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1、第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法1第第7 7章章 有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应FIRFIR滤波器滤波器的设计方法的设计方法7.1 7.1 引言引言7.2 7.2 线性相位线性相位FIRFIR滤波器的特点滤波器的特点 7.3 7.3 用窗函数法设计用窗函数法设计FIRFIR滤波器滤波器 7.4 7.4 用频率采样法设计用频率采样法设计FIRFIR滤波器滤波器 7.5 7.5 FIRFIR滤波器和滤波器和IIRIIR滤波器的比较滤波器的比较第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法27.1 7.1 引言引言 对应的系统函数对应的系统函数:因为它是一种线性时不变系统，可
2、用卷积和形式表示因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示 比较比较、得：得：FIRFIR数字滤波器的差分方程描述数字滤波器的差分方程描述:第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法3FIRFIR数字滤波器的单位抽样响应数字滤波器的单位抽样响应h(n)h(n)是有限长的。任何是有限长的。任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；转变为因果序列，所以因果性总是满足；极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；无反馈运算，运算误差小，结构一般是非递归的。无反馈
3、运算，运算误差小，结构一般是非递归的。很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；理、数据传输等系统中非常重要；FIR数字滤波器的特点：数字滤波器的特点：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法47.2 7.2 线性线性相位相位FIRFIR滤波器的特点滤波器的特点 如如果果FIRFIR数数字字滤滤波波器器的的单单位位抽抽样样响响应应h(n)h(n)是是实实数数序序列列，而而且满足偶对称或奇对称的条件，即且满足偶对称或奇
4、对称的条件，即则滤波器就具有严格的线性相位特点。则滤波器就具有严格的线性相位特点。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法5一、线性相位特性一、线性相位特性 (1)h(n)(1)h(n)偶对称的情况偶对称的情况:h(n)=h(N-1-n)0nN-1其系统函数为：其系统函数为：将将m=N-1-n代入代入第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法6即即上式进一步写成：上式进一步写成：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法7滤波器的频率响应为滤波器的频率响应为 可可以以看看到到，上上式式的的以以内内全全部部是是标标量量，如如果果将将频频率率响响应应用用相相位函数位函数()及幅
5、度函数及幅度函数H H()表示表示 第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法8那么有：那么有：幅幅度度函函数数H H()是是标标量量函函数数，可可以以包包括括正正值值、负负值值和和零零，而而且且是是的的偶偶对对称称函函数数和和周周期期函函数数;而而|H H(e(ejj)|)|取取值值大大于于等等于于零零,两两者者在某些在某些值上相位相差值上相位相差。相位函数相位函数()具有严格的线性相位，如图具有严格的线性相位，如图7-37-3所示。所示。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法9图图7-3.7-3.h(n)h(n)偶对称时的线性相位特性偶对称时的线性相位特性 第7章 有限长单
6、位冲激响应FIR滤波器的设计方法10数字滤波器的群延迟数字滤波器的群延迟()定义为定义为式式中中，grd(groupgrd(groupdelay)delay)为为群群延延迟迟函函数数。由由上上式式可可知知，当当h(n)h(n)满满足足偶偶对对称称时时，FIRFIR数数字字滤滤波波器器具具有有(N-1)/2(N-1)/2个个采采样样的的延延时时，它它等等于于单单位位抽抽样样响响应应h(n)h(n)长长度度的的一一半半。也也就就是是说说，FIRFIR数数字字滤滤波波器器的输出响应整体相对于输入延时了的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2(N-1)/2个采样周期。个采样周期。第7章 有限长单位
