随机变量的数值特征幻灯片.ppt

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1、随机变量的数值特征第1页，共96页，编辑于2022年，星期三一、数学期望的概念一、数学期望的概念三、数学期望的性质三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望第一节 数学期望第2页，共96页，编辑于2022年，星期三一、数学期望的概念 引例引例 甲，乙两射击选手进行射击训练，已知在甲，乙两射击选手进行射击训练，已知在100次射次射击中命中环数与次数记录如下：击中命中环数与次数记录如下：甲：甲：环数环数 8 9 10 乙：乙：环数环数 8 9 10 次数次数 30 10 60 次数次数 20 50 30试问如何判定甲，乙两射击选手的技术优劣？试问如何判定甲，乙两射击选手

2、的技术优劣？解：解：用平均命中环数进行比较用平均命中环数进行比较甲的平均命中环数：甲的平均命中环数：第3页，共96页，编辑于2022年，星期三乙的平均命中环数：乙的平均命中环数：故可以认为甲的技术比乙的好。故可以认为甲的技术比乙的好。分析：分析：若设若设X是命中的环数，则是命中的环数，则X是一是一r.v.r.v.，它的可能取，它的可能取值为值为0 0，1 1，1010。上述所求的平均命中环数可看作。上述所求的平均命中环数可看作是是r.v.X的的观测值（观测值（8 8，9 9，1010）的算术平均值，是以频率）的算术平均值，是以频率（0.30.3，0.10.1，0.60.6或或0.20.2，0.

3、50.5，0.30.3）为权数的加权平均。）为权数的加权平均。第4页，共96页，编辑于2022年，星期三 平均命中环数平均命中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值 “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加第5页，共96页，编辑于2022年，星期三1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望简称简称期望或均值期望或均值。第6页，共96页，编辑于2022年，星期三说明说明“绝对收敛绝对收敛”保证期望存在及唯一；保证期望存在及唯一；数学期望数学期

4、望实际实际上就是上就是以概率为权数的加权平均；以概率为权数的加权平均；r.v.r.v.X的期望也就是它服从的分布的期望。的期望也就是它服从的分布的期望。注注：并非所有的随机变量都存在数学期望。：并非所有的随机变量都存在数学期望。第7页，共96页，编辑于2022年，星期三例例1 1 设设r.v.r.v.X服从服从0-10-1分布，求分布，求E(E(X)。解：解：r.v.r.v.X的分布律为：的分布律为：X 0 1 P 1p p也称也称0-10-1分布的分布的期望为期望为 p 第8页，共96页，编辑于2022年，星期三书书P94例例6第9页，共96页，编辑于2022年，星期三解：解：例例3 3 掷

5、两枚均匀硬币，掷两枚均匀硬币，表示出现正面的次数，表示出现正面的次数，求求 。先求出先求出r.v.的分布律的分布律0 1 2P再求再求 的期望的期望第10页，共96页，编辑于2022年，星期三到站时刻到站时刻概率概率例例4 4第11页，共96页，编辑于2022年，星期三解解第12页，共96页，编辑于2022年，星期三第13页，共96页，编辑于2022年，星期三2.连续型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望说明说明 可与离散型可与离散型r.v.X的期望公式比较，帮助记忆。的期望公式比较，帮助记忆。第14页，共96页，编辑于2022年，星期三例例1 1 设设r.v.r.v.X ，求，求E(E(X

6、)。解：解：r.v.r.v.X的概率密度函数为：的概率密度函数为：故故ab00书书P94例例7第15页，共96页，编辑于2022年，星期三第16页，共96页，编辑于2022年，星期三解解因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例如例如 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?第17页，共96页，编辑于2022年，星期三定理定理 设设 是连续函数，是连续函数，若若 绝对收敛，

7、则有绝对收敛，则有二、随机变量函数的数学期望（）若）若X是离散型随机变量，它的分布律为是离散型随机变量，它的分布律为（）若）若 X 是连续型的是连续型的,它的概率密度为它的概率密度为 f(x),则则第18页，共96页，编辑于2022年，星期三第19页，共96页，编辑于2022年，星期三第20页，共96页，编辑于2022年，星期三二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望第21页，共96页，编辑于2022年，星期三解解例例3 设设(X,Y)的分布律为的分布律为第22页，共96页，编辑于2022年，星期三由于由于第23页，共96页，编辑于2022年，星期三第24页，共96页，编辑于202

