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1、1第1页/共33页2一、二次型的标准形一、二次型的标准形定义下面介绍二次型化为标准形的方法。第2页/共33页31 1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形、用拉格朗日配方法化二次型为标准形拉格朗日配方法的基本步骤：2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;第3页/共33页4例1用配方法化二次型 解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。含有平方项去掉配方后多出来的项第4页/共33页5标准形为所用变换
2、矩阵为第5页/共33页6例2用配方法化二次型 解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。所给二次型中无平方项，所以先作线性变换原二次型化为第6页/共33页7再配方，得标准形为第7页/共33页8所用变换矩阵为对应的线性变换为第8页/共33页92 2、用正交变换法化二次型为标准形、用正交变换法化二次型为标准形定理任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。而由正交阵性质可知，因此这样的正交 第9页/共33页10用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第10页/共33页11例3用正交变换将二次型 解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵第11页/共33页12第12页/共
3、33页13再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵正交化，第13页/共33页14于是所求正交变换为标准形为第14页/共33页15例4用正交变换将二次型 解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵第15页/共33页16第16页/共33页17第17页/共33页18正交化，第18页/共33页19第19页/共33页20再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵所作正交变换为标准形为第20页/共33页21例5解第21页/共33页22由题意,这两个矩阵相似,第22页/共33页23二、二次型的规范形二、二次型的规范形一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，
4、其标准形一般来说是不唯一的。但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩 实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。第23页/共33页24定理(惯性定理)p为正惯性指数,正负惯性指数的差 称为二次型的符号差.为负惯性指数,无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数)唯一确定.第24页/共33页25继续作可逆线性变换矩阵形式为第25页/共33页26二次型化为称之为二次型的规范形.定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是唯一的.化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换。第26页/共33页27练习：P222 习题五第27页/共33页28END第28页/共33页29选用例题选用例题1、用配方法化二次型 为标准形，并写出对应的可逆线性变换。解所给二次型中无平方项，所以先作线性变换第29页/共33页30所用可逆线性变换为第30页/共33页31化为标准型，并指出 表示何种二次曲面.2、求一正交变换，将二次型解对应特征向量为第31页/共33页32再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵二次型的标准形第32页/共33页33感谢您的观看！第33页/共33页