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1、复变函数与积分变换1第一页，讲稿共二十七页哦一、一、幂级数的概念幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义：,),2,1()(为一复变函数序列为一复变函数序列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作 .)(1 nnzf)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面n项的和项的和复变函数与积分变换复变函数与积分变换2第二页，讲稿共二十七页哦.)(,)(,)()(lim ,001000它的和它的和称为称为
2、收敛收敛在在那末称级数那末称级数存在存在极限极限内的某一点内的某一点如果对于如果对于zszzfzszszDnnnn )()()()(21zfzfzfzsn如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,那么它的和一定那么它的和一定 :)(zsz的的一一个个函函数数是是s(z)称为级数称为级数 在区域在区域D上的上的和函数和函数.)(1 nnzf复变函数与积分变换复变函数与积分变换3第三页，讲稿共二十七页哦2.2.幂级数幂级数当当11)()(nnnazczf或或,)(11时时 nnnzczf函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(.z
3、czczcczcnnnnn 22101或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.复变函数与积分变换复变函数与积分变换4第四页，讲稿共二十七页哦二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理).,)0(000级级数数必必绝绝对对收收敛敛的的则则对对满满足足收收敛敛在在若若级级数数zzzzzzcnnn .,00级级数数必必发发散散的的则则对对满满足足发发散散若若级级数数在在zzzzz 复变函数与积分变换复变函数与积分变换5第五页，讲稿共二十七页哦证明：证明：,00收敛收敛因为级数因为级数 nnnzc由收敛的必要条件由收敛的必要条件,有有0lim0 nnnzc
4、因而存在正数因而存在正数M,0Mzcnn 有有使对所有的使对所有的n,0zz 如如果果 ,1 0 qzz那末那末而而nnnnnnzzzczc00 .nMq 复变函数与积分变换复变函数与积分变换6第六页，讲稿共二十七页哦由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知:.0是是绝绝对对收收敛敛的的故故级级数数 nnnzc nnnnnzczczcczc22100收敛收敛.(2)(2)用反证法，用反证法，收收敛敛，有有设设 01011,nnnzczzz！收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证知知由由 00)1(nnnzc复变函数与积分变换复变函数与积分变换7第七页，讲稿共二十七页哦2.收敛圆与收敛半
5、径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛。级数在复平面内处处绝对收敛。例如例如,级数级数 nnnzzz2221对任意固定的对任意固定的z,从某个从某个n开始开始,总有总有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.复变函数与积分变换复变函数与积分变换8第八页，讲稿共二十七页哦(2)对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内
6、除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.例如例如,级数级数 nnznzz2221,0 时时当当 z通项不趋于零通项不趋于零,故级数发散故级数发散.复变函数与积分变换复变函数与积分变换9第九页，讲稿共二十七页哦xyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.;,级级数数收收敛敛时时设设 z.,级级数数发发散散时时 z如图如图:复变函数与积分变换复变函数与积分变换10第十页，讲稿共二十七页哦答案答案:.为为中中心心的的圆圆域域是是以以az
7、 幂级数幂级数 0)(nnnazc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的不能作出一般的结论结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?复变函数与积分变换复变函数与积分变换11第十一页，讲稿共二十七页哦例例1、求幂级数求幂级数 nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解：解：级数的部分和为级数的部分和为)1(,11112 zzzzzzsnnn1 zzsnn 11lim级数级数 0nnz收敛收敛,1 z0li
8、m nnz级数级数 0nnz发散发散.复变函数与积分变换复变函数与积分变换12第十二页，讲稿共二十七页哦且有且有.1112 nzzzz在此圆域内在此圆域内,级数绝对收敛级数绝对收敛,收敛半径为收敛半径为1,收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域,1 z由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:复变函数与积分变换复变函数与积分变换13第十三页，讲稿共二十七页哦4.收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1:比值法比值法(定理二定理二):的收敛收敛半径求法关于幂级数0nnnzc 000/1lim1Rccnnn，则则若若zzcczczcinnnnnnnn 111limlim,0)(证明证明:发发散散，时时时时，即
9、即当当绝绝对对收收敛敛；时时即即时时当当 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz 复变函数与积分变换复变函数与积分变换14第十四页，讲稿共二十七页哦!,01矛矛盾盾收收敛敛 nnnzc.1:0也也发发散散时时，当当以以下下证证 nnnzcz,1,000收收，外外有有一一点点设设在在用用反反证证法法 nnnzczz:1,011定定理理得得，由由满满足足再再取取一一点点Ablezzz .1,10 Rzcznnn故故发发散散时时，当当即即发发散散,00 nnnzc收收敛敛都都有有时时，对对若若 00)(nnnzczii;0 Rzcnnn故故在复平面上处处收敛，在复平面上处处收敛，复变函数与积