7、冲激响应FIR滤波器的设计方法11其系统函数为其系统函数为因此因此 H(z)=-z-(N-1)H(z-1)h(n)=-h(N-1-n)0nN-1h(n)h(n)奇对称的情况奇对称的情况:第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法12同样可以改写成 第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法13其频率响应为其频率响应为 所以有所以有:第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法14 幅幅度度函函数数H()H()可可以以包包括括正正值值、负负值值和和零零，而而且且是是的的奇奇对对称称函函数数和和周周期期函函数数。相相位位函函数数既既是是线线性性相相位位，又又包包括括/2/2的的相相
8、移移，如如图图7-47-4所所示示。可可以以看看出出，当当h(n)h(n)为为奇奇对对称称时时，FIRFIR滤滤波波器器不不仅仅有有(N-1)/2(N-1)/2 个个采采样样的的延延时时，还还产产生生一一个个9090的的相相移移。这这种种使使所所有有频频率率的的相相移移皆皆为为9090的的网网络络，称称为为移移相相器器，或或称称正正交交变变换换网网络络。它它和和理理想想低低通通滤滤波波器器、理理想想微微分分器器一一样样，有有着着极极重重要要的的理理论论和实际意义。和实际意义。当当h(n)h(n)为奇对称时，为奇对称时，FIRFIR滤波器将是一个具有准确滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换
9、网络。的线性相位的正交变换网络。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法15图图7-47-4 h(n)h(n)奇对称时的奇对称时的9090o o线性相位特性线性相位特性 第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法16二、二、幅度响应特性幅度响应特性1.第一种类型：第一种类型：h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数为奇数 h(n)偶对称的幅度函数式为：偶对称的幅度函数式为：可以看出，不但可以看出，不但h(n)对于对于(N-1)/2呈偶对称，而且呈偶对称，而且也对也对(N-1)/2呈偶对称，即呈偶对称，即:第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法17将将内两两相等的项合并，幅度
10、函数就可以表示为内两两相等的项合并，幅度函数就可以表示为 令令，则上式可改写为：，则上式可改写为：可表示为可表示为 第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法18式中式中:n=1,2,3,(N-1)/2 由由于于cos(n)项项对对于于=0,2皆皆为为偶偶对对称称，因因此此幅幅度度函函数数H()对于对于=0,，2也呈偶对称。也呈偶对称。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法192.第二种类型：第二种类型：h(n)为偶对称，为偶对称，N为偶数为偶数令令，代入上式可得，代入上式可得由于由于N为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得第7
11、章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法20式中式中:n=1,2,3,N/2因此因此第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法21如果数字滤波器在如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。器，则不能用这类数字滤波器来设计。当当=时，时，余弦项对，余弦项对=呈奇对称，呈奇对称，因因此此H()=0，即即H(z)在在z=ej=-1处处必必然然有有一一个个零零点点，而而且且H()对对=呈奇对称。呈奇对称。当当=0或或2时，时，或或-1，余余弦弦项项对对=0,2为为偶偶对对称称，幅度函数幅度函数H()对于对于=0,2
12、也呈偶对称。也呈偶对称。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法223.第三种类型：第三种类型：h(n)为奇对称，为奇对称，N为奇数为奇数 h(n)奇对称的幅度函数式如下：奇对称的幅度函数式如下：由于由于h(n)对于对于(N-1)/2呈奇对称，即呈奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，当，当n=(N-1)/2时，时，因此，因此，,即即h(n)奇奇对对称称时时，中中间间项项一一定定为为零零。此此外外，式中，式中，也对也对(N-1)/2呈奇对称。呈奇对称。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法23因因此此，在在中中第第n项项和和第第(N-1-n)项项是是相相等等的的，将将这这两
