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1、7.1 7.1 线性相位FIRFIR滤波器的特点7.1.1 7.1.1 7.1.1 7.1.1 线性相位条件线性相位条件如果一个线性移不变系统的频率响有如下形式：（7.17.1）则其具有线性相位。这里 是一个实数。因而，线性相位系统有一个恒定的群延时 （7.27.2）d()/d第1页/共64页在实际应用中，有两类准确的线性相位，分别要求满足 （7.37.3）（7.47.4）FIRFIR滤波器具有式（7.37.3）的线性相位的充分必要条件是：单位抽样响应 关于群延时 偶对称，即满足：（7.57.5）(7.6)(7.6)()()第2页/共64页满足式（7.57.5）和式（7.67.6）的偶对称条件
2、的FIRFIR滤波器分别称为:I I型线性相位滤波器(N(N为奇数)型线性相位滤波器(N(N为偶数)第3页/共64页 FIRFIR滤波器具有式（7.47.4）的线性相位的充分必要条件是：单位抽样响应 关于群延时 奇对称，即满足 （7.77.7）（7.87.8）（7.97.9）第4页/共64页把满足式（7.77.7）、（7.87.8）和式（7.97.9）的奇对称条件的FIRFIR滤波器分别称为:型线性相位滤波器(N为奇数)型线性相位滤波器 (N(N为偶数)第5页/共64页1 1 1 1I I I I型线性相位滤波器型线性相位滤波器(偶对称，偶对称，N N N N为奇数为奇数)幅度函数和相位函数的
3、特点：幅度函数对 偶对称，同时对 也呈偶对称；相位函数为准确的线性相位。7.1.2 7.1.2 线性相位滤波器频率响应的特点2H(H()020()-(N-1)-(N-1)第6页/共64页2 2 2 2型线性相位滤波器型线性相位滤波器(偶对称，偶对称，N N N N为偶数为偶数)型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：幅度函数的特点：（1 1）当=时，H(H()=0,)=0,也就是说H(z)H(z)在z=-1z=-1处必然有一个零点；（2 2）H(H()对=呈奇对称，对=0,2=0,2呈偶对称。相位函数的特点：准确的线性相位20()-(N-1)-(N-1)20H(H()第7页/共64页3 3
4、 3 3型线性相位滤波器型线性相位滤波器(奇对称，奇对称，N N N N为奇数为奇数)型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：幅度函数的特点：（1 1）当=0,=0,2,2时，H(H()=0,)=0,也就是H(z)H(z)说在z=1z=1处都为零点；（2 2）H(H()对=0,=0,2,2都呈奇对称。相位函数的特点：既是准确的线性相位，又增加了/2/2的相移，又称9090o o移相器。20()-(N-3/2)-(N-3/2)/220H(H()第8页/共64页4 4 4 4型线性相位滤波器型线性相位滤波器(奇对称，奇对称，N N N N为偶数为偶数)型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点
5、：幅度函数的特点：（1 1）当=0,2=0,2时，H(H()=0,)=0,也就是说H(z)H(z)在z z1 1处为零点；（2 2）H(H()在=0,2=0,2处呈奇对称，在处呈偶对称。相位函数的特点：既是准确的线性相位，又增加了/2/2的相移，又称9090o o移相器。20()-(N-3/2)-(N-3/2)/220H(H()第9页/共64页7.2 7.2 窗函数设计法 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 设计方法设计方法 给出所要求的理想低滤波器频率响应设计一个FIRFIR滤波器频率响应 逼近 第10页/共64页一、窗函数设计法的原理一、窗函数设计法的原理设计是在时域进行设计是
6、在时域进行 以一个截止频率为C C线性相位的理想矩形幅度特性的低通滤波器为例。设低通特性的群延时为，即C CC C0 0H Hd d()1第11页/共64页h hd d(n)(n)n nN-1N-10 0=(N-1)/2h(n)=hd(n)RN(n)h hd d(n)(n)是中心点在的无限长序列，取矩形窗就可以得到有限长序列。n nN-1N-10 0R RN N(n)(n)1 1第12页/共64页依照线性相位滤波器的约束，h(n)h(n)必须是偶对称的，对称中心就为长度的一半(N-1)/2.(N-1)/2.因此有第13页/共64页二、加窗处理对频率响应的影响二、加窗处理对频率响应的影响按照复卷
