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1、会计学1正余弦定理正余弦定理(y xin dn l)一一第一页，共18页。大边(d bin)对大角,大角对大边(d bin)任意三角形直角三角形C=901、角的关系:2、边的关系:3、边角关系:4、任意三角形的面积(min j)公式:任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边第1页/共18页第二页，共18页。初中学过锐角三角函数(hnsh)定义:sinA=,sinB=直角三角形C=90,sinC=1返 回第2页/共18页第三页，共18页。证明(zhngmng):(面积法)在任意ABC当中：两边同除以 即得：返 回第3页/共18页第四页，共18页。ACB锐角三角形证法(zhn f)二(向量法
2、)：过A作单位向量 垂直于 则：同理：若过C作 垂直于 得：两边与单位向量 作内积:第4页/共18页第五页，共18页。当ABC为钝角(dnjio)三角形时，设 A90.则与的夹角为:同样(tngyng)可证得 这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立.于是正弦定理(dngl)得到了证明.垂直于向量 过A作单位向量 ACB的夹角为:与A-9090-C.第5页/共18页第六页，共18页。二.正弦(zhngxin)定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦(zhngxin)的比相等.注:1.正弦定理的文字语言(yyn)叙述：2.正弦定理适合于任何三角形。3.可以证明（
3、R为ABC外接圆半径）4.每个等式可视为一个方程：知三求一第6页/共18页第七页，共18页。三、正弦(zhngxin)定理的应用 思考(sko):如何求a?例1、在ABC中，已知c=，A=，B=，求b。解：=第7页/共18页第八页，共18页。1已知两角和任意一边，解三角形(求其它(qt)两边 和一角)；正弦(zhngxin)定理的应用 第8页/共18页第九页，共18页。.A例例2 2：为了测定河岸为了测定河岸A A点到对岸点到对岸C C点的距离，如果你的手中点的距离，如果你的手中只有简单的测量只有简单的测量(cling)(cling)长度和角度的工具长度和角度的工具,不过河你能不过河你能测出测
4、出A A、C C两点的距离吗？谁能设计出测量两点的距离吗？谁能设计出测量(cling)(cling)方案方案?.C.B返 回第9页/共18页第十页，共18页。解：课堂(ktng)训练1.在ABC中已知c=,A=,B=,求b.由正弦(zhngxin)定理得 2.在ABC 中，求ABC的面积ABC返 回第10页/共18页第十一页，共18页。3.若 则ABC是()A.等边三角形;B.等腰直角三角形;C.有一内角是 的直角三角形;D.有一内角是 的等腰三角形;分析(fnx):返 回第11页/共18页第十二页，共18页。在 中，若 ，则是()D返 回分析(fnx):A等腰三角形 B等腰直角三角形直角三角
5、形 D等边三角形第12页/共18页第十三页，共18页。5.已知方程的两根之积等于两根之和,且a,b 是ABC的两边，为两内角，试判定这个三角形的形状解：设x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系知：x1x2bcosA,x1x2acosB由题意(t y)有：bcosA acosB由正弦(zhngxin)定理得：2RsinBcosA 2RsinAcosB故：sinAcosB cosAsinB sin（AB）因为(yn wi)，是三角形内角故故ABC是等腰三角形返 回第13页/共18页第十四页，共18页。课堂(ktng)小结一正弦(zhngxin)定理 3.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相
6、等.注:1.正弦定理的叙述：2.正弦定理适合于任何三角形。（R为ABC外接圆半径）4.每个等式可视为一个方程：知三求一第14页/共18页第十五页，共18页。1已知两角和任意(rny)一边，解三角形（求其它两边和一角）；二正弦(zhngxin)定理的应用 返 回用正弦(zhngxin)定理判定三角形的形状三正弦定理是勾通三角形边角关系的重要工具!用它可以化边为角,也可以化角为边体现了转化与化归的数学思想.第15页/共18页第十六页，共18页。课后作业(zuy)一.复习(fx),整理笔记.二.课后练习:1(2);习题5.9:2,3,4题三.思考题:证明ABC中,（R为ABC外接圆半径）第16页/共18页第十七页，共18页。中华民族有着(yu zhe)悠久的历史文化，周髀算经里，就有关于平面测量的记载！这实际上就是解三角形！解三角形问题是三角学的基本问题之一！第17页/共18页第十八页，共18页。