13、两两两相相等等的的项项合并，即合并，即第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法24令令，则上式可改写为则上式可改写为即即式中式中:n=1,2,3,(N-1)/2第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法25由由于于sin(n)在在=0,2处处都都为为零零，并并对对这这些些点点呈呈奇奇对对称称，因因此此幅幅度度函函数数H()在在=0,2处处为为零零，即即H(z)在在z=1上上都都有有零零点点，且且H()对于对于=0,2也呈奇对称。也呈奇对称。如果数字滤波器在如果数字滤波器在=0,2处不为零，例如低通滤波器、处不为零，例如低通滤波器、高通高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器
14、来设计，滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计，除非除非不考虑这些频率点上的值。不考虑这些频率点上的值。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法264.第四种类型：第四种类型：h(n)为奇对称，为奇对称，N为偶数为偶数令令，则有则有由于由于N为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法27因此因此式中式中:当当=0,2时，时，且且对对=0,2呈呈奇奇对对称称，因因此此H()在在=0,2处处为为零零，即即H(z)在在z=1处处有有一一个个零零点点，且且H()对对=0,2也呈奇对称。也呈奇
15、对称。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法28当当=时，时，或或1，则，则对对=呈偶对称，幅度函数呈偶对称，幅度函数H()对于对于=也呈偶对称。也呈偶对称。上述四种线性相位上述四种线性相位FIR滤波器的特性示于滤波器的特性示于表表7-1中。中。如果数字滤波器在如果数字滤波器在=0,2处不为零，例如低通滤波器、处不为零，例如低通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法29表表7-1四种线性相位四种线性相位FIR滤波器特性滤波器特性第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法30表表
16、7-1四种线性相位四种线性相位FIR滤波器特性滤波器特性第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法31三、线性相位三、线性相位FIR滤波器的零点位置滤波器的零点位置线性相位线性相位FIR滤波器的系统函数为：滤波器的系统函数为：H(z)=z-(N-1)H(z-1)因此，若因此，若z=zi是是H(z)的零点，即的零点，即H(zi)=0，则则z=1/zi=zi-1也一定是也一定是H(z)的零点，的零点，(H(zi-1)=zi(N-1)H(zi)=0）当当h(n)是实数时，是实数时，H(z)的零点必成共轭对出现，的零点必成共轭对出现，所以所以z=zi*及及z=(z*i)-1也一定是也一定是H(z
17、)的零点，的零点，因而因而线性相位线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。这种互为倒数的共轭对有四种可能性：这种互为倒数的共轭对有四种可能性：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法32图图7-5线性相位线性相位FIR滤波器的零点位置图滤波器的零点位置图第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法33由幅度响应的讨论可知，由幅度响应的讨论可知，第二种类型的线性相位滤波器第二种类型的线性相位滤波器H()=0，因此必然有单根因此必然有单根z=-1。第四种类型的线性相位滤波器第四种类型的线性相位滤波器H(0)=0,因此必然有单根因此必然有单根z=
18、1。第三种类型的线性相位滤波器第三种类型的线性相位滤波器H(0)=H(）=0，因此必然有两种单根因此必然有两种单根z=1。了了解解了了线线性性相相位位FIR滤滤波波器器的的特特点点，便便可可根根据据实实际际需需要要选选择择合合适适类类型型的的FIR滤滤波波器器，同同时时设设计计时时需需遵遵循循有有关关的的约约束束条条件件。下下面面讨讨论论线线性性相相位位FIR滤滤波波器器的的设设计计方方法法时时，都都要要用用到这些特点。到这些特点。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法34去逼近去逼近,如果希望得到的滤波器的理想频率响应为如果希望得到的滤波器的理想频率响应为:窗口设计法（时域逼近）窗
19、口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近）频率采样法（频域逼近）最优化设计（等波纹逼近）最优化设计（等波纹逼近）那么那么FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数滤波器的设计就在于寻找一个传递函数逼近方法有三种：逼近方法有三种：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法357.3用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器一、设计方法一、设计方法窗窗函函数数法法是是设设计计FIR数数字字滤滤波波器器最最简简单单的的方方法法。这这种种方方法法一一般般是是先先给给定定所所要要求求的的理理想想滤滤波波器器的的频频率率响响应应，要要求求设设计计一一个个FIR滤波器频率响应滤波器频率响应,去去逼逼
