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1、【考纲下载考纲下载】1.结结合二次函数的合二次函数的图图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的根据具体函数的图图象，能象，能够够用二分法求相用二分法求相应应方程的近似解方程的近似解.第第1010讲讲 函数与方程函数与方程第一页，编辑于星期四：点 三十七分。第一页，编辑于星期四：一点 三十八分。第一页，编辑于星期四：八点 三十五分。第一页，编辑于星期四：十九点 三十八分。1函数零点函数零点 (1)对对于函数于函数yf(x)，我，我们们把使把使 叫做函数叫做函数yf(x)的零点的零
2、点 (2)方程方程f(x)0有有实实根根函数函数yf(x)的的图图象象 函数函数 y f(x).(3)如果函数如果函数yf(x)在区在区间间a，b上的上的图图象是象是连续连续不断的一条曲不断的一条曲线线，并且，并且 有有 ，那么，函数，那么，函数yf(x)在区在区间间(a，b)内有内有 ，即存在，即存在c(a，b)，得得 ，这这个个c也就是方程也就是方程f(x)0的根的根f(x)0的的实实数数x与与x轴轴有交点有交点有零点有零点f(a)f(b)0零点零点f(c)0【思考思考】函数的零点是函数函数的零点是函数yf(x)与与x轴轴的交点的交点吗吗？答案：答案：函数的零点不是函数函数的零点不是函数y
3、f(x)与与x轴的交点，而是轴的交点，而是yf(x)与与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数是一个点，而是一个实数第二页，编辑于星期四：点 三十七分。第二页，编辑于星期四：一点 三十八分。第二页，编辑于星期四：八点 三十五分。第二页，编辑于星期四：十九点 三十八分。b24ac000ax2bxc0(a0)x1,2x1x2方程无方程无实实根根yax2bxc(a0)的的图图象象函数函数yax2bxc(a0)的零点的零点 .2二次函数二次函数y bxc(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系有两个不同的零点有两个不同的零点有一个零点有一个
4、零点无零点无零点第三页，编辑于星期四：点 三十七分。第三页，编辑于星期四：一点 三十八分。第三页，编辑于星期四：八点 三十五分。第三页，编辑于星期四：十九点 三十八分。提示：提示：二次函数二次函数yax2bxc(a0)的零点就是相应的一元二次方程的零点就是相应的一元二次方程ax2bxc0的实数根，也是二次函数的图象的实数根，也是二次函数的图象与与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标3二分法二分法 (1)对对于在区于在区间间a，b上上连续连续不断且不断且f(a)f(b)0的函数的函数yf(x)，通，通过过不断地把函数不断地把函数 f(x)的零点所在的区的零点所在的区间间 ，使区，使区间间的两个端点逐步
5、逼近的两个端点逐步逼近 ，进进而得到零点近似而得到零点近似值值的方法叫做二分法的方法叫做二分法一分一分为为二二零点零点第四页，编辑于星期四：点 三十七分。第四页，编辑于星期四：一点 三十八分。第四页，编辑于星期四：八点 三十五分。第四页，编辑于星期四：十九点 三十八分。(2)给给定精确度定精确度，用二分法求函数，用二分法求函数f(x)零点近似零点近似值值的步的步骤骤如下：如下：确定区确定区间间a，b，验证验证f(a)f(b)0，给给定精确度定精确度；求区求区间间(a，b)的中点的中点c；计计算算f(c)；()若若f(c)0，则则c就是函数的零点；就是函数的零点；()若若f(a)f(c)0，则则
6、令令bc(此此时时零点零点 (a，c)；()若若f(c)f(b)0，则则令令ac(此此时时零点零点 (c，b)判断是否达到精确度判断是否达到精确度.即：若即：若|ab|，则则得到零点近似得到零点近似值值a(或或b)；否；否则则重复重复.第五页，编辑于星期四：点 三十七分。第五页，编辑于星期四：一点 三十八分。第五页，编辑于星期四：八点 三十五分。第五页，编辑于星期四：十九点 三十八分。1函数函数图图象与象与x轴轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标标的是的是()解析：解析：B中中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件左右两边的函数值均大于零，不
7、适合二分法求零点的条件 答案：答案：B2函数函数f(x)xlog2x的零点所在区的零点所在区间为间为()A.B.C.D.解析：解析：因选项中只有因选项中只有f f 0，所以函数的零点在区间，所以函数的零点在区间 上上 答案：答案：C第六页，编辑于星期四：点 三十七分。第六页，编辑于星期四：一点 三十八分。第六页，编辑于星期四：八点 三十五分。第六页，编辑于星期四：十九点 三十八分。3(2009青岛一检青岛一检)根据表格中的数据，可以判定方程根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的的一个根所在的 区区间为间为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.