8、2年，星期三1.设设 C 是常数是常数,则有则有证明证明2.设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，C 是常数是常数,则有则有证明证明例如例如三、数学期望的性质第25页，共96页，编辑于2022年，星期三4.设设 X,Y 是是相互独立相互独立的随机变量的随机变量,则有则有3.设设 X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有证明证明说明说明 用连续型随机变量用连续型随机变量 X 的数学期望的定义可类似证明。的数学期望的定义可类似证明。可利用期望的性质求可利用期望的性质求r.v.（函数）的期望。（函数）的期望。第26页，共96页，编辑于2022年，星期三则有则有例例1解解X的分布律为的分布律

9、为第27页，共96页，编辑于2022年，星期三另解另解第28页，共96页，编辑于2022年，星期三解解例例12第29页，共96页，编辑于2022年，星期三第30页，共96页，编辑于2022年，星期三一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差第二节方差第31页，共96页，编辑于2022年，星期三一、随机变量方差的概念及性质 引例引例 有两只股票的五次投资收益如下有两只股票的五次投资收益如下甲：甲：收益收益 78 80 82 乙：乙：收益收益 75 80 90 次数次数 1 3 1 次数次数 2 2 1问哪只股票适合投资好？问哪只股票适合投

10、资好？但分析发现甲的收益但分析发现甲的收益比较稳定，而乙的收益起伏较大，这就是它们的比较稳定，而乙的收益起伏较大，这就是它们的差别。描述这种差别的量就是方差。差别。描述这种差别的量就是方差。乙的平均收益乙的平均收益=（752+802+901）5=80。两股票的平均收益相同；两股票的平均收益相同；解：解：甲的平均收益甲的平均收益=（781+803+821）5=80第32页，共96页，编辑于2022年，星期三说明说明 ，其中，其中E(X)视作为一个常数；视作为一个常数；定义定义 设设 是任一是任一 r.v.，若，若 存在，存在，则称它为则称它为r.v.的方差，记作的方差，记作 ，即，即 称称 为为

11、r.v.的标准差（或均方差）。的标准差（或均方差）。XXX 当当 较大时，表示较大时，表示r.v.的取值比较分散；的取值比较分散；当当 较小时，表示较小时，表示r.v.的取值比较集中，的取值比较集中，即即 刻画了刻画了r.v.取值的离散程度，取值的离散程度，XXX1.第33页，共96页，编辑于2022年，星期三离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差2.随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1)利用定义计算利用定义计算 第34页，共96页，编辑于2022年，星期三(2)利用公式计算利用公式计算其中其中X是离散型是离散型r.v.X是连续型是连续型r.v

12、.第35页，共96页，编辑于2022年，星期三证明证明第36页，共96页，编辑于2022年，星期三证明证明3.方差的性质方差的性质(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证明证明第37页，共96页，编辑于2022年，星期三(3)设设 X,Y 相互独立相互独立,D(X),D(Y)存在存在,则则证明证明第38页，共96页，编辑于2022年，星期三推广推广第39页，共96页，编辑于2022年，星期三1.两点分布两点分布 已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有二、重要概率分布的期望和方差第40页，共96页，编辑于

13、2022年，星期三2.二项分布二项分布 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n,p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为第41页，共96页，编辑于2022年，星期三第42页，共96页，编辑于2022年，星期三3.泊松分布泊松分布 则有则有第43页，共96页，编辑于2022年，星期三所以所以第44页，共96页，编辑于2022年，星期三4.均匀分布均匀分布则有则有第45页，共96页，编辑于2022年，星期三结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.第46页，共96页，编辑于2022年，星期三5.指数分布指数分布 则有则有第47页，共96页，编辑于20

