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1、1正弦定理、余弦定理及相关知识正弦定理、余弦定理及相关知识定理正弦定理余弦定理 内容 a2 ，b2 ，c2 b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosC第1页/共23页变形形式a ，b ，c ；sin A ，sin B ，sin C ；(其中R是ABC外接圆的半径)abc ；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A.cos A ；cos B ；cos C .2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC第2页/共23页解决解斜三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.
2、已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.在在ABC中中，已知已知a，b和和A时时，解的情况如下解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解第3页/共23页ABC中的常用结论A+B+C=A、B、C成等差数列的充要条件是B60；S=abABsin Asin B；【知识拓展知识拓展】第4页/共23页在ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充 要 条 件 是 cosA cosB0.简 证 如 下：C有 解(A B)有 解 0AB0ABcos(B)cos Acos Bcos Acos B
3、0.因此判断C是否有解，只需考虑cos Acos B的符号即可(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin .(3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边第5页/共23页1(苏苏州州市市高高三三教教学学调调研研考考试试)在ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2(bc)2bc，则A的大小等于_ 解析：解析：根据余弦定理得根据余弦定理得cos A ，A 答案：答案：2(2010东东台台中中学学高高三三诊诊断断)若ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、
4、c，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若mn，则C等于_ 答案：答案：60第6页/共23页3在ABC中，如果A60，c4，a2 ，则此三角形有_个解 解析：解析：A60，c4，a2 ，由正弦定理得：由正弦定理得：，即，即 sin C1.又又0C0)，利用余弦定理，有cos AA45.同理可得cos B ，B60.C180(AB)75.第11页/共23页这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断【例例2】在ABC中，如果lg alg clg sin Blg ，且B为锐角，试判断此三角形的形状思路点拨：思路点拨：先进行对数的运算，
5、再将边化角即可先进行对数的运算，再将边化角即可第12页/共23页解：解：由由lg alg clg sin Blg ，得得sin B ，又又B为锐角为锐角，B45.同时同时 ，.sin C2sin A2sin(135C)，即即sin Csin Ccos C，cos C0，所以所以C90.故此三角形为等腰直角三角形故此三角形为等腰直角三角形第13页/共23页变式变式2：在ABC中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么ABC的形状是_解析：解析：由由sin C2sin(BC)cos B，得，得sin C2sin Acos B.再结合正、余弦定理得：再结合正、余弦定理得：整理得整理得a2b2
6、，所以，所以ABC一定是等腰三角形也可由一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B，可得可得sin(AB)2sin Acos B，sin(AB)0，从而，从而AB.答案：答案：等腰三角形第14页/共23页1这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化2三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题第15页/共23页【例例3】在ABC中，证明：思思路路点点拨拨：等等式式左左边边有有边边也也有有角角，右右
7、边边只只有有边边，故故考考虑虑把把等等式式左边的角转化为边左边的角转化为边证明：证明：左边 右边故原命题得证【例例4】在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长已知a、b、c成等比数列，且a2c2acbc，求A的大小及 的值思思路路点点拨拨：把把已已知知条条件件a2c2acbc变变形形，构构造造余余弦弦定定理理结结构构求求出出A的值，然后再利用正弦定理变形求出的值，然后再利用正弦定理变形求出 的值的值第16页/共23页解：解：(1)a、b、c成等比数列成等比数列，b2ac，又又a2c2acbc，b2c2a2bc.在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得cos A ，A60.(2)在在AB
8、C中，由正弦定理中，由正弦定理sin B ，b2ac，A60，第17页/共23页变变式式3：(2010北北京京海海淀淀区区高高考考模模拟拟题题)在在ABC中中，a、b、c分分别别表表示示三三个个内内角角A、B、C的的对对边边如如果果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且且AB，求证求证：ABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：由已知得由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)利用两角和、差的三角函数公式可得利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B.由正弦定理得由正弦定理得asin Bbsin A，a
9、cos Abcos B.又由正弦定理得又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb，2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即即sin 2Asin 2B.AB，2A2B，AB .ABC是直角三角形是直角三角形第18页/共23页【规律方法总结规律方法总结】1根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；化边为角；(2)化角为边，并常用正弦化角为边，并常用正弦(余弦余弦)定理实施边、角转换定理实施边、角转换2用正弦用正弦(余弦余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角
10、形内角与应用向量的模求三角形边长等角与应用向量的模求三角形边长等3在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件挖掘隐含条件4注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用 第19页/共23页【高考真题高考真题】【例例5】(2009天津卷天津卷)在在ABC中中，BC ，AC3，sin C2sin A.(1)求求AB的值的值；(2)求求sin 的值的值分分析析：根根据据正正弦弦定定理理求求AB的的值值，根根据据余余弦弦定定理理求求出出A的的余余弦弦，根根据据倍倍角角公公式求
11、出式求出2A的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式求求sin 的值的值第20页/共23页解：解：由由 ，得得sin Aab，AB45，A为锐角或钝角为锐角或钝角，A60或或A120.当当A60时时，C180604575，c当当A120时时，C1801204515，c第21页/共23页2已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a，b为ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断ABC的形状 分分析析：要要判判断断三三角角形形的的形形状状，就就要要根根据据条条件件得得出出三三角角形形中中的的边边的的关关系系或或角角的的关系，由题意，先得到边角的关系式，然后再根据正、余弦定理来判断关系，由题意，先得到边角的关系式，然后再根据正、余弦定理来判断 解：解：设方程的两根为设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系，得由根与系数关系，得x1x2bcos A，x1x2acos B，由题意，得由题意，得bcos Aacos B，由正弦定理，由正弦定理，得得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，即即sin Bcos Asin Acos B0，即即sin(AB)0，在在ABC中中，A，B为其内角为其内角，AB，AB0，ABC为等腰三角形为等腰三角形第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页