20、近近理理想想的的频频率率响响应应 。因此，必须首先由理想频率响应因此，必须首先由理想频率响应 的傅里叶反变换推导出对的傅里叶反变换推导出对应的单位抽样响应应的单位抽样响应:窗函数法设计窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的数字滤波器是在时域进行的,从单位抽从单位抽样响应序列着手，使样响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位抽样响应序列逼近理想的单位抽样响应序列hd(n)。（7-36）第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法36由由于于许许多多理理想想化化的的系系统统均均用用分分段段恒恒定定的的或或分分段段函函数数表表示示的的频频率率响响应应来来定定义义，因因此此hd(n)一一定定是是
21、无无限限长长的的序序列列，且且是是非非因因果果的的。而而我我们们要要设设计计的的是是FIR滤滤波波器器，其其h(n)必必定定是是有有限限长长的的，所所以以要要用用有有限限长长的的h(n)来来逼逼近近无无限限长长的的hd(n)，最最简简单单且最有效的方法是截断且最有效的方法是截断hd(n)0nN-1其他其他第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法37式中如果采用简单截取，则窗函数为矩形窗。式中如果采用简单截取，则窗函数为矩形窗。0nN-1 其他 矩形窗矩形窗 通通常常，我我们们可可以以把把h(n)表表示示为为所所需需单单位位抽抽样样响响应应与与一一个个有有限限长长的的窗口函数序列窗口函数
22、序列w(n)的乘积，即的乘积，即h(n)=hd(n)w(n)的波形如下图所示：的波形如下图所示：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法38相应的单位抽样响应为：相应的单位抽样响应为：hd(n)是一个中心点在是一个中心点在的偶对称、无限长、非因果序列，的偶对称、无限长、非因果序列，为为了了构构造造一一个个长长度度为为N的的线线性性相相位位滤滤波波器器，只只有有将将hd(n)截截取取一一段段，并并保保证证截截取取的的一一段段对对(N-1)/2对对称称，故故中中心心点点a必必须取须取a=(N-1)/2。|c c2/2/N N，H H(0)(0)实际上近似等于实际上近似等于W WR R()的
23、全部积分（的全部积分（=-=-到到=+=+）面积。）面积。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法46（2）=c时的响应时的响应H(c)，Hd()刚好与刚好与WR(-)的一半重叠，的一半重叠，如图如图(c)。因此卷积值刚好是。因此卷积值刚好是H(0)的一半，即的一半，即H(c)/H(0)=1/2，如图（如图（f）。）。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法47(4)当当 时，时，主瓣全部在通带外都在主瓣全部在通带外都在Hd()的的通带（通带（|c）之外，而通带内的旁瓣负的面积大于正）之外，而通带内的旁瓣负的面积大于正的面积，因而卷积结果达到最负值，频响出现负肩峰。的面积，因而
24、卷积结果达到最负值，频响出现负肩峰。(3)当当时，时，的主瓣全部在的主瓣全部在的通带内，这的通带内，这时应出现正的肩峰。时应出现正的肩峰。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法48(6)当当时，时，的右边旁瓣将进入的右边旁瓣将进入的通的通带，右边旁瓣的起伏造成带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值围绕值而波动。值而波动。(5)当当时，随时，随增加，增加，左边旁瓣的左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积起伏部分扫过通带，卷积也随着也随着的旁瓣在通的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故带内的面积变化而变化，故将围绕着零值而波动。将围绕着零值而波动。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法49综综上
25、上所所述述，加加窗窗函函数数处处理理后后，对对理理想想频频率率响响应应产产生生以以下下几几点影响：点影响：（1）H()将将Hd()在在截截止止频频率率处处的的间间断断点点变变成成了了连连续续曲曲线线，使使理理想想频频率率特特性性不不连连续续点点处处边边沿沿加加宽宽，形形成成一一个个过过渡渡带带，过过渡渡带带的的宽宽度度等等于于窗窗的的频频率率响响应应WR()的的主主瓣瓣宽宽度度=4/N，即即正正肩肩峰峰与与负负肩肩峰峰的的间间隔隔为为4/N。窗窗函函数数的的主主瓣瓣越越宽宽，过过渡渡带带也也越越宽。宽。（2）在在截截止止频频率率c的的两两边边即即=c(2/N)的的地地方方，H()出出现现最最大
