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1、复变函数与积分变换PPT第1页，共51页，编辑于2022年，星期六引 言 在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel
2、(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。第2页，共51页，编辑于2022年，星期六 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程
3、技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第3页，共51页，编辑于2022年，星期六复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Functions and Integral Transformation第4页，共51页，编辑于2022年，星期六课程性质课程性质：必修选课对象选课对象：电子类各专业。内容概要内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方 法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。第5页，共51页，编辑于2022年，星期六选用教材选用教材：复变函数与积分
4、变换 高等教育出版社.第6页，共51页，编辑于2022年，星期六课程的基本要求课程的基本要求 在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力.与其它课程的联系和分工与其它课程的联系和分工 复变函数中的许多概念和方法是高等数学中的实变量函数在复数领域的推广和发展，因此在学习本课程之前必须学习高等数学课程。本课程是数学学科的一门重要分支，同时也是数学中的其它分支如微分方程、积分变换等的基础理论课。积分变换与复变函数有着密切的联系,积分变换也是复变函数的后继课程之一。对于理工科类专业的学生来说它们是信号与系统、通信原理、数字信号处理、小波变换
5、等相关课程的基础理论课。第7页，共51页，编辑于2022年，星期六第一章复数和复变函数基本要求第一章复数和复变函数基本要求1.熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。2.了解区域的概念。3.理解复变函数的概念及其几何意义映射。4.知道复变函数的极限和连续的概念。第8页，共51页，编辑于2022年，星期六第一章 复数与复变函数1.1复数及其表示法 一对有序实数（）构成一个复数，记为 .自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数
6、理论和方法奠定必要的基础.x,y 分别称为 Z 的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为 Z 的共轭复数。第9页，共51页，编辑于2022年，星期六与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，1.代数形式:复数的表示法1)点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴第10页，共51页，编辑于2022年，星期六2)向量表示-复数复数z的辐角的辐角(argument)记作Arg z=q.任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足-p-p q q0 p p 的的q q0 称为称为Arg z的主值的主值,记作q0=arg z.则Arg z=q0
7、+2kp=arg z+2kp (k为任意整数)0 xyxyqz=x+iy|z|=r-复数复数z的模的模第11页，共51页，编辑于2022年，星期六当 z=0 时,|z|=0,而幅角不确定.arg z可由下列关系确定:说明：当 z 在第二象限时，第12页，共51页，编辑于2022年，星期六2.指数形式与三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系:x=r cosq,y=r sinq,可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式 e iq=cosq +i sinq 得指数表示式:例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解1)z在第三象限,因此因此第13页，共51页，编辑于2022年，星期六2)显然,r=|z
8、|=1,又因此练习：练习：写出 的辐角和它的指数形式。解：第14页，共51页，编辑于2022年，星期六1.2复数的运算设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1 ;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.四则运算第15页，共51页，编辑于2022年，星期六加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何意义:,定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.第16页，共51页，编辑于2022年，星期六 等式 Arg(z1z2)=Ar
9、g z1+Arg z2,的意思是等式的两 边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边 的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Arg z1.01第17页，共51页，编辑于2022年，星期六例2：设求：解：若取则若取则第18页，共51页，编辑于2022年，星期六;按照乘积的定义,当z10时,有定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.第19页，共51页，编辑于2022年，星期六2.乘方与开方运算1）乘方De Moivre 公式：第20页，共51页，编辑于2022年
10、，星期六2）开方:若满足，则称w为z的n次方根，记为 于是推得第21页，共51页，编辑于2022年，星期六从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。例2 求解 因为所以第22页，共51页，编辑于2022年，星期六即四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy第23页，共51页，编辑于2022年，星期六1.31.3复数形式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.例3 将通过两点z1=x1+iy1
11、与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示.解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为 因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-t+)第24页，共51页，编辑于2022年，星期六 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知线段的中点为 例4 求下列方程所表示的曲线:第25页，共51页，编辑于2022年，星期六解：设设 z=x+i y,方程变为-iOxy 几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为 y=-x,也可用代数的方
