笛卡尔坐标位置笛卡尔坐标位置笛卡尔坐标位置笛卡尔坐标位置(x x,y y)。其其其其 中中中中：x x=x xh h/h h，y y=y yh h/h h，也也也也 可可可可 写写写写 为为为为(h
26、 h x x,h h y y,h h)。齐齐齐齐次次次次参参参参数数数数h h可可可可取取取取为为为为任任任任何何何何非非非非零零零零值值值值，每每每每个个个个坐坐坐坐标标标标点点点点(x x,y y)可可可可有有有有无无无无数数数数个个个个等等等等价价价价齐齐齐齐次次次次表表表表达达达达。最最最最方方方方便便便便的的的的选选选选择择择择是设置是设置是设置是设置h h=1=1。即即即即：每每每每个个个个二二二二维维维维位位位位置置置置都都都都可可可可用用用用齐齐齐齐次次次次坐坐坐坐标标标标(x x,y y,1),1)来来来来表表表表示。参数示。参数示。参数示。参数h h的其它值也是需要的。的其
27、它值也是需要的。的其它值也是需要的。的其它值也是需要的。图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 齐次坐标表示 变换矩阵表示 复合变换 变换模式 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 变换的齐次坐标矩阵表示变换的齐次坐标矩阵表示 在在在在齐齐齐齐次次次次坐坐坐坐标标标标中中中中所所所所表表表表示示示示的的的的位位位位置置置置允允允允许许许许将将将将所所所所有有有有几几几几何何何何变变变变换换换换方方方方程程程程表示为矩阵乘法：表示为矩阵乘法：表示为矩阵乘法：表示为矩阵乘法：坐标可表示为三元素列向量，变换写成坐标可表示为三元素列向量，变换写成坐标可表示为三元
28、素列向量，变换写成坐标可表示为三元素列向量，变换写成3333矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。绕坐标原点的绕坐标原点的绕坐标原点的绕坐标原点的旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换可写为：可写为：可写为：可写为：P P1 1=R R()P P，R R()是旋转矩阵；是旋转矩阵；是旋转矩阵；是旋转矩阵；当当当当 用用用用-替换时就得到其逆矩阵。替换时就得到其逆矩阵。替换时就得到其逆矩阵。替换时就得到其逆矩阵。相对于坐标原点的相对于坐标原点的相对于坐标原点的相对于坐标原点的缩放变换缩放变换缩放变换缩放变换表示为：表示为：表示为：表示为：P P1 1=S S(s sx x,s sy y)P P，S S(s sx x
29、,s sy y)是是是是缩放矩阵；缩放矩阵；缩放矩阵；缩放矩阵；用用用用倒倒倒倒数数数数1/1/s sx x和和和和1/1/s sy y代代代代替替替替s sx x和和和和s sy y就就就就产产产产生生生生其其其其逆逆逆逆矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。平移矩阵平移矩阵旋转矩阵旋转矩阵缩放矩阵缩放矩阵 平移变换平移变换平移变换平移变换可表示为：可表示为：可表示为：可表示为：P P1 1=T T(t tx x,t ty y)P P，T T(t tx x,t ty y)为为为为 平平平平 移移移移 矩矩矩矩阵。阵。阵。阵。平平平平移移移移矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的逆逆逆逆矩矩矩矩阵阵阵阵：用用用用平平平平
30、移移移移参参参参数数数数t tx x,t ty y的负值的负值的负值的负值-t tx x,-,-t ty y来代替原值。来代替原值。来代替原值。来代替原值。图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 齐次坐标表示 变换矩阵表示 复合变换 变换模式 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 复合变换复合变换 矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的合合合合并并并并或或或或复复复复合合合合：利利利利用用用用矩矩矩矩阵阵阵阵表表表表示示示示，通通通通过过过过计计计计算算算算单单单单个个个个变变变变换换换换矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的乘乘乘乘积积积积，将将将将任任任任意意意意顺顺顺顺序序序
31、序变变变变换换换换的的的的矩矩矩矩阵阵阵阵建建建建立立立立为为为为复复复复合合合合变变变变换矩阵换矩阵换矩阵换矩阵。对对对对于于于于坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置的的的的列列列列矩矩矩矩阵阵阵阵表表表表示示示示，以以以以从从从从右右右右向向向向左左左左的的的的次次次次序序序序进进进进行行行行矩阵乘而形成复合变换，来计算一系列变换的结果。矩阵乘而形成复合变换，来计算一系列变换的结果。矩阵乘而形成复合变换，来计算一系列变换的结果。矩阵乘而形成复合变换，来计算一系列变换的结果。即：每个随后的变换矩阵即：每个随后的变换矩阵即：每个随后的变换矩阵即：每个随后的变换矩阵左乘左乘左乘左乘前面的变换矩阵。前
