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1、第三章 行列式第1页，本讲稿共33页设关于 x1,x2 的二元一次方程组为(1.1)其中 a11,a12,a21,a22,b1,b2 均为已知参数.用中学的消元法解此方程组.(1.2)将它代入第一个方程并化简,得(1.3)式(1.2)和(1.3)给出了两个变量两个方程的方程组(1.1)的求解公式 (当 a11 a22 a12 a21 0时).下面介绍一种更简单的记法表示求解公 式(1.2),(1.3).一、二元一次方程组的求解公式一、二元一次方程组的求解公式第2页，本讲稿共33页二、二阶行列式的概念二、二阶行列式的概念定义定义1 1二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式主对角线副对角线其其中
2、中横横排排称称为为行行行行,竖竖排排称称为为列列列列.数数 aij(i,j=1,2)表表示示第第 i 行行第第 j 列列的的元素元素.在方程组中,若令第3页，本讲稿共33页公式(1.4)与公式(1.2)及(1.3)表示的是同一式子,但显然公式(1.4)简单易记得多.1其中 D 称为系数行列式系数行列式,则当系数行列式 D 0 时,上述方程组的解可简记为(1.4)公式(1.4)称为解两个方程两个未知量的二元一次方程组的克莱姆克莱姆克莱姆克莱姆(Cramer)(Cramer)(Cramer)(Cramer)法则法则法则法则.例设2x1+3x2=5,3x1+x2=3,解此方程组.1例1解解解解=2+
3、9=11 0,=4,在 1 中我们利用二阶行列式已得到了二元一次方程组的求解公式.但实际问题中,往往要解多个变量的一次方程组(称为线性方程组),其中最简单、最重要的是未知量的个数与方程的个数相同的线性方程组.因此有必要引入高阶行列式的概念.第4页，本讲稿共33页一、排列的概念一、排列的概念定义定义2 2将将前前 n 个个自自然然数数 1,2,n 按按照照某某一一顺顺序序排排成成一一行行,就就称称为为一一个个 n n n n 级级级级排排排排列列列列.其其中中若若某某两两数数之之间间大大数数在在前前而而小小数数在在后后,则则称称它它们们构构成成一一个个逆序逆序逆序逆序.一个排列中所有逆序数的总数
4、称为该一个排列中所有逆序数的总数称为该排列的逆序数排列的逆序数排列的逆序数排列的逆序数.为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质,先引 入排列和逆序数的概念.n 级排列(i1 i2in)的逆序数记为(i i1 1i i2 2i in n),简记为.例如,四级排列 2314 中,2与1,3 与 1 构成逆序,故(2314)=2;再如六级排列 243516 中,2 与 1,4 与 1,3 与 1,5与 1,4 与 3 均构成逆序,故(243516)=5.第5页，本讲稿共33页奇偶排列：有偶数个反序的排列叫做一个偶排列偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列奇排列。如四级排列 2314 是偶排列，而六级
5、排列 243516 为奇排列.对换：将一个排列中两个位置上的数互换而其余不动,则称对该排列作了一次对换对换.如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对换而得,而(21534)=3,(31524)=4,即经过对换后排列的奇偶性改变了.第6页，本讲稿共33页定理定理2 2 每一次对换改变排列的奇偶性每一次对换改变排列的奇偶性.证证证证由上述定理可知,在 n 级排列中,奇偶排列各占一半,即各有(n!/2)个.第7页，本讲稿共33页 先考察相邻两个数字的对换.设排列(“”表不动的数字)经 j,k 的对换 k j 显然这时排列中除 j 与 k 两数顺序改变外,其它任意两数的顺序并没有变
6、,而 j 与 k 之间,若 j k,则经对换后成自然顺序而使排列的逆序数减少 1,总之，排列的奇偶性改变了.j k 变成排列 再看一般情形的对换.设排列 j i1 i2 im k 经 j 与 k 对换变成排列 k i1 i2 im j 这可看作是通过一系列相邻对换得到的.从排列 j i1 i2 im k 出发把 k 与 im 对换,再与 im1 对换,一位位地向左移动,经 m 次相邻对换就变成了排列 j k i1 i2 im ,再把 j 一位一位地右移,经 m+1 次相邻对换就变成 k i1 i2 im j ,总共经过 2m+1(奇数)次对换.排列的奇偶性也改变了.证证证证第8页，本讲稿共33
7、页一、三阶行列式一、三阶行列式定义定义1 1三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式其中其中 aij(i,j=1,2,3)表示第表示第 i 行第行第 j 列上的元素列上的元素.三阶行列式的计算可如下图:+第9页，本讲稿共33页例如求三阶行列式解解解解原式=32+4+0 12 (16)0=32+4 12+16=40.以后我们将证明三元一次方程组的解将与它的系数行列式密切相关.第10页，本讲稿共33页三、三、n 阶行列式的定义阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式(123)=0(312)=2(231)=2(321)=3(132)=1(213)=1 中共 3!=6 项,其中一半带正
8、号,一半带负号.三阶行列式可记为第11页，本讲稿共33页其中 是对所有三级排列(j1 j2 j3)求和.同样,二阶行列式其中 是对所有二级排列(j1 j2)求和.仿此,可得定义定义3 3n n n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式其中其中 是对所有是对所有 n 级排列级排列(j1 j2jn)求和求和,而而 aij 仍称为第仍称为第 i 行第行第 j 列的元素列的元素.第12页，本讲稿共33页由定义3 可知,n 阶行列式是所有不在同一行也不在同一列的 n 个元素乘积的代数和,且共有 n!项,其中一半带正号,一半带负号.例2在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41a55 的前面应取什