7、积公式，时域相乘，则在频域上是周期性按照复卷积公式，时域相乘，则在频域上是周期性卷积关系，即卷积关系，即矩形窗的频率特性矩形窗的频率特性第14页/共64页W WR R(e(ej j)就是频率内插函数，其幅度函数W WR R()在22/N/N之内为一个主瓣，两侧形成许多衰减振荡的旁瓣，W WR R()是周期函数。2 2/N/N-2-2/N/N0 0W WR R()第15页/共64页理想低通滤波器的频率响应FIR滤波器的频率响应第16页/共64页C CC C2 2/N/NC C+2+2/N/NC CC C-C C2 2/N/N-2-2/N/N0.50.5第17页/共64页加窗处理对理想矩形频率产生
8、的几点影响：1 1、使理想频率特性在不连续点处形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗频率响应的主瓣宽度 4 4/N/N；2 2、在截止频率C C22/N/N的地方，H(H()出现最大的肩峰值，在肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的多少；3 3、当截取长度增加时，只会减小过渡带的宽度4 4/N,/N,而不会改变肩峰的相对值，这种现象称为吉布斯效应。第18页/共64页取 ，即取矩形窗 例7.1 设计一低通滤波器，所希望的频率响应截止频率 在 之间为1，在 之间为0，分别取N=11,21,41，观察其频谱响应的特点。解：第19页/共64页当N=11时，求得 显然 ，满足对称关系。根据序列h(n
9、)h(n)，分别求得N=11,21,41时的幅频特性 第20页/共64页由图可以看出，当N取的过小时，通频带过窄，且阻带内波纹较大，过渡带较宽，当N增大时，H(eH(ej j)与Hd(ej)的近似程度越来越好。但当N增大时，通带内出现了波纹，而且随着N的继续增大，这些波纹并不消失，只是最大的尖峰处越来越接近于间断点，这种现象称作吉布斯现象。吉布斯现象的产生是由于对 突然截短的结果。为了减少吉布斯现象，应选取旁瓣较小的窗函数。第21页/共64页希望窗函数满足两个要求：1 1、窗谱主瓣尽可能的窄，以获得较陡的过渡带；2 2、尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是使能量尽量集中于主瓣，使肩峰和波纹
10、减小，可增大阻带的衰减。选用其它形状的窗函数，在边沿处(n=0(n=0和n=N-1n=N-1附近)的变换比矩形窗要缓慢和平缓，这样可以减小陡峭边沿所引起的旁瓣分量，使阻带衰减增大；但是窗谱的主瓣宽度就比矩形窗要宽，这会造成滤波器幅度函数过渡带的加宽。7.2.2 7.2.2 各种窗函数 第22页/共64页1 1矩形窗 窗函数为 幅度函数为 主瓣宽度 ，过渡带宽 。2 2汉宁（HanningHanning）窗（又称升余弦窗）窗函数为 幅度函数为 主瓣宽度 ，过渡带宽 。第23页/共64页3 3海明（HammingHamming）窗（又称改进的升余弦窗）窗函数为 幅度函数为 主瓣宽度 ，过渡带宽 。
11、4.4.凯泽（KaiserKaiser）窗 窗函数为 其中 为第一类变形零阶贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数，改变 值就可对主瓣宽度与旁瓣衰减进行选择，一般选择 。过渡带宽 。第24页/共64页第25页/共64页第26页/共64页第27页/共64页7.2.3 7.2.3 窗函数的设计方法1 1、给定要求的频率响应函数H Hd d(e(ej j)；2 2、对H Hd d(e(ej j)求离散傅立叶反变换，得到h hd d(n);(n);3 3、由过渡带宽度及阻带最小衰减的要求，选定窗的形状和N N的大小；4 4、求得所设计的FIRFIR滤波器的单位抽样响应h(n);h(n);5 5、对h(n)
12、h(n)求傅立叶变换，得到H(eH(ej j)，检验是否满足要求，若不满足，则需要重新设计。第28页/共64页例7.27.2：设计一个线性相位的FIRFIR滤波器，给定抽样频率为c c2 21.5 101.5 104 4(rad/sec),(rad/sec),通带截止频率为p p2 21.5 101.5 103 3(rad/sec),(rad/sec),阻带起始频率为stst2 23 3 10104 4(rad/sec),(rad/sec),阻带的衰减不小于50dB.50dB.解：1 1、求对应的数字频率。通带截止频率：阻带起始频率：阻带衰减相当于 1 10.50.5-50dB-50dB0 0
13、p pc cstst|H(j|H(j)|)|第29页/共64页2 2、设理想线性相位滤波器H Hd d(e(ej j)为 求理想低通滤波器的截止频率第30页/共64页3 3、确定窗形状及N N的大小由阻带衰减50dB50dB查表，可选海明窗，其阻带最小衰减53dB53dB符合要求。要求的数字频域的过渡带宽度0.20.2而海明窗过渡带带宽满足6.66.6/N/N因此 N=N=6.66.6/=6.6=6.6/0.20.2=33=33 =(N-1)/2=16=(N-1)/2=16第31页/共64页4 4、由海明窗表达式确定FIRFIR滤波器的h(n)h(n)5 5、由h(n)h(n)确定H(eH(e