10、分变换复变函数与积分变换15第十五页，讲稿共二十七页哦.,0)(00也也发发散散发发散散，从从而而有有外外，对对一一切切时时，除除当当 nnnnnnzczczziii.0!0,001101000 Rzczzzzcznnnnnn故故收收敛敛，矛矛盾盾，满满足足则则收收敛敛否否则则，如如果果有有一一点点复变函数与积分变换复变函数与积分变换16第十六页，讲稿共二十七页哦解：解：例例2、试求幂级数试求幂级数 1npnnz)(为为正正整整数数p的收敛半径的收敛半径nnncc1lim 1)1(lim pnnn1 R,1时时当当 z,1时时当当 z,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数
11、收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p p=1=1p p=2=2,1上上在在圆圆周周 z 1122,1nnnnnz是是收收敛敛的的该级数在收敛圆上是否收敛取决于该级数在收敛圆上是否收敛取决于p的值。的值。并讨论收敛圆周上的情形并讨论收敛圆周上的情形.复变函数与积分变换复变函数与积分变换17第十七页，讲稿共二十七页哦方法方法2:根值法根值法(定理三定理三)000/1limRcnnn，则则若若例例3、求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz (1)1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0 z时的情形时的情形)并讨论收敛圆周上的情形并讨论
12、收敛圆周上的情形并讨论收敛圆周上的情形并讨论收敛圆周上的情形复变函数与积分变换复变函数与积分变换18第十八页，讲稿共二十七页哦说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当 z原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数,收敛收敛.,2时时当当 z发散发散.原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，调和级数，(1)1limlim1 nnccnnnn,1.1 R即即解：解：复变函数与积分变换复变函数与积分变换19第十九页，讲稿共二十七页哦nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21
13、)(21ch)2(nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圆圆周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(,0)1(coslimnninnznien发发散散。综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，时时，当当11 z时时，当当11 z复变函数与积分变换复变函数与积分变换20第二十页，讲稿共二十七页哦222)2(ln1ln1nnnninc R222lnln2ln)arg(ln)ln()3(ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim 故故0)2(ln1lim2122 nn故该级
14、数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.复变函数与积分变换复变函数与积分变换21第二十一页，讲稿共二十七页哦三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000),min(21rrR 其其中中：(1)幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算(2)幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算1 1、幂级数的运算、幂级数的运算复变函数与积分变换复变函数与积分变换22第二十二页
15、，讲稿共二十七页哦rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0内内解解析析，且且在在设设Rzzgazgfnnn 0)()(此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.(3)幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算复变函数与积分变换复变函数与积分变换23第二十三页，讲稿共二十七页哦例例4、把函数把函数bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的幂的幂级数级数,其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数.解：解：把函数把函数bz 1写成如下的形式写成如下的形式:bz1)()(1abaz abazab 111代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出
16、现)(az 凑出凑出)(11zg 复变函数与积分变换复变函数与积分变换24第二十四页，讲稿共二十七页哦时时，当当1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 设设,时那么Raz级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz 复变函数与积分变换复变函数与积分变换25第二十五页，讲稿共二十七页哦0nnnzc定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那么那么.znc(z)f1n1nn即即Rz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数 是收敛圆是收敛圆0nnnzcf
17、(z)(1)2、复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质(2)(zf在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,Rz 复变函数与积分变换复变函数与积分变换26第二十六页，讲稿共二十七页哦(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,0ncnncR.zc,dzzcdzf(z)简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即复变函数与积分变换复变函数与积分变换 0101)(nnnznzcdf 或或27第二十七页，讲稿共二十七页哦