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1、第三章 函数的极值及其求法本讲稿第一页，共二十三页一、函数极值的定义一、函数极值的定义本讲稿第二页，共二十三页定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点.本讲稿第三页，共二十三页二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,本讲稿第四页，共二十三页注注这个结论又称为这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极
2、值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。到解决。本讲稿第五页，共二十三页定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)本讲稿第六页，共二十三页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)本讲稿第七页，共二十三页例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值
3、值极极小小值值本讲稿第八页，共二十三页图形如下图形如下本讲稿第九页，共二十三页定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证本讲稿第十页，共二十三页例例2 2解解图形如下图形如下本讲稿第十一页，共二十三页注意注意:本讲稿第十二页，共二十三页例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.本讲稿第十三页，共二十三页例例4证证（不易判明符号）（不易判明符号）而且是一个最大值点，而且是一个最大值点，本讲稿第十四页，共二十三页例例5 设设f(x)连续，且连续，且f(a)是是f(x)的极值，问的极值，问f 2(a)是否是是否是 f 2(x)的极值的极值证证
4、分两种情况讨论分两种情况讨论所以所以 f 2(a)是是 f 2(x)的极小值的极小值本讲稿第十五页，共二十三页设设f(a)是是f(x)的极小值，且的极小值，且又又f(x)在在 x=a 处连续，且处连续，且f 2(a)是是 f 2(x)的极大值的极大值同理可讨论同理可讨论f(a)是是f(x)的极大值的情况的极大值的情况本讲稿第十六页，共二十三页例例6假定假定f(x)在在x=x0处具有直到处具有直到n阶的连续导数，且阶的连续导数，且证明当证明当n为偶数时，为偶数时，f(x0)是是f(x)的极值的极值当当n为奇数时，为奇数时，f(x0)不是不是f(x)的极值的极值证证由由Taylor公式，得公式，得
5、本讲稿第十七页，共二十三页因此存在因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形下面来考察两种情形n为奇数，当为奇数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时变号变号不变号不变号变号变号不是极值不是极值本讲稿第十八页，共二十三页n为偶数，当为偶数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时不变号不变号不变号不变号不变号不变号是极值是极值且当且当时时是极小值是极小值当当时时是极大值是极大值本讲稿第十九页，共二十三页极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)三、小结三、小结本讲稿第二十页，共二十三页思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？本讲稿第二十一页，共二十三页思考题解答思考题解答不正确不正确例例本讲稿第二十二页，共二十三页在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立本讲稿第二十三页，共二十三页