14、j j)，再检验指标是否符合要求，如果不满足，则改变N N或窗函数的形状来重新计算。第32页/共64页第33页/共64页7.3 频率抽样设计法 频率抽样法是从频域出发，把给定的理想频率响应 加以等间隔抽样，即 令（7.42）由DFT定义，得（7.43）第34页/共64页可求得滤波器的系统函数（7.44）该系统的频率响应为（7.45）第35页/共64页经过推导，有（7.46）由式（7.46）可知，是由内插函数（7.47）的插值所决定的，即第36页/共64页由内插公式（7.47）可知，在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应严格地和理想频率响应值相等。但是在抽样点之间的频率响应则是由N个离散值作为权
15、重和插值函数线性组合的结果。显然抽样点N取得越大，近似程度越好，N的选取要视在通带和阻带内的技术要求而定。（7.47）第37页/共64页 的指定原则（3）由 求出的 应具有线性相位。（1）在通带内可令|=1，阻带内|=0，且在通带内赋给一相位函数；（2）指定的应保证由式（7.43）求出的是实序列；第38页/共64页 的指定 由式（7.46）知，若保证则 就具有线性相位，。并考虑|=1，等效地指定（7.48）根据DFT的性质可知，为保证 是实序列，应满足下列对称关系 （7.49）第39页/共64页由于（7.50）当N为偶数时，；当N为奇数时，。这样当N为偶数时，若按式（7.48）对赋值，就不能满
16、足式（7.49）的对应关系。由此，按如下原则对 赋值。N为偶数时N为奇数时（7.51）（7.52）第40页/共64页用频率抽样法设计FIR数字滤波器的步骤：（1）根据所设计的滤波器的通带与阻带的要求，根据N为偶数还是奇数，按式（7.51）、（7.52）指定 ，在阻带内，=0；（2）由指定的 构成所设计的滤波器的转移函数，也可由式（7.44）求得频率响应 。第41页/共64页例7.3 用频率抽样法设计一个低通滤波器，其截止频率是抽样频率的1/10，取N=20。解：此处N为偶数，且在通带内对 抽样时，仅得两个点，由式（7.51），有在其它点处，第42页/共64页将 代入式（7.43），得 序列如下
17、第43页/共64页7.4 应用MATLABMATLAB设计FIRFIR数字滤波器 1窗函数（1）bartlett.m （三角窗）（2）blackman.m （布莱克曼窗）（3）boxcar.m（矩形窗）（4）hamming.m（海明窗）（5）hanning.m（汉宁窗）（6）triang.m（三角窗）（7）chebwin.m（切比雪夫窗）（8）kaiser.m（凯泽窗）7.4.1 与本章内容有关的MATLABMATLAB文件 第44页/共64页（1）fir1.m本文件采用窗函数法设计FIR数字滤波器，其调用格式是1）b=fir1（N,Wn）2）b=fir1（N,Wn,high）3）b=fir1
18、（N,Wn,stop）2FIR数字滤波器的文件式中N为滤波器的阶次，因此滤波器的长度为N+1；Wn是通带截止频率，其值在01之间，1对应抽样频率的一半；b是设计好的滤波器系数。对于格式（1），若Wn是一标量，则可用来设计低通滤波器；若Wn是的向量，则用来设计带通滤波器；若Wn是的向量，则可用来设计带滤波器，此时，格式将变为：b=fir1（N,Wn,DC-1）或b=fir1（N,Wn,DC-0）格式（2）用来设计高通滤波器；格式（3）用来设计带阻滤波器。第45页/共64页（2）fir2.m本文件采用窗函数法设计具有任意幅频特性的FIR数字滤波器。其调用格式是b=fir2（N,F,M）其中F是频率
19、向量，其值在01之间，M是与F相对应的所希望的幅频响应。不指定窗函数的类型，则自动选择汉明窗。第46页/共64页（3）remez.m本文件用来设计采用切比雪夫最佳一致逼近FIR数字滤波器。同时，还可以用来设计希尔伯特变换器和差分器。其调用格式是1）b=remez（N,F,A）2）b=remez（N,F,A,W）3）b=remez（N,F,A,W,hilbert）4）b=remez（N,F,A,W,differentiator）其中，N是给定的滤波器的阶次；b是设计的滤波器的系数，其长度为N+1；F是频率向量，其值在01之间；A是对应F的各频段上的理想幅频响应；W是各频段上的加权向量。注意：若b
20、的长度为偶数，设计高通和带阻滤波器时有可能出现错误，因此最好保证b的长度为奇数，即N应为偶数。第47页/共64页（4）remexord.m 本文件采用切比雪夫一致逼近设计FIR数字滤波器时所需要的滤波器阶次。其调用格式是N,Fo,Ao,W=remexord（F,A,DEV,Fs）式中，F、A的含义同文件（3），是通带和阻带上的偏差；该文件输出的是符合要求的滤波器阶次N、频率向量Fo、幅度向量Ao和加权向量W。若设计者事先不能确定自己要设计的滤波器的阶次，那么，调用remexord后，就 可 利 用 这 一 族 参 数 再 调 用 remez，即b=remez（N,Fo,Ao,W），从而设计出所
