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1、线线线线 性性性性 代代代代 数数数数 参考书推荐参考书推荐线性代数及其应用线性代数及其应用 C.,线性代数实践及入门线性代数实践及入门陈怀琛陈怀琛,龚杰民龚杰民线性代数线性代数 J.参考书推荐参考书推荐线性代数线性代数同济大学数学系编同济大学数学系编 线性代数学习指导线性代数学习指导王萼芳编著王萼芳编著 线性代数辅导讲义线性代数辅导讲义李永乐李永乐线性代数线性代数第三章第三章 行列式（）行列式（）3.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 3.2 n阶排列阶排列 3.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义 3.4 行列式的性质与计算行列式的性质与计算 3.5 行列式按一行（列）展开公式行列式按一行
2、（列）展开公式 3.7 克拉默（）法则克拉默（）法则3.4 n3.4 n阶行列式阶行列式 的性质与计算的性质与计算性质性质1：行列式与它的转置相等。（：行列式与它的转置相等。（）性质1的意义：关于行列式行的性质，对列也成立，因此在后续关于行列式性质的证明中，仅对行进行。=3.4 n3.4 n阶行列式的性质与计算阶行列式的性质与计算性质性质2：行列式某一行（列）有公因数可以提到行列式的外面。：行列式某一行（列）有公因数可以提到行列式的外面。证明：推论推论1：若行列式中有一行元素全为：若行列式中有一行元素全为0，则行列式值为，则行列式值为0。3.4 n3.4 n阶行列式阶行列式 的性质与计算的性质
3、与计算性质性质3：互换行列式两行（列），行列式变号。互换行列式两行（列），行列式变号。证明：推论推论2：行列式中有两行（列）元素完全相同，行列式值为：行列式中有两行（列）元素完全相同，行列式值为0。推论推论3：行列式中有两行（列）元素对应成比例，行列式值为：行列式中有两行（列）元素对应成比例，行列式值为0。=-3.4 n3.4 n阶行列式阶行列式 的性质与计算的性质与计算性质性质4：行列式具有分行（列）可加性，即：行列式具有分行（列）可加性，即证明：3.4 n3.4 n阶行列式阶行列式 的性质与计算的性质与计算性质性质5：把行列式某行：把行列式某行(列列)的若干倍加于另一行的若干倍加于另一行(
4、列列)，行列式不变。，行列式不变。注意：可以运用此性质，将行列式化为上三角或下三角形行列式。3.4 n3.4 n阶行列式阶行列式 的性质与计算的性质与计算例1：练习1：例2：证明 例3：计算化成上三角形的化成上三角形的两种方法两种方法3.4 n3.4 n阶行列式阶行列式 的性质与计算的性质与计算例4：设 其中证明：线性代数线性代数第三章第三章 行列式（）行列式（）3.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 3.2 n阶排列阶排列 3.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义 3.4 行列式的性质与计算行列式的性质与计算 3.5 行列式按一行（列）展开公式行列式按一行（列）展开公式 3.7 克拉默（）法
5、则克拉默（）法则3.6 3.6 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开定义定义1（的余子式的余子式 ）：划去）：划去 所在的行和列留下的所在的行和列留下的n-1 阶行列式。阶行列式。定义定义2（的代数余子式的代数余子式 ）：）：定理定理1 1：行列式等于某一行（列）元素分别与其代数余子式：行列式等于某一行（列）元素分别与其代数余子式 乘积之和，即乘积之和，即定理定理2 2：行列式某一行（列）元素分别与另一行（列）的代：行列式某一行（列）元素分别与另一行（列）的代 数余子式乘积之和为数余子式乘积之和为0 0，即，即3.6 3.6 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开例例1：例例2：
6、例例3：例例4：例例5：（1）求）求 （2）求）求 线性代数线性代数第三章第三章 行列式（）行列式（）3.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 3.2 n阶排列阶排列 3.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义 3.4 行列式的性质与计算行列式的性质与计算 3.5 行列式按一行（列）展开公式行列式按一行（列）展开公式 3.7 克拉默（）法则克拉默（）法则3.7 3.7 克莱姆（）法则克莱姆（）法则 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 齐次线性方程组齐次线性方程组 3.7 3.7 克莱姆（）法则克莱姆（）法则定理定理1 1（法则）：当（法则）：当n n元线性方程组元线性方程组 的系数行列式的系数行列式
7、 时，这个方程组有唯一解，解为时，这个方程组有唯一解，解为 其中是用常数项代替系数行列式第其中是用常数项代替系数行列式第i列得到的行列式。列得到的行列式。3.7 3.7 克莱姆（）法则克莱姆（）法则注：注：（1）法则的局限性：）法则的局限性：p方程的个数与未知量个数相等；方程的个数与未知量个数相等；p方程组的系数行列式不为零方程组的系数行列式不为零（2）定定理理1的的逆逆否否命命题题是是：方方程程组组无无解解或或有有两两个个以以上上的的解解，则方程组的系数行列式则方程组的系数行列式0。3.7 3.7 克莱姆（）法则克莱姆（）法则定理定理2 2：当：当n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 时，这个方程组只有零解；换句话，时，这个方程组只有零解；换句话，如果上述齐次线性方程组有非零解，则如果上述齐次线性方程组有非零解，则