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1、第三章 函数的极值及其求法本讲稿第一页，共十八页一、函数极值的定义一、函数极值的定义本讲稿第二页，共十八页定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.本讲稿第三页，共十八页二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,本讲稿第四页，共十八页注注这个结论又称为这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点不可
2、导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。本讲稿第五页，共十八页定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)本讲稿第六页，共十八页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)本讲稿第七页，共十八页例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值
3、本讲稿第八页，共十八页图形如下图形如下本讲稿第九页，共十八页定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)本讲稿第十页，共十八页例例2 2解解图形如下图形如下本讲稿第十一页，共十八页注意注意:本讲稿第十二页，共十八页例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.本讲稿第十三页，共十八页例例4证证（不易判明符号）（不易判明符号）而且是一个最大值点，而且是一个最大值点，本讲稿第十四页，共十八页本讲稿第十五页，共十八页思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？本讲稿第十六页，共十八页思考题解答思考题解答不正确不正确例例本讲稿第十七页，共十八页在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立本讲稿第十八页，共十八页