8、(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析：解析：令令f(x)exx2，由，由f(0)0，f(1)0，f(2)0，可以判定方程，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为的一个根所在的区间为(1,2)答案：答案：C第七页，编辑于星期四：点 三十七分。第七页，编辑于星期四：一点 三十八分。第七页，编辑于星期四：八点 三十五分。第七页，编辑于星期四：十九点 三十八分。4(2009安徽名校联考二安徽名校联考二)函数函数f(x)ln xx22x5的零点个数的零点个数为为_ 解析：解析：令令ln xx22x50得得ln xx22x5，画图可得函数，画图可得函数yln x与函数与函数 yx22x5
9、的图象有的图象有2个交点，即函数个交点，即函数f(x)的零点个数为的零点个数为2.答案：答案：2第八页，编辑于星期四：点 三十七分。第八页，编辑于星期四：一点 三十八分。第八页，编辑于星期四：八点 三十五分。第八页，编辑于星期四：十九点 三十八分。求函数求函数f(x)零点的方法：零点的方法：1代数法：即求方程代数法：即求方程f(x)0的的实实根根2几何法：即利用函数几何法：即利用函数yf(x)的的图图象和性象和性质质找出零点找出零点 【例例1】求下列函数的零点：求下列函数的零点：(1)f(x)x31；(2)f(x).思维点拨：思维点拨：令令f(x)0，通过因式分解等手段求方程，通过因式分解等手
10、段求方程f(x)0的根的根第九页，编辑于星期四：点 三十七分。第九页，编辑于星期四：一点 三十八分。第九页，编辑于星期四：八点 三十五分。第九页，编辑于星期四：十九点 三十八分。解：解：(1)f(x)x31(x1)(x2x1)，令令(x1)(x2x1)0，解得解得x1，f(x)x31的零点是的零点是x1.(2)f(x)令令 0，解得解得x1，f(x)的的零点是零点是x1.第十页，编辑于星期四：点 三十七分。第十页，编辑于星期四：一点 三十八分。第十页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十页，编辑于星期四：十九点 三十八分。函数零点个数的判定有下列几种方法：函数零点个数的判定有下列几种方法：1直接
11、求零点：令直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，如果能求出解，则则有几个解就有几个零点有几个解就有几个零点2零点存在性定理：利用零点存在性定理：利用该该定理不定理不仅仅要求函数在要求函数在a，b上是上是连续连续的曲的曲线线，f(a)f(b)0.还还必必须结须结合函数的合函数的图图象和性象和性质质(如如单调单调性性)才能确定函数有多少个零点才能确定函数有多少个零点3画两个函数画两个函数图图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标标有几个不同的有几个不同的值值，就有几个不同的零点就有几个不同的零点第十一页，编辑于星期四：点 三十七分。第十一页，编辑于星期
12、四：一点 三十八分。第十一页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十一页，编辑于星期四：十九点 三十八分。【例例2】求函数求函数yln x2x6的零点个数的零点个数 思维点拨：思维点拨：该问题转化为求函数该问题转化为求函数yln x与与y62x的图象的交点个数，的图象的交点个数，因此只需画出图，数形结合即可因此只需画出图，数形结合即可解：解：在在同一坐同一坐标标系画出系画出y=ln x与与y=6-2x的的图图象，由象，由图图可知两可知两图图象只有一个象只有一个交点，故函数交点，故函数y=ln x+2x-6只有一个零点只有一个零点第十二页，编辑于星期四：点 三十七分。第十二页，编辑于星期四：一点 三
13、十八分。第十二页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十二页，编辑于星期四：十九点 三十八分。变式变式2：f(x)的零点个数为的零点个数为()A1 B2 C3 D0 解析：解析：f(x)0，即，即 0，即即x10或或ln x0，得，得x1.答案：答案：A第十三页，编辑于星期四：点 三十七分。第十三页，编辑于星期四：一点 三十八分。第十三页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十三页，编辑于星期四：十九点 三十八分。解此解此类问题类问题，通常有两种方法一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想，通常有两种方法一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结结合合图图象求解，二是构造两个函数分象求解，二是
14、构造两个函数分别别作出作出图图象，利用数形象，利用数形结结合法求合法求解此解此类题类题目也体目也体现现了函数与方程、数形了函数与方程、数形结结合的思想合的思想【例例3】(2009山东山东)若若函数函数f(x)axxa(a0，且，且a1)有两个零点有两个零点，求求实实数数a的取的取值值范范围围第十四页，编辑于星期四：点 三十七分。第十四页，编辑于星期四：一点 三十八分。第十四页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十四页，编辑于星期四：十九点 三十八分。解解：函函数数f(x)的的零零点点的的个个数数就就是是函函数数yax与与函函数数yxa交交点点的的个个数数，由由函函数数的的图图象象可可知知a1时时
15、两两函函数数图图象象有有两两个个交交点点，0a1时两函数图象有唯一交点，故时两函数图象有唯一交点，故a1.第十五页，编辑于星期四：点 三十七分。第十五页，编辑于星期四：一点 三十八分。第十五页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十五页，编辑于星期四：十九点 三十八分。变式变式3：已知函数已知函数f(x)mx2(m3)x1的的图图象与象与x轴轴的交点至少有一个在原点右的交点至少有一个在原点右侧侧，则实则实数数m的取的取值值范范围围是是()A(0,1 B(0,1)C(，1)D(，1解析：解法一：解析：解法一：取取m0，有，有f(x)3x1的根的根x 0，即，即m0应符合题设，应符合题设，所以排除所以