26、大的的肩肩峰峰值值，肩肩峰峰的的两两侧侧形形成成起起伏伏振振荡荡，其其振振荡荡幅幅度度取取决决于旁瓣的相对幅度，而于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法50（3）改改变变N，只只能能改改变变窗窗谱谱函函数数的的主主瓣瓣宽宽度度，改改变变的的坐坐标标比例以及改变比例以及改变WR()的绝对值大小。例如，在矩形窗情况下，的绝对值大小。例如，在矩形窗情况下，式中，式中，x=N/2。当当截截取取长长度度N增增加加时时，只只会会减减小小过过渡渡带带宽宽度度（4/N），但但不不能能改改变变主主瓣瓣与与旁旁瓣瓣幅幅值值
27、的的相相对对比比例例;同同样样，也也不不会会改改变变肩肩峰峰的的相相对对值值。这这个个相相对对比比例例是是由由窗窗函函数数形形状状决决定定的的，与与N无无关关。换换句句话话说说，增增加加截截取取窗窗函函数数的的长长度度N只只能能相相应应的的减减少少过过渡渡带带，而而不不能能改改变肩峰值。变肩峰值。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法51由由于于肩肩峰峰值值的的大大小小直直接接影影响响通通带带特特性性和和阻阻带带衰衰减减，所所以以对对滤滤波波器器的的性性能能影影响响较较大大。例例如如,在在矩矩形形窗窗情情况况下下，最最大大相相对对肩肩峰峰值值为为8.95%，N增增加加时时，2/N减减
28、小小，起起伏伏振振荡荡变变密密，最最大大相相对肩峰值则总是对肩峰值则总是8.95%，这种现象称为，这种现象称为吉布斯效应吉布斯效应。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法52二、二、各种窗函数各种窗函数矩矩形形窗窗截截断断造造成成的的肩肩峰峰值值为为8.95%，则则阻阻带带最最小小衰衰减减为为20lg(8.95%)=-21dB,这这个个衰衰减减量量在在工工程程上上常常常常是是不不够够大大的的。为为了了加加大大阻阻带带衰衰减减，只只能能改改变变窗窗函函数数的的形形状状。只只有有当当窗窗谱谱逼逼近近冲冲激激函函数数时时，也也就就是是绝绝大大部部分分能能量量集集中中于于频频谱谱中中点点时时
29、，H()才才会会逼逼近近Hd()。这这相相当当于于窗窗的的宽宽度度为为无无限限长长，等等于于不不加加窗窗口口截截断断，这这没没有实际意义。有实际意义。从从以以上上讨讨论论中中看看出出，窗窗函函数数序序列列的的形形状状及及长长度度的的选选择择很很关关键键，一般希望窗函数满足两项要求：一般希望窗函数满足两项要求：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法53（1）窗谱主瓣尽可能地窄，以获取较陡的过渡带。）窗谱主瓣尽可能地窄，以获取较陡的过渡带。（2）尽尽量量减减少少窗窗谱谱的的最最大大旁旁瓣瓣的的相相对对幅幅度度。也也就就是是能能量量尽尽量量集中于主瓣，集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，就可
30、增大阻带的衰减。这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。但但是是这这两两项项要要求求是是不不能能同同时时都都满满足足的的。当当选选用用主主瓣瓣宽宽度度较较窄窄时时，虽虽然然得得到到较较陡陡的的过过渡渡带带，但但通通带带和和阻阻带带的的波波动动明明显显增增加加；当当选选用用最最小小的的旁旁瓣瓣幅幅度度时时，虽虽能能得得到到平平坦坦的的幅幅度度响响应应和和较较小小的的阻阻带带波波纹纹，但但过过渡渡带带加加宽宽，也也即即主主瓣瓣会会加加宽宽。因因此此,实实际际所所选选用用的的窗窗函函数数往往往往是是它它们们的的折折衷衷。在在保保证证主主瓣瓣宽宽度度达达到到一一定定要要求求的的前前提提下，下，适当牺
31、牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制适当牺牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制。以以上上是是从从幅幅频频特特性性的的改改善善对对窗窗函函数数提提出出的的要要求求。实实际际上上设设计计的的FIR滤波器往往要求具有线性相位滤波器往往要求具有线性相位:第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法54因因此此，除除了了要要求求hd(n)满满足足线线性性相相位位条条件件外外，对对w(n)也也要要求求长长度度N有限，且以有限，且以(N-1)/2为其对称中心，即为其对称中心，即综上所述，窗函数不仅起截断作用，还能起平滑作用，在很多领综上所述，窗函数不仅起截断作用，还能起平滑作用，在很多领域都得到广泛应用。因此域都得