14、22年，星期三第48页，共96页，编辑于2022年，星期三6.正态分布正态分布则有则有第49页，共96页，编辑于2022年，星期三第50页，共96页，编辑于2022年，星期三第51页，共96页，编辑于2022年，星期三第52页，共96页，编辑于2022年，星期三结论结论例如例如且且X，Y相互独立相互独立求求 的分布的分布+1第53页，共96页，编辑于2022年，星期三解解例例8第54页，共96页，编辑于2022年，星期三分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布第55页，共96页，编辑于2022年，星

15、期三契比雪夫不等式契比雪夫不等式 切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式也可以写成切比雪夫不等式也可以写成第56页，共96页，编辑于2022年，星期三得得证明证明取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.第57页，共96页，编辑于2022年，星期三设设电电站站供供电电网网有有10000盏盏电电灯灯，夜夜晚晚每每一一盏盏灯灯开开灯灯的的概概率率都都是是0.7，而而假假定定开开、关关时时间间彼彼此此独独立立，估估计计夜夜晚晚同同时时开开着的灯数在着的灯数在6800与与7200之间的概率。之间的概率。利用切比雪夫不等式估计利用切比雪夫不等式估计补例补例第58页，共96页，编辑于2

16、022年，星期三 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论），我们除了讨论X与与Y的数学的数学期望和方差以外，还要讨论描述期望和方差以外，还要讨论描述X和和Y之间关系的数字特之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数第59页，共96页，编辑于2022年，星期三 量量E X-E(X)Y-E(Y)称为随机变量称为随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y)，即即 一、协方差一、协方差2.简单性质简单性质Cov(X,Y)=E X-E(X)Y

17、-E(Y)1.定义定义(1)Cov(X,C)=0,C为常数；为常数；(2)Cov(X,X)=D(X)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)第60页，共96页，编辑于2022年，星期三(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(5)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b 是常数是常数(7)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)(4)Cov(aX+b,Y)=a Cov(X,Y)a,b 是常数是常数第61页，共96页，编辑于2022年，星期三 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，可见，若若X 与与 Y 独立，独立，则则Cov(X,Y

18、)=0.3.计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即即第62页，共96页，编辑于2022年，星期三 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的相互间的关系，但它还受关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响.例如：例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就为了克服这一缺点，对协方差进行

19、标准化，这就引入了引入了相关系数相关系数.第63页，共96页，编辑于2022年，星期三二、相关系数二、相关系数为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数.定义定义:设设D(X)0,D(Y)0,称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .第64页，共96页，编辑于2022年，星期三相关系数的性质：相关系数的性质：证证:由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b,有有0D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y)令令，则上式为，则上式为 D(Y-bX)=由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1-0,所以所以

20、|1。第65页，共96页，编辑于2022年，星期三存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY=a+b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.第66页，共96页，编辑于2022年，星期三3.X和和Y独立时，独立时，=0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.第67页，共96页，编辑于2022年，星期三例例1 P108 但不独立！但不独立！第68页，共96页，编辑于2022年，星期三4.若若 ，称称X和和Y不相关。不相关。定理：定理：若随机变量若随机变量X与与Y的

21、方差都存在，且均不的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价。为零；则下列四个命题等价。（1）；（2）cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=EXEY；（4）D(X Y)=DX+DY。第69页，共96页，编辑于2022年，星期三但可以证明对下述情形，独立与不相关等价但可以证明对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关，不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.第70页，共96页，编辑于20

22、22年，星期三设(X,Y)服从二维正态分布,它的概率密度为则可以证明X,Y的相关系数rXY正好就是r,即rXY=r,而且服从二维正态分布的随机变量X,Y相互独立的充分必要条件是此相关系数为0.第71页，共96页，编辑于2022年，星期三三、例题讲解三、例题讲解三、例题讲解三、例题讲解(Ex32,33)1、第72页，共96页，编辑于2022年，星期三1、解、解第73页，共96页，编辑于2022年，星期三1、解、解第74页，共96页，编辑于2022年，星期三1、解、解第75页，共96页，编辑于2022年，星期三2、解解第76页，共96页，编辑于2022年，星期三一、一、原点矩原点矩 中心矩中心矩定