16、排除A、B；当；当m1时，时，f(x)x22x1(x1)2，它的根是它的根是x1符合要求，排除符合要求，排除C.第十六页，编辑于星期四：点 三十七分。第十六页，编辑于星期四：一点 三十八分。第十六页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十六页，编辑于星期四：十九点 三十八分。解法二：解法二：直接法，直接法，f(0)1，(1)当当m0时必成立，排除时必成立，排除A、B.(2)当当m0时，要使与时，要使与x轴交点至少有一个在原点右侧，则轴交点至少有一个在原点右侧，则 ，0m1.(3)当当m0时，根为时，根为x.综上综上m1.答案：答案：D第十七页，编辑于星期四：点 三十七分。第十七页，编辑于星期四：一
17、点 三十八分。第十七页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十七页，编辑于星期四：十九点 三十八分。二分法是把函数二分法是把函数f(x)的零点所在区的零点所在区间间一分一分为为二，使区二，使区间间的两个端点逐步逼近零点，的两个端点逐步逼近零点，进进而求零点近似而求零点近似值值的方法它适合于的方法它适合于yf(x)的的图图象在象在a，b连续连续不不间间断，断，f(a)f(b)0，满满足足这这两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似值值【例例4】(2009(2009盐城模拟盐城模拟)在用二分法求方程在用二分法求方程x32x10的一个近似解的一个近似解时时，现现在
18、已在已经经将根将根锁锁定在区定在区间间(1,2)内，内，则则下一步可断定下一步可断定该该根所在的区根所在的区 间为间为_ 思维点拨：思维点拨：令令f(x)x32x1，在区间，在区间(1,2)内取中间值，内取中间值，利用利用f(a)f(b)0判断判断第十八页，编辑于星期四：点 三十七分。第十八页，编辑于星期四：一点 三十八分。第十八页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十八页，编辑于星期四：十九点 三十八分。解析：解析：在在(1,2)内取中点内取中点x0，令，令f(x)x32x1，f 40，f(2)8410.f(x)0的根在的根在 内内答案：答案：第十九页，编辑于星期四：点 三十七分。第十九页，编
19、辑于星期四：一点 三十八分。第十九页，编辑于星期四：八点 三十五分。第十九页，编辑于星期四：十九点 三十八分。【方法规律方法规律】1对函数零点存在的判断中，必须强调：对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在在a，b上连续，上连续，(2)f(a)f(b)0.事实上，这是零点存在的一个充分不必要条件事实上，这是零点存在的一个充分不必要条件2用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、区间中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，区间中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可更清楚发现零点所在
20、区间这样可更清楚发现零点所在区间.第二十页，编辑于星期四：点 三十七分。第二十页，编辑于星期四：一点 三十八分。第二十页，编辑于星期四：八点 三十五分。第二十页，编辑于星期四：十九点 三十八分。【高考真题高考真题】(2009天津天津)设设函数函数f(x)xln x(x0)，则则yf(x)()A在区在区间间 ，(1，e)内均有零点内均有零点B在区在区间间，(1，e)内均无零点内均无零点C在区在区间间内有零点，在区内有零点，在区间间(1，e)内无零点内无零点D在区在区间间内无零点，在区内无零点，在区间间(1，e)内有零点内有零点第二十一页，编辑于星期四：点 三十七分。第二十一页，编辑于星期四：一点
21、 三十八分。第二十一页，编辑于星期四：八点 三十五分。第二十一页，编辑于星期四：十九点 三十八分。【规范解答规范解答】解析：解析：由题意，得由题意，得ff(1)0且且f(1)f(e)0，又，又f(x)，当当0 x3时，时，f(x)0，f(x)在在(0,3)上单调递减所以上单调递减所以D正确正确答案：答案：D【探究与研究探究与研究】本本题题考考查查函数零点的相关知函数零点的相关知识识考考题题的命制，直接的命制，直接给给出函数解析式，然后出函数解析式，然后设计设计了四个了四个选项选项，意在通，意在通过对问题过对问题的判断，直接考的判断，直接考查查函数零点的定函数零点的定义义第二十二页，编辑于星期四
22、：点 三十七分。第二十二页，编辑于星期四：一点 三十八分。第二十二页，编辑于星期四：八点 三十五分。第二十二页，编辑于星期四：十九点 三十八分。本本题题是江是江苏苏版数学必修版数学必修1第第81页习题页习题2“求求证证：方程：方程5x27x10的根一个在区的根一个在区间间(1,0)上，另一个在区上，另一个在区间间(1,2)上上”的一的一个改个改编题编题考考题题将方程改成了一个函数，方程的根就将方程改成了一个函数，方程的根就变变成了函数的零点，将成了函数的零点，将证证明明题题改成了一个改成了一个选择题选择题考考题题更加直接明更加直接明了地考了地考查查函数的零点的判断，没有函数的零点的判断，没有设计设计其他求解的障碍其他求解的障碍.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第二十三页，编辑于星期四：点 三十七分。第二十三页，编辑于星期四：一点 三十八分。第二十三页，编辑于星期四：八点 三十五分。第二十三页，编辑于星期四：十九点 三十八分。