32、到广泛应用。因此,设计一个特性良好的窗函数有着重要设计一个特性良好的窗函数有着重要的实际意义。的实际意义。设计设计FIR滤波器常用的窗函数有：滤波器常用的窗函数有：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法551.矩形窗矩形窗0nN-1其他其他第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法562.三角形（三角形（Bartlett）窗）窗w(n)的傅里叶变换为的傅里叶变换为近近似似结结果果在在N1时时成成立立。此此时时，主主瓣瓣宽宽度度为为8/N,比比矩矩形形窗窗主主瓣宽度增加一倍瓣宽度增加一倍，但旁瓣却小很多。但旁瓣却小很多。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法573.汉宁
33、（汉宁（Hanning）窗）窗汉宁窗又称升余弦窗。汉宁窗又称升余弦窗。利用傅里叶变换特性，可得利用傅里叶变换特性，可得第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法58当当N1时，时，N-1N,所以窗函数的幅频函数为所以窗函数的幅频函数为这这三三部部分分之之和和，使使旁旁瓣瓣互互相相抵抵消消，能能量量更更集集中中在在主主瓣瓣，但但是代价是是代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，即为即为8/N。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法594.海明（海明（Hamming）窗）窗海明窗又称改进的升余弦窗。海明窗又称改进的升余弦窗。把升余弦窗加以改进，
34、把升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式为窗形式为w(n)的频率响应的幅度特性为的频率响应的幅度特性为与与汉汉宁宁窗窗相相比比，主主瓣瓣宽宽度度相相同同，为为8/N，但但旁旁瓣瓣又又被被进进一一步步压低，压低，结果可将结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内。的能量集中在窗谱的主瓣内。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法605.布拉克曼（布拉克曼（Blackman）窗）窗布拉克曼窗又称二阶升余弦窗。布拉克曼窗又称二阶升余弦窗。为为了了进进一一步步抑抑制制旁旁瓣瓣，对对升升余余弦弦窗窗函函数数再再加加上上一一个个二二次次谐谐波的余弦分量，波的余
35、弦分量，变成布拉克曼窗，故又称二阶升余弦窗。变成布拉克曼窗，故又称二阶升余弦窗。w(n)的频率响应的幅度特性为的频率响应的幅度特性为主瓣宽度是矩形窗的主瓣宽度的主瓣宽度是矩形窗的主瓣宽度的3 3倍（倍（1212/N/N）第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法61图图7-10五种常用的窗函数五种常用的窗函数第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法62图图7-11图图7-10的各种窗函数的傅里叶变换（的各种窗函数的傅里叶变换（N=51），），A=20lg|W()/W(0)|(a)矩形窗矩形窗;(b)巴特利特窗（三角形窗）巴特利特窗（三角形窗）;(c)汉宁窗汉宁窗;(d)海明窗海明
36、窗;(e)布拉克曼窗布拉克曼窗第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法63图图7-12理想低通滤波器加窗后的幅度响应（理想低通滤波器加窗后的幅度响应（N=51）,A=20lg|H()/H(0)|(a)矩形窗矩形窗;(b)巴特利特窗（三角形窗）巴特利特窗（三角形窗）;(c)汉宁窗汉宁窗;(d)海明窗海明窗;(e)布拉克曼窗布拉克曼窗第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法646.凯塞（凯塞（Kaiser）窗）窗这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为0nN-1式式中中，I0(x)是是第第一一类类变变形形零零阶阶贝贝塞塞尔尔函函数数，是是
37、一一个个可可自自由由选选择择的参数。的参数。图图7-13 7-13 凯塞窗函数凯塞窗函数 第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法65表表7-2凯塞窗的性能凯塞窗的性能第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法66表表7-3 7-3 六种窗函数基本参数的比较六种窗函数基本参数的比较窗函数窗函数窗谱性能指标窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值旁瓣峰值/dB/dB主瓣宽度主瓣宽度/2/N/2/N过渡带宽过渡带宽/2/N/2/N阻带最小衰减阻带最小衰减/dB/dB矩形窗矩形窗巴特列特巴特列特汉宁窗汉宁窗海明窗海明窗布拉克曼窗布拉克曼窗凯泽窗凯泽窗（=7.865=