23、义定义 设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 存在，称它为存在，称它为X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k阶矩阶矩.存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.可见，均值可见，均值 E(X)是是X一阶原点矩，方差一阶原点矩，方差D(X)是是X的二阶中心矩。的二阶中心矩。第77页，共96页，编辑于2022年，星期三协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+L 阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若存在，存在，称它为称它为X 和和 Y 的的 k+L 阶混合中心矩阶混合中心矩.设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机

24、变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，第78页，共96页，编辑于2022年，星期三二、二、协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.这是一个非这是一个非负定对称矩阵负定对称矩阵第79页，共96页，编辑于2022年，星期三 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。都存在都存在,(i,j=1,2,n)若若矩阵矩阵称称第80页，共96页，编辑于2

25、022年，星期三三、三、n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度f(x1,x2,xn)则称则称 X 服从服从 n 元正态分布元正态分布.其中其中C是是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.|C|是它的行列式，是它的行列式，表示表示C的逆矩阵，的逆矩阵，X 和和 是是 n 维列向量，维列向量，表示表示X 的转置的转置.设设 =(X1,X2,Xn)是一个是一个n维随机向量维随机向量,若它的概率密度为若它的概率密度为第81页，共96页，编辑于2022年，星期三n元正态分布的几条重要性质元正态分布的几条重要性质1.X=(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+a2 X2+

26、an Xn 均服从正态分布均服从正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数 a1,a2,an，由此得到，由此得到，n维正态变量维正态变量(X1,X2,Xn)的每的每一个分量一个分量Xi都是正态随机变量；反之，若每个分都是正态随机变量；反之，若每个分量量Xi都是正态随机变量，且它们相互独立，则都是正态随机变量，且它们相互独立，则(X1,X2,Xn)是是n维正态变量。维正态变量。第82页，共96页，编辑于2022年，星期三若若 X=(X1,X2,Xn)服从服从 n 元正态分布元正态分布，Y1,Y2,，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数的线性函数，则则(Y1,Y2,，Yk)也服从多元正态

27、分布也服从多元正态分布.2.正态变量的线性变换不变性正态变量的线性变换不变性.3.设设(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布，则则“X1,X2,Xn相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2,Xn两两不相关两两不相关”第83页，共96页，编辑于2022年，星期三 例例 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2),YN(0,1).试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X 和和Y 的联合分布为正态分布的联合分布为正态分布，X 和和Y 的任意线性组合的任意线性组合是正态分布是正态分布.解解:XN(1,2),YN(0,1)，且且 X 与与Y 独立独立,D(Z

28、)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z),D(Z)第84页，共96页，编辑于2022年，星期三故故 Z 的概率密度是的概率密度是ZN(5,32)例例(Ex34)设随机变量设随机变量X,Y独立独立,均服从正态分布均服从正态分布 令令U=aX+bY,V=aX-bY,问常数问常数a,b满足什么条件时满足什么条件时随机变量随机变量U,V相互独立？相互独立？第85页，共96页，编辑于2022年，星期三 例例 设随机变量设随机变量X,Y独立独立,均服从正态分布均服从正态分布 令令U=aX+bY,V=aX-bY,问常数问常数a,b满足什么条件时

29、满足什么条件时随机变量随机变量U,V相互独立？相互独立？第86页，共96页，编辑于2022年，星期三二、主要内容数学期望数学期望方方 差差离离散散型型连连续续型型性性 质质协协方方差差与与相相关关系系数数二二维维随随机机变变量量的的数数学学期期望望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的数学随机变量函数的数学期望期望定定 义义协方差的协方差的性质性质相关系数相关系数定理定理第87页，共96页，编辑于2022年，星期三三、典型例题 解解例例1P-2020.40.30.3求求第88页，共96页，编辑于2022年，星期三例例2设设解解第89页，共96页，编辑于2022年，星期三例例3已知（已知（X，Y）的联合分布律为）的联合分布律为解解第90页，共96页，编辑于2022年，星期三第91页，共96页，编辑于2022年，星期三作业 第四章习题 第116-117页 第19、20、31题第92页，共96页，编辑于2022年，星期三解解例例4 4第93页，共96页，编辑于2022年，星期三解解第94页，共96页，编辑于2022年，星期三第95页，共96页，编辑于2022年，星期三备备 用用 例例 题题第96页，共96页，编辑于2022年，星期三