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1、【考纲下载考纲下载】1. 了解导数概念的实际背景了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数能根据导数定义求函数yc(c为常数为常数)，yx，yx2，y 的导数的导数4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数数的导数.第第1212讲讲 变化率与导数变化率与导数1平均变化率与瞬时变化率平均变化率与瞬时变化率 (1)f(x)从从x1到到x2的平均变化率是的平均变化率是 . (2)f(x)在在xx0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是: .y|xx0f(x0)2导数的概念导数
2、的概念(1)f(x)在在xx0处的导数是处的导数是f(x)在在xx0处的瞬时变化率处的瞬时变化率记作：记作：或或， 即即 f(x0)= ； (2)当把上式中的当把上式中的 x0看作变量看作变量x时时, f(x) )即为即为f( (x) )的的 , , 简简称导数称导数, , 即即y f(x) ) ；导函数导函数3导数的几何意义导数的几何意义 函数函数f(x)在在xx0处的导数就是曲线处的导数就是曲线yf(x)在点在点P(x0，f(x0)处处 的的 ，切线方程，切线方程 为为 切线的斜率，即切线的斜率，即k kf(x0)yy0f(x0)(xx0)(1)C0(C为常数为常数)，(2)(xn)= (
3、nQ*)，(3)(sin x) ，(4)(cos x) ，(5)(ax) ，(6)(ex)= ，(7)(logax) ，(8)(ln x)= .nxn1cos xsin xaxln aex4基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式uvuvuvmu5两个函数的四则运算的导数两个函数的四则运算的导数若若u(x)、v(x)的导数都存在，则的导数都存在，则(1)(uv) ，(2)(uv) ，(3) (v0)，(4)(mu) (m为常数为常数)1如果质点如果质点A按规律按规律s2t3(s的单位是的单位是m)运动，则在运动，则在t3 s时的瞬时时的瞬时 速度为速度为() A6 m/s B18 m/s
4、C54 m/s D81 m/s 解析：解析：s6t2，s|t354. 答案：答案：CA1 B2 C1 D.()解析：解析：答案：答案：B3函数函数yxcos xsin x的导数为的导数为() Axsin x Bxsin x Cxcos x Dxcos x 解析：解析：y(xcos xsin x)(xcos x)(sin x) xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x. 答案：答案：B4(2009宁夏、海南卷宁夏、海南卷)曲线曲线yxex2x1在点在点(0,1)处的切线方程处的切线方程 为为_ 解析：解析：yexxex2(x1)ex2， y|x0123.
5、 切线方程为：切线方程为：y13x，即，即3xy10. 答案：答案：3xy10由导数的定义可知，求函数由导数的定义可知，求函数yf(x)的导数的一般方法是：的导数的一般方法是：1求函数的改变量求函数的改变量yf(xx)f(x)； 2求平均变化率求平均变化率简记作：一差、二比、三极限简记作：一差、二比、三极限【例例1】 用导数的定义，求函数用导数的定义，求函数y 在在xx0处的导数处的导数 思维点拨：思维点拨：按上面的求导方法按上面的求导方法变式变式1：利用导数的定义，求出函数利用导数的定义，求出函数yx 的导数，并据此求函数在的导数，并据此求函数在 x1处的导数处的导数求函数的导数要准确地把函
6、数拆分为基本函数的和、差、积、商及其复求函数的导数要准确地把函数拆分为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析函数解析合运算，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式对于不具备求式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，
7、转化为较易求导的结构形式，再求导数但必须注意变形行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误的等价性，避免不必要的运算失误(1)y(2x23x)(3x2)；(2)yx2cos x； 思维点拨：思维点拨：(1)先化简后求导；先化简后求导；(2)直接利用导数公式和导数运算法则直接利用导数公式和导数运算法则计算计算解：解：(1)y(2x23x)(3x2)6x35x26x，y18x210 x6.(2)y(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x. 【例例2】 求下列函数的导数求下列函数的导数 曲线切线方程的求法曲线切
8、线方程的求法1以点以点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求法为切点的切线方程的求法 (1)求出求出f(x)的导函数的导函数f(x)； (2)将将x0代入代入f(x)得到切线的斜率得到切线的斜率f(x0)； (3)写出切线方程：写出切线方程：yf(x0)(xx0)f(x0)，并化简，并化简2如果已知点如果已知点(x0，y0)不是切点或不在曲线不是切点或不在曲线yf(x)上，需设出切上，需设出切 点点(x1，f(x1)，根据，根据y0f(x1)f(x1)(x0 x1)，求出，求出x1的值，进而求的值，进而求解解【例例3】 已知曲线已知曲线 (1)求曲线在点求曲线在点P(2,4)处的切线方程；处的