38、7.865）-13-13-25-25-31-31-41-41-57-572 24 44 44 46 60.90.92.12.13.13.13.33.35.55.55 5-21-21-25-25-44-44-53-53-74-74-80-80*最小阻带衰减只由窗形状决定，不受窗宽最小阻带衰减只由窗形状决定，不受窗宽N N的影响；的影响；而过渡带的宽度既和窗形状有关，且随窗宽而过渡带的宽度既和窗形状有关，且随窗宽N N的增加而减小的增加而减小。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法67下面将下面将窗函数法的设计步骤窗函数法的设计步骤归纳如下：归纳如下：（1）给定希望逼近的频率响应函数给定
39、希望逼近的频率响应函数Hd(ej)。（2）利用利用式（式（7-36）求单位抽样响应求单位抽样响应hd(n)=IDTFTHd(ej)。如如果果Hd(ej)很很复复杂杂或或不不能能直直接接计计算算积积分分，则则必必须须用用求求和和代代替替积积分分，以以便便在在计计算算机机上上计计算算，也也就就是是要要计计算算离离散散傅傅里里叶叶反反变变换换，一一般般都都采采用用FFT来来计计算算。将将积积分分限限分分成成M段段，也也就就是是令令采采样样频频率率为为k=2k/M，k=0,1,2,M-1，则有，则有第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法68频域的采样，造成时域序列的周期延拓，延拓周期是频域的
40、采样，造成时域序列的周期延拓，延拓周期是M，即即由由于于hd(n)有有可可能能是是无无限限长长的的序序列列，因因此此严严格格说说，必必须须当当M时，时，h(n)才能等于才能等于 hd(n)而不产生混叠现象，即而不产生混叠现象，即 。实实际际上上，由由于于hd(n)随随n的的增增加加衰衰减减很很快快，一一般般只只要要M足足够够大大，即即MN，近似就足够了。，近似就足够了。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法69（3）由由阻阻带带最最小小衰衰减减及及过过渡渡带带宽宽的的要要求求，可可选选定定窗窗形形状状，并并估估计计窗窗口口长长度度N。设设待待求求滤滤波波器器的的过过渡渡带带用用表表示
41、示，它它近近似似等等于于窗窗函函数数主主瓣瓣宽宽度度。因因过过渡渡带带近近似似与与窗窗口口长长度度成成反反比比，NA/，A决决定定于于窗窗口口形形式式。例例如如，矩矩形形窗窗A=4，海海明明窗窗A=8等等，A参参数数选选择择参参考考表表7-3。按按照照过过渡渡带带及及阻阻带带衰衰减减情情况况，选选择择窗窗函函数数形形式式。原原则则是是在在保保证证阻阻带带衰衰减减满满足足要要求求的的情情况况下下，尽尽量量选选择择主主瓣瓣窄窄的的窗窗函数。函数。（4）求得所设计的求得所设计的FIR滤波器的单位抽样响应滤波器的单位抽样响应。h(n)=hd(n)w(n)0nN-1第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器
42、的设计方法70（5）由）由h(n)求求FIR滤波器的系统函数滤波器的系统函数H(z)或或H(ej)=DTFTh(n)检查是否满足设计要求。检查是否满足设计要求。通通常常整整个个设设计计过过程程可可利利用用计计算算机机编编程程来来实实现现，可可多多选选择择几几种窗函数来试探，从而设计出性能良好的种窗函数来试探，从而设计出性能良好的FIR滤波器。滤波器。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法71【例例7-1】根据下列技术指标，设计一个线性相位根据下列技术指标，设计一个线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。抽样频率为抽样频率为s=2*1.5*104(rad/sec)通带截止频率为通带截止频
43、率为p=2*1.5*103(rad/sec)阻带起始频率为阻带起始频率为st=2*3*103(rad/sec)阻带衰减不小于阻带衰减不小于50dB。解解:(1)求对应的数字频率求对应的数字频率通带截止频率：通带截止频率：p=pT=p/fs=2p/s=0.2阻带截止频率：阻带截止频率：st=stT=st/fs=2st/s=0.4阻带最小衰减：阻带最小衰减：2 2=50dB=50dB第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法72(2)求求hd(n)。设设Hd(ejw)为理想线性相位低通滤波器为理想线性相位低通滤波器|c c|理想低通滤波器通带截止频率为理想低通滤波器通带截止频率为:由由式（式
44、（7-39）可知，理想低通滤波器的单位抽样响应为可知，理想低通滤波器的单位抽样响应为线性相位要求：线性相位要求：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法73(3)求窗函数。求窗函数。由阻带最小衰减由阻带最小衰减2确定窗形状，由过渡带确定窗形状，由过渡带宽度确定宽度确定N。2=50dB海明窗海明窗过渡带宽度为：过渡带宽度为：由于海明窗过渡带宽度满足：由于海明窗过渡带宽度满足：所以所以第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法74(4)求求h(n)。海明窗为海明窗为则所设计的滤波器的单位抽样响应为则所设计的滤波器的单位抽样响应为第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法75所设