32、面的变换矩阵。前面的变换矩阵。前面的变换矩阵。复复复复 合合合合 平平平平 移移移移：P P1 1 T(T(t txnxn,t tynyn)T(tT(tx2x2,t,ty2y2)T(tT(tx1x1,t,ty1y1)PP 复合旋转：复合旋转：复合旋转：复合旋转：P P1 1 R(R(n n)R()R(2 2)R()R(1 1)P P 复复复复 合合合合 缩缩缩缩 放放放放：P P1 1 S(S(s sxnxn,s synyn)S(sS(sx2x2,s,sy2y2)S(sS(sx1x1,s,sy1y1)PP 复合变换：先缩放后平移再旋转：复合变换：先缩放后平移再旋转：复合变换：先缩放后平移再旋转
33、：复合变换：先缩放后平移再旋转：P P1 1 R(R(n n)T()T(t txnxn,t tynyn)S()S(s sxnxn,s synyn)PP 注注注注意意意意：矩矩矩矩阵阵阵阵乘乘乘乘法法法法不不不不满满满满足足足足交交交交换换换换率率率率：MM1 1 MM2 2 MM2 2 MM1 1，所所所所以以以以变换的结果和变换执行的顺序有关变换的结果和变换执行的顺序有关变换的结果和变换执行的顺序有关变换的结果和变换执行的顺序有关。只只只只有有有有在在在在两两两两个个个个变变变变换换换换类类类类型型型型相相相相同同同同，或或或或两两两两者者者者分分分分别别别别是是是是一一一一致致致致缩缩缩缩
34、放放放放与旋转变换时，两者可以交换与旋转变换时，两者可以交换与旋转变换时，两者可以交换与旋转变换时，两者可以交换。图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 齐次坐标表示 变换矩阵表示 复合变换 变换模式 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 变换模式变换模式 固定坐标系变换模式固定坐标系变换模式固定坐标系变换模式固定坐标系变换模式 连连连连续续续续变变变变换换换换的的的的变变变变换换换换矩矩矩矩阵阵阵阵合合合合成成成成时时时时，先先先先调调调调用用用用的的的的变变变变换换换换放放放放在在在在连连连连乘乘乘乘式式式式的的的的右右右右边边边边，后后后后调调调调
35、用用用用的的的的变变变变换换换换放放放放在在在在连连连连乘式的左边。乘式的左边。乘式的左边。乘式的左边。特特特特点点点点：在在在在连连连连续续续续执执执执行行行行几几几几次次次次变变变变换换换换时时时时，每每每每一一一一次次次次变变变变换换换换均均均均可可可可看看看看成成成成是是是是相相相相对对对对于于于于原原原原始始始始（固固固固定定定定）坐坐坐坐标标标标系系系系进行进行进行进行。最最最最后后后后的的的的结结结结果果果果描描描描述述述述是是是是在在在在原原原原始始始始坐坐坐坐标标标标系系系系(全全全全局局局局)中中中中的坐标位置。的坐标位置。的坐标位置。的坐标位置。活动坐标系变换模式活动坐标
36、系变换模式活动坐标系变换模式活动坐标系变换模式 连连连连续续续续变变变变换换换换的的的的变变变变换换换换矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的合合合合成成成成时时时时，先先先先调调调调用用用用的的的的变变变变换换换换放放放放在在在在连连连连乘乘乘乘式式式式的的的的左左左左边边边边，后后后后调调调调用用用用的的的的变变变变换换换换放放放放在连乘式的右边。在连乘式的右边。在连乘式的右边。在连乘式的右边。特特特特点点点点：在在在在连连连连续续续续执执执执行行行行几几几几次次次次变变变变换换换换时时时时，每每每每一一一一次次次次变变变变换换换换均均均均可可可可看看看看成成成成是是是是在在在在前前前前一一一一次次次次
37、变变变变换换换换形形形形成成成成的的的的新新新新的的的的坐坐坐坐标系中标系中标系中标系中进行进行进行进行。最最最最后后后后的的的的结结结结果果果果描描描描述述述述是是是是在在在在最最最最后后后后形形形形成成成成的的的的坐坐坐坐标标标标系系系系(局部局部局部局部)中的坐标位置。中的坐标位置。中的坐标位置。中的坐标位置。不同的应用要求有不同的变换模式。不同的应用要求有不同的变换模式。不同的应用要求有不同的变换模式。不同的应用要求有不同的变换模式。图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 齐次坐标表示 变换矩阵表示 复合变换 变换模式 其它变换表示二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二
