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1、第三章 函数的极值及其求法第1页，本讲稿共23页一、函数极值的定义第2页，本讲稿共23页定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.第3页，本讲稿共23页二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,第4页，本讲稿共23页注注这个结论又称为这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点
2、：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。即可得到解决。第5页，本讲稿共23页定理2(第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)第6页，本讲稿共23页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)第7页，本讲稿共23页例1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值第8页，本讲稿共23页图形如下第9页，本讲稿共23页定理3(第二充
3、分条件)证证第10页，本讲稿共23页例2解解图形如下第11页，本讲稿共23页注意注意:第12页，本讲稿共23页例例3 3解解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.第13页，本讲稿共23页例例4证证（不易判明符号）（不易判明符号）而且是一个最大值点，第14页，本讲稿共23页例例5 设设f(x)连续，且连续，且f(a)是是f(x)的极值，问的极值，问f 2(a)是否是是否是 f 2(x)的极值的极值证证分两种情况讨论分两种情况讨论所以所以 f 2(a)是是 f 2(x)的极小值的极小值第15页，本讲稿共23页设设f(a)是是f(x)的极小值，且的极小值，且又f(x)在 x=a 处连续，且f
4、2(a)是是 f 2(x)的极大值的极大值同理可讨论同理可讨论f(a)是是f(x)的极大值的情况的极大值的情况第16页，本讲稿共23页例例6 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当n为偶数时，f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值证证由由Taylor公式，得公式，得第17页，本讲稿共23页因此存在因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形下面来考察两种情形n为奇数，当为奇数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时变号不变号变号不是极值第18页，本讲稿共23页n为偶数，当为偶数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时
5、不变号不变号不变号是极值且当时是极小值当时是极大值第19页，本讲稿共23页极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)三、小结第20页，本讲稿共23页思考题下命题正确吗？第21页，本讲稿共23页思考题解答不正确不正确例例第22页，本讲稿共23页在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立第23页，本讲稿共23页