12、法求出。第26页，共51页，编辑于2022年，星期六Oxy-22iy=-x设设 z=x+i y,那末可得所求曲线的方程为 y=-3.Oyxy=-3第27页，共51页，编辑于2022年，星期六1.4 复数域的几何模型-复球面 0N第28页，共51页，编辑于2022年，星期六x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.第29页，共51页
13、，编辑于2022年，星期六扩充复数域-引进一个“新”的数:扩充复平面-引进一个“理想点”:无穷远点.约定:第30页，共51页，编辑于2022年，星期六 1.4 区域1.区域的概念 平面上以 z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域邻域,而称由不等式 0|z-z0|M 的所有点的集合,其中实数 M0,称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M 的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|M 的所有点称为无无穷远点的去心邻域穷远点的去心邻域,也记作 M|z|M第31页，共51页，编辑于2022年，星期六 设G为一平面点集,z0为G
14、中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集开集 平面点集D称为一个区域区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.第32页，共51页，编辑于2022年，星期六 区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以
15、原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足|z|M,则称 D为有界的,否则称为无界的.2.单连通域与多连通域平面曲线 在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.第33页，共51页，编辑于2022年，星期六 设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足 at1b,at2b 的 t1与 t2,当
16、t1t2而有 z(t1)=z(t2)时,点 z(t1)称为曲线 C的重点.没有重点的连续曲线 C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b),则曲线 C 称为简单简单闭曲线闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)第34页，共51页，编辑于2022年，星期六 任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去 C 外,一个是有界区域,称为 C 的内部,另一个是无界区域,称为 C 的外部,C 为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意
17、义是很清楚的.内部外部C第35页，共51页，编辑于2022年，星期六定义 复平面上的一个区域 B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域多连通域.单连通域多连通域第36页，共51页，编辑于2022年，星期六1.5 复变函数1.复变函数的定义定义 设 D 是复平面中的一个点集,称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u,v.例如,考察函数 w=z2.令 z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,因而函数 w=z2 对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy第37页
18、，共51页，编辑于2022年，星期六 在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念 函数 w=f(z)在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果 D 中的点 z 被映射 w=f(z)映射成 G中的点 w,则 w 称为 z 的象(映象),而 z 称为 w 的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW第38页，共51页，编辑于2022年，星期六设函数w=z=x iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2第39页，共51页，编辑于2022年，星
19、期六设函数 w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有 u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1第40页，共51页，编辑于2022年，星期六 函数 w=z2 对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2-y2=c1,2xy=c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10第41页，共51页，编辑于2022年，星期六 如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函
20、数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.举例：曲线在映射下的像 例题1 第42页，共51页，编辑于2022年，星期六例题2例题3例题4 第43页，共51页，编辑于2022年，星期六1.6 复变函数的极限和连续性1.函数的极限定义 设函数 w=f(z)定义在 z0的去心邻域 0|z-z0|0,相应地必有一正数d(e)(0 d),使得当 0|z-z0|d 时有|f(z)-A|e,则称A为f(z)当 z趋向于z0时的极限,记作或记作当 zz0 时,f(z)A.第44页，共51页，编辑于2022年，星期六几何意义几何意义:xyOz0dzOuvAef(z)第45页，共5
21、1页，编辑于2022年，星期六等价定义：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则运算性质：第46页，共51页，编辑于2022年，星期六当 z0 时的极限不存在例1 证明函数证 令 z=x+i y,则由此得让 z 沿直线 y=k x 趋于零,我们有故极限不存在.第47页，共51页，编辑于2022年，星期六2.函数的连续性定义 则说 f(z)在 z0 处连续.如果 f(z)在区域D内处处连续,我们说 f(z)在D内连续.函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 z0=x0+iy0处连续的充要条件是 u(x,y)和 v(x,y)在(x0,y0)处连续.性质：(1)(1)连续函数的四则运算仍然连续；(2)(2)连续函数的复合函数仍然连续；(3)(3)连续函数的模也连续；第48页，共51页，编辑于2022年，星期六(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;(5)(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.例题1 讨论的连续性。x00第49页，共51页，编辑于2022年，星期六例2 讨论 解：的连续性。第50页，共51页，编辑于2022年，星期六第51页，共51页，编辑于2022年，星期六