38、维观察变换 其它变换：其它变换：对称对称 (反射反射)变换变换 反射反射反射反射 (对称对称对称对称)变换是产生物体的变换是产生物体的变换是产生物体的变换是产生物体的镜像镜像镜像镜像的一种变换。的一种变换。的一种变换。的一种变换。相相相相对对对对反反反反射射射射(对对对对称称称称)轴轴轴轴的的的的一一一一维维维维反反反反射射射射镜镜镜镜像像像像是是是是通通通通过过过过将将将将物物物物体体体体绕绕绕绕反射反射反射反射(对称对称对称对称)轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转180180度度度度而生成的。而生成的。而生成的。而生成的。在在在在xyxy平面内平面内平面内平面内或或或或垂直于垂直于垂直于垂直于xyx
39、y平面平面平面平面选择反射轴：选择反射轴：选择反射轴：选择反射轴：反反反反射射射射轴轴轴轴是是是是在在在在xyxy平平平平面面面面内内内内的的的的一一一一条条条条线线线线时时时时，绕绕绕绕这这这这个个个个轴轴轴轴的旋转路径在的旋转路径在的旋转路径在的旋转路径在垂直于垂直于垂直于垂直于xyxy平面平面平面平面的平面中；的平面中；的平面中；的平面中；垂垂垂垂直直直直于于于于xyxy平平平平面面面面的的的的反反反反射射射射(对对对对称称称称)轴轴轴轴，旋旋旋旋转转转转路路路路径径径径在在在在xyxy平面内。平面内。平面内。平面内。关于原点反射关于x轴反射关于y轴反射图形几何变换 基本几何变换 变换矩
40、阵表示 其它变换表示 反射变换 任意反射变换 错切变换 仿射变换二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 任意任意对称对称 (反射反射)变变换换 关关关关于于于于xyxy平平平平面面面面内内内内任任任任意意意意线线线线y y=mxmx+b b的的的的反反反反射射射射可可可可用用用用平平平平移移移移-旋旋旋旋转转转转-反反反反射变换的组合来完成：射变换的组合来完成：射变换的组合来完成：射变换的组合来完成：平平平平移移移移反反反反射射射射轴轴轴轴使使使使其其其其经经经经过过过过原原原原点点点点；将将将将反反反反射射射射轴轴轴轴旋旋旋旋转转转转到到到到坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴之
41、之之之一一一一上上上上，且且且且进进进进行行行行关关关关于于于于坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴反反反反射射射射；利利利利用用用用逆逆逆逆旋旋旋旋转和平移变换将线置回原处。转和平移变换将线置回原处。转和平移变换将线置回原处。转和平移变换将线置回原处。关关关关于于于于坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴或或或或坐坐坐坐标标标标原原原原点点点点的的的的反反反反射射射射可可可可处处处处理理理理为为为为缩缩缩缩放放放放系系系系数数数数为为为为负负负负值值值值的的的的缩缩缩缩放放放放变换。变换。变换。变换。反反反反射射射射矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的元元元元素素素素也也也也可可可可设设设设置置置置为为为为11以以以以外外外外的
42、的的的其其其其它它它它值值值值：大大大大于于于于1 1的的的的值值值值将将将将镜镜镜镜像像像像移移移移至至至至远远远远离离离离反反反反射射射射轴轴轴轴；小小小小于于于于1 1的的的的值值值值将将将将镜镜镜镜像像像像接接接接近近近近反反反反射轴。射轴。射轴。射轴。y=mx+b平移旋转反射逆旋转逆平移图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 其它变换表示 反射变换 任意反射变换 错切变换 仿射变换二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 其它变换：其它变换：错切变换错切变换 错错错错切切切切会会会会使使使使物物物物体体体体形形形形状状状状发发发发生生生生变变变变化化化化的的的
43、的变变变变换换换换，经经经经过过过过错错错错切切切切的的的的物物物物体体体体好好好好象象象象是是是是由由由由已已已已经经经经相相相相互互互互滑滑滑滑动动动动的的的的内内内内部部部部夹夹夹夹层层层层组组组组成成成成。常常常常用用用用错错错错切切切切变变变变换换换换有有有有两种：改变两种：改变两种：改变两种：改变x x坐标值和改变坐标值和改变坐标值和改变坐标值和改变y y坐标值。坐标值。坐标值。坐标值。相相相相对对对对x x轴轴轴轴的的的的x x方方方方向向向向错错错错切切切切将将将将坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置转转转转换换换换成：成：成：成：x x1 1x x+shshx x y y，y y