9、么符号?解解解解由于(3 4 2 1 5)=5,列下标为奇排列 ,故 a13 a24 a32 a41 a55 前应带负号.例3计算下列 n 阶行列式第13页，本讲稿共33页解解解解 由定义，D1 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，除了 a11 a22 ann 外，其余全为 0，而 a11 a22 ann 的 列下标的排列为 (12 n),(1 2 n)=0,故D1=(1)0 a11 a22 ann.作为例 3 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列式)第14页，本讲稿共33页例4 计算 n 阶行列式解解解解取 D2 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积,除 a1n a2
10、,n-1 an1 外,其余全为 0,而 a1n a2,n-1 an1 的列下标的排列为(n,n1,1),故第15页，本讲稿共33页一、行列式按行一、行列式按行(列列)展开展开计算行列式时,除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,为此引入余子式和代数余子式的概念.定义定义1 1在在 n 阶阶行行列列式式中中,去去掉掉 aij(i,j=1,2,n)所所在在的的行行与与所所在在列列后后剩剩下下的的 n 1 阶阶行行列列式式称称为为元元素素 aij 的的余余余余子子子子式式式式,记记为为 Mij.余余子子式式 Mij 带带上上符符号号(1
11、)i+j 则则称称为为元元素素 aij 的的代代数数余余子子式式,记记为为 Aij,即即 Aij=(1)i+j Mij .如三阶行列式中,元素 a11=1的余子式和代数余子式分别为。第16页，本讲稿共33页元素 a12=2 的余子式和代数余子式分别为而元素 a13=3 的余子式和代数余子式分别为Laplace 展开定理又称为行行列列式式按按行行(列列)展展开开的的法法则则.利用这一法则并结合行列式的性质,可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算,从而简化计算.第17页，本讲稿共33页例4用 Laplace 展开定理解例 1.解解解解c12c3c4+c3通过直接计算可知第18页，本讲稿共33页而
12、两者相等,这个现象不是偶然的.事实上,有定理定理1 1(Laplace 展开定理展开定理)行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其对应的的各元素与其对应的代数余子式乘积之和代数余子式乘积之和.即即D=或或D=第19页，本讲稿共33页证证证证先证明等式(5.1)为此考虑特殊情形(5.2)将上式左端表为(5.3)第20页，本讲稿共33页就是对 n1 级排列是 j1 j2 jn1 求和,且显然 (j1 j2 jn1 n)=(j1 j2 jn1),故(5.3)式即为其中只有 jn=n 时,才不会为零,这时和式对所有 n 级排列,j1 j2 jn1 n 求和这就是(5.2)式.接下来
13、将(5.1)式左端的行列式的第 i 行依次与其下面相邻的行对换,经 n i 次对换后换到第 n 行,然后再将第 j 列依次与其右边相邻的列对换,经 n j 次对换后换到第 n 列,这时 aij 换到右下角的位置,由性质 2,式(5.1)左端的行列式等于第21页，本讲稿共33页由于经上述行列互换，除第 i 行与第 j 列元素外，其它各行各列元素相对位置都没有改变，故上面行列式左上角的 n 1 阶行列式即为 aij 的余子式 Mij,由(5.2)式得(5.1)式左端的行列式为于是(5.1)式得证.下面证明定理.先把 D 写成如下形式,并利用行列式性质 5 及(5.1)式有第22页，本讲稿共33页
14、类似地按列证明便得第23页，本讲稿共33页例5计算 n 阶行列式将其直接按第一列展开,得解解解解第24页，本讲稿共33页例6计算 n 阶行列式解解解解(i 2)第25页，本讲稿共33页例7证明范德蒙范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式其中 n 2,称为连乘号,这里表示所有可能的 xi xj (1 j i n)的乘积.假设对于 n 1 阶范德蒙行列式结论正确,现在来证 n 阶的情形.设法将 Dn 降阶,为此,从第 n 行开始,下面一行减去上面一行的 x1 倍,得证证证证第26页，本讲稿共33页上式右端的行列式为 n 1 阶范德蒙行列式,于是由归纳假设有第27页，
15、本讲稿共33页定理定理2 2关于代数余子式,还有下列定理行行列列式式的的任任一一行行(列列)的的所所有有元元素素与与另另一一行行(列列)的的对对应应元元素素的的代代数数余余子子式式乘乘积积之之和和等等于于零零.或或即即(i j)第28页，本讲稿共33页有了 n 阶行列式 概念后，可以把解二元一次方程组的克莱姆法则加以推广。定理定理1 1(克莱姆法则克莱姆法则克莱姆法则克莱姆法则)设设 n 个变量个变量 n 个方程的线性方程组为个方程的线性方程组为(4.1)如果系数行列式第29页，本讲稿共33页则方程组(4.1)有唯一解,且解可表示为其中 Di (i=1,2,n)是用常数项 b1,b2,bn 代
16、替 D 中第 i 列各元素而得到的 n 阶行列式,即(i=1,2,n).第30页，本讲稿共33页例1求解线性方程组解解解解第31页，本讲稿共33页故 在方程组(4.1)中,若 b1=b2=bn=0,即(4.2)第32页，本讲稿共33页则称之为齐次线性方程组齐次线性方程组，而(4.1)称为非齐次的线性方程组非齐次的线性方程组.显然 x1=x2=xn =0 是(4.2)的解(零解).关于齐次方程组(4.2)还有下列结论：结论结论1.1.若系数行列式若系数行列式 D 0，则它只有零解，则它只有零解.结论结论2.2.若齐次方程组有非零解，则必有系数行列式若齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D =0.第33页，本讲稿共33页