9、切线方程； (2)求曲线过点求曲线过点P(2,4)的切线方程的切线方程解：解：(1)yx2，在点在点P(2,4)处的切线的斜率处的切线的斜率ky|x24.曲线在点曲线在点P(2,4)处的切线方程为处的切线方程为y44(x2)，即即4xy40.(2)设曲线设曲线 与过点与过点P(2,4)的切线相切于点的切线相切于点则切线的斜率则切线的斜率点点P(2,4)在切线上，在切线上，故所求的切线方程为故所求的切线方程为4xy40或或xy20.解：解：设切点为设切点为P(x0，y0)，对对yx3a求导数得求导数得y3x2， x01.当当x01时时，P(x0，y0)在在y3x1上上，y03114，即即P(1,
10、4)又又P(1,4)也在也在yx3a上上，413a，a3；当当x01时时，P(x0，y0)在在y3x1上上，y03(1)12，即即P(1，2)又又P(1，2)也在也在yx3a上上，2(1)3a，a1.综上可知，实数综上可知，实数a的值为的值为3或或1. 变式变式3：若直线若直线y3x1是曲线是曲线yx3a的一条切线，求实数的一条切线，求实数a的值的值 根据导数的几何意义和已知条件，建立关于参数的方程，解出参数即根据导数的几何意义和已知条件，建立关于参数的方程，解出参数即可可【例例4】 已知函数已知函数f(x)2x3ax与与g(x)bx2c的图象都过点的图象都过点P(2,0)， 且在点且在点P处
11、有公共切线，求处有公共切线，求f(x) 、g(x)的表达式的表达式 思维点拨：思维点拨：用导数的几何意义，确定切线、切点、斜率，用导数的几何意义，确定切线、切点、斜率， 建立关于参数的方程求解建立关于参数的方程求解 解：解：f(x)2x3ax图象过点图象过点P(2,0)，a8， f(x)2x38x，f(x)6x28. 对于对于g(x)bx2c，图象过点，图象过点P(2,0)，则，则4bc0. 又又g(x)2bx，g(2)4bf(2)16，b4， c16，g(x)4x216. 综上可知，综上可知，f(x)2x38x，g(x)4x216.【方法规律方法规律】1弄清弄清“函数在一点函数在一点x0处的
12、导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数”的区别与联系的区别与联系(1)函数在一点处的导数函数在一点处的导数f(x0)是一个常数，不是变量是一个常数，不是变量(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的函数而言的函数f(x)在区间在区间(a，b)内每一内每一点都可导，是指对于区间点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在开区间，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数的
13、导函数f(x)(3)函数函数yf(x)在点在点x0处的导数处的导数f(x0)就是导函数就是导函数f(x)在点在点xx0处的函数值处的函数值 2求曲线切线时，要分清点求曲线切线时，要分清点P处的切线与过处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者条，而后者包括了前者.【高考真题高考真题】(2009江苏卷江苏卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点P在曲线在曲线C：yx310 x3上，上，且在第二象限内，已知曲线且在第二象限内，已知曲线C在点在点P处的切线的斜率为处的切线的斜率为2，则点，则点P的坐标为的坐标为_【规范解答规范解答】解析：解析
14、：由曲线由曲线C：yx310 x3，得，得y3x210.又根据导数的几何又根据导数的几何意义，得意义，得3x2102，所以，所以x2.又点又点P在第二象限内，所以在第二象限内，所以x2，即点，即点P的横坐标为的横坐标为2.将将x2代入曲线方程，得代入曲线方程，得y15，所以点所以点P的坐标为的坐标为(2,15)故填故填(2,15)答案：答案：(2,15)【探究与研究探究与研究】本题主要考查导数的几何意义考题的命制，直接给出曲线方程及切线斜率，本题主要考查导数的几何意义考题的命制，直接给出曲线方程及切线斜率，意在直接利用导数的几何意义解决问题，考题设计重基础，淡技巧，同时也意在直接利用导数的几何
15、意义解决问题，考题设计重基础，淡技巧，同时也考查了考生的运算能力考查了考生的运算能力利用导数的几何意义等求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考利用导数的几何意义等求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题这类问题一般难度不大，只要抓住基础，灵活应用，准确常常涉及的问题这类问题一般难度不大，只要抓住基础，灵活应用，准确计算，都能轻松解决问题计算，都能轻松解决问题利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，这类问题的关键就是抓住切点，就可以通过切点解决过某点的切线方程，这类问题的关键就是抓住切点，就可以通过切点解决其相关的问题其相关的问题.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册