44、1 1y y。坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置(x x,y y)水水水水平平平平地地地地移移移移动动动动一一一一个个个个与与与与它它它它到到到到x x轴轴轴轴距距距距离离离离(y y值值值值)成成成成shshx x比比比比例例例例的的的的量量量量；shshx x为负，坐标位置向左移动。为负，坐标位置向左移动。为负，坐标位置向左移动。为负，坐标位置向左移动。相相相相对对对对于于于于其其其其它它它它参参参参考考考考线线线线x x方方方方向向向向错错错错切切切切的的的的坐坐坐坐标标标标位位位位置置置置被变换为：被变换为：被变换为：被变换为：x x1 1x x+shshx x(y y-y yrefre
45、f)，y y1 1y y 相相相相对对对对于于于于线线线线x x=x xrefref的的的的y y方方方方向向向向错错错错切切切切生生生生成成成成变变变变换换换换的的的的坐坐坐坐标位置为：标位置为：标位置为：标位置为：x x1 1=x x，y y1 1=sh shy y(x x-x xrefref)+)+y y 这这这这种种种种变变变变换换换换由由由由正正正正比比比比于于于于从从从从参参参参考考考考线线线线x x=x xrefref到到到到其其其其距离的量垂直地改变坐标位置。距离的量垂直地改变坐标位置。距离的量垂直地改变坐标位置。距离的量垂直地改变坐标位置。错切操作可表示为基本变换的序列。错切
46、操作可表示为基本变换的序列。错切操作可表示为基本变换的序列。错切操作可表示为基本变换的序列。图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 其它变换表示 反射变换 任意反射变换 错切变换 仿射变换二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 其它变换：其它变换：仿射变换仿射变换 形式为：形式为：形式为：形式为：x x=a axxxxx x+axaxyyyy+b bx x y y=a ayxyxx x+a ayyyyy y+b by y的坐标变换称二维仿射的坐标变换称二维仿射的坐标变换称二维仿射的坐标变换称二维仿射(affine transformationaffine transf
47、ormation)变换。变换。变换。变换。变换坐标变换坐标变换坐标变换坐标x x 和和和和y y 都是原始坐标都是原始坐标都是原始坐标都是原始坐标x x和和和和y y的线性函数；的线性函数；的线性函数；的线性函数；参数参数参数参数a aij ij和和和和b bk k是由变换类型确定的常数。是由变换类型确定的常数。是由变换类型确定的常数。是由变换类型确定的常数。平平平平移移移移、旋旋旋旋转转转转、缩缩缩缩放放放放、反反反反射射射射和和和和错错错错切切切切是是是是二二二二维维维维仿仿仿仿射射射射变变变变换换换换的特例；的特例；的特例；的特例；任任任任何何何何常常常常用用用用的的的的二二二二维维维维
48、仿仿仿仿射射射射变变变变换换换换总总总总可可可可表表表表示示示示为为为为这这这这五五五五种种种种变变变变换的组合。换的组合。换的组合。换的组合。从从从从一一一一个个个个参参参参照照照照系系系系统统统统坐坐坐坐标标标标描描描描述述述述到到到到另另另另一一一一个个个个系系系系统统统统的的的的转转转转换换换换是是是是另一种仿射变换，可描述为平移和旋转组合；另一种仿射变换，可描述为平移和旋转组合；另一种仿射变换，可描述为平移和旋转组合；另一种仿射变换，可描述为平移和旋转组合；仅仅仅仅包包包包含含含含旋旋旋旋转转转转、平平平平移移移移和和和和反反反反射射射射的的的的仿仿仿仿射射射射变变变变换换换换维维维
49、维持持持持角角角角度度度度和和和和长度以及平行线。长度以及平行线。长度以及平行线。长度以及平行线。对对对对这这这这三三三三种种种种变变变变换换换换，变变变变换换换换前前前前后后后后两两两两直直直直线线线线间间间间的的的的角角角角度度度度和和和和长长长长度相同。度相同。度相同。度相同。图形几何变换 基本几何变换 变换矩阵表示 其它变换表示 反射变换 任意反射变换 错切变换 仿射变换二维图形观察 二维观察流程 观察坐标系 视区定义 二维观察变换 二维观察二维观察 图图图图形形形形软软软软件件件件包包包包允允允允许许许许指指指指定定定定图图图图形形形形中中中中要要要要显显显显示示示示的的的的部部部部
50、分分分分及及及及在在在在显显显显示示示示器器器器显示的位置。显示的位置。显示的位置。显示的位置。世世世世界界界界坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中要要要要显显显显示示示示的的的的区区区区域域域域(通通通通常常常常在在在在观观观观察察察察坐坐坐坐标标标标系系系系内内内内定义定义定义定义)称称称称窗口窗口窗口窗口。窗口映射到显示器窗口映射到显示器窗口映射到显示器窗口映射到显示器(设备设备设备设备)上的区域称为上的区域称为上的区域称为上的区域称为视区视区视区视区。窗口窗口窗口窗口定义显示什么；定义显示什么；定义显示什么；定义显示什么；视区视区视区视区定义在何处显示。定义在何处显示。定义在何处显示。定义