45、计的滤波器的频率响应为所设计的滤波器的频率响应为设计结果如设计结果如P345.图图7-15所示，满足要求所示，满足要求。（5）由）由h(n)求求FIR滤波器的滤波器的H(ej)=DTFTh(n)。检查是检查是否满足设计要求。否满足设计要求。如如不不满满足足要要求求，则则要要改改变变N，或或改改变变窗窗形形状状，或或两两者者都都改变，然后重新计算改变，然后重新计算。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法76窗窗口口法法设设计计的的主主要要优优点点是是简简单单，使使用用方方便便。窗窗口口函函数数大大多多有有封封闭闭的的公公式式可可循循，性性能能、参参数数都都已已有有表表格格、资资料料可可
46、供供参参考考，计计算算程程序序简简便便，所所以以很很实实用用。缺缺点点是是通通带带和和阻阻带带的的截截止止频频率率不不易控制。易控制。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法77 工工程程上上，常常给给定定频频域域上上的的技技术术指指标标，所所以以采采用用频频域域设设计计更直接。更直接。基本思想基本思想使使所所设设计计的的FIR数数字字滤滤波波器器的的频频率率特特性性在在某某些些离离散散频频率率点点上上的的值值准准确确地地等等于于所所需需（理理想想）滤滤波波器器在在这这些些频频率率点点处处的的值，在其它频率处的特性则要有较好的逼近。值，在其它频率处的特性则要有较好的逼近。内插公式内插公
47、式7.4频率采样设计法频率采样设计法确定确定内插函数内插函数:第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法78图图 7-16 7-16 频率采样的响应频率采样的响应 在各频率采样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想在各频率采样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等的。但是在采样点之间的频响则是由各采频率响应数值相等的。但是在采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的样点的加权内插函数的延伸叠加而成的,因而有一定的逼近因而有一定的逼近误差，误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状。误差大小取决于理想频率响应曲线形状。第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波
48、器的设计方法79一、一、线性相位的约束线性相位的约束 设设计计线线性性相相位位的的FIR滤滤波波器器，则则其其采采样样值值H(k)的的幅幅度度和和相相位位一一定定要要满满足足前前面面所所讨讨论论的的四四类类线线性性相相位位滤滤波波器器的的约约束束条件。条件。（1）对对于于第第一一类类线线性性相相位位滤滤波波器器，即即h(n)偶偶对对称称，长长度度N为奇数时，为奇数时，（7-91）第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法80第一类线性相位滤波器幅度函数第一类线性相位滤波器幅度函数H()关于关于=0,2为偶对为偶对称，即称，即如如果果采采样样值值H(k)=H(ej2k/N)也也用用幅幅值值
49、Hk（纯纯标标量量）与与相相角角k表表示，示，即即并在并在=02之间等间隔采样之间等间隔采样N点点k=0,1,2,N-1（7-92）第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法81由由式（式（7-91）可知，必须有：可知，必须有：由式（由式（7-92）可知，）可知，Hk满足偶对称要求：满足偶对称要求：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法82（2）对对于于第第二二类类线线性性相相位位FIR滤滤波波器器，即即h(n)偶偶对对称称，N为为偶数，偶数，则其则其H(ej)的表达式仍为的表达式仍为:其其幅幅度度函函数数H()关关于于=是是奇奇对对称称的的，关关于于=0,2为为偶偶对称，对称
50、，H()=-H(2-)Hk也应满足奇对称要求：也应满足奇对称要求：Hk=-HN-k第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法83（3）对对于于第第三三类类线线性性相相位位FIR滤滤波波器器，即即h(n)奇奇对对称称，N为为奇数时，奇数时，H(ej)=H()ej()式中：式中：第三类线性相位滤波器幅度函数第三类线性相位滤波器幅度函数H()关于关于=0,2为奇对为奇对称，即称，即这样有：这样有：第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法84（4）对对于于第第四四类类线线性性相相位位FIR滤滤波波器器，即即h(n)奇奇对对称称，N为为偶数，偶数，则其则其H(ej)的表达式仍为的表达式仍为