21、需要的滤波器。因此，通常remez和remexord结合使用。说明：remexord给出的阶次N有可能偏低，这时适当增加N即可；另外，若N为奇数，就可令其加1，使其变为偶数，这样b的长度为奇数。第48页/共64页（5）sgolay.m本文件用来设计Savitzky-Golay平滑滤波器。其调用格式是b=sgolay（k,f）式中k是多项式的阶次，f是拟合的双边点数。要求 kf，且f为奇数。（6）firls.m本文件用最小平方法设计线性相位FIR数字滤波器。可设计任意给定的理想幅频特性。第49页/共64页（7）fircls.m用带约束的最小平方法设计线性相位FIR数字滤波器。可设计任意给定的理想
22、幅频特性。（8）fircls1.m用带约束最小平方法设计线性相位FIR低通和高通滤波器。可设计任意给定的理想幅频特性。（9）firrcos.m用来设计低通线性相位FIR数字滤波器，其过渡带为余弦函数形状。第50页/共64页7.4.2 应用MATLABMATLAB设计FIRFIR数字滤波器 例7.3 令N=10，分别用矩形窗和海明窗重复例7.1。解：根据要求编制MATLAB程序如下：clearall;N=10;b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1);%用矩形窗作为冲激响应的窗函数b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1);%用Hamming窗作为冲激响应的窗函数%M=1
23、28;第51页/共64页h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,1,M);%分别求两个滤波器的频率响应；t=0:10;subplot(221)stem(t,b2,.);holdon;plot(t,zeros(1,11);grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4;fork=1:M1第52页/共64页hd(k)=1;hd(k+M1)=0;hd(k+2*M1)=0;hd(k+3*M1)=0;endsubplot(222)plot(f,abs(h1),b-,f,abs(h2),g-,f,hd,-);grid;运行结果如图7.5所示。第53页/共64页图7.5 运
24、行结果 第54页/共64页例7.4设计一多带滤波器，要求理想幅频响应在归一化频率0.20.3，0.60.8之间为1，其余均为0。解：程序如下：clearall;f=00.190.20.30.310.590.60.80.811;%给定频率轴分点；m=0011001100;%给定在这些频率分点上理想的幅频响应N1=30;N2=90;%取两种不同的滤波器长度；b1=fir2(N1,f,m);b2=fir2(N2,f,m);第55页/共64页%得到两个滤波器；subplot(311);stem(b1,.);grid;subplot(312);stem(b2,.);grid;M=128;h1,w=fre
25、qz(b1,1,M,1);h2,w=freqz(b2,1,M,1);subplot(313);plot(w,abs(h1),b-,w,abs(h2),g-);grid;第56页/共64页图7.6 滤波器单位抽样响应及其幅频响应曲线第57页/共64页例7.5 利用切比雪夫最佳一致逼近法设计一低通滤波器，要求通带边缘频率 ，阻带边缘频率 。解：clearall;f=0.6.71;%给定频率轴分点；A=1100;%给定在这些频率分点上理想的幅频响应；weigh=110;%给定在这些频率分点上的加权；第58页/共64页b=remez(32,f,A,weigh);%设计出切比雪夫最佳一致逼近滤波器；%h
26、,w=freqz(b,1,256,1);h=abs(h);h=20*log10(h);figure(1)stem(b,.);grid;figure(2)plot(w,h);grid;第59页/共64页第60页/共64页例7.6 利用切比雪夫最佳一致逼近法设计一个多阻带陷波器，数字系统的抽样频率为500Hz，去掉工频信号（50Hz）及二次、三次谐波的干扰。解：clearall;%用切比雪夫最佳一致逼近设计线性相位多带FIR滤波器；f=0.14.18.22.26.34.38.42.46.54.58.62.661;A=11001100110011;weigh=8181818;b=remez(64,f,A,weigh);%第61页/共64页h,w=freqz(b,1,256,1);hr=abs(h);h=abs(h);h=20*log10(h);figure(1)stem(b,);grid;figure(2)plot(w,h);grid;第62页/共64页第63页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页