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1、会计学1微分法在几何上的应用课件微分法在几何上的应用课件PPT学习学习1、引例一、一元向量值函数及其导数空间曲线 的参数方程:得 的向量方程 对 上的动点M,即 是此方程确定映射,称此映射为一元向量值函数.的终点M 的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.第1页/共26页2、一元向量值函数的定义定义:给定数集 D R,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量极限：连续：导数：严格定义略如第2页/共26页3、向量值函数导数的运算法则设是可导向量值函数,是可导函数,则C 是常向量,c 是任一常数,第3页/共26页4、向量值函数导数的几何意义在 R3中,设的终端曲线为,表示终
2、端曲线在t0处的切向量,其指向与t 的增长方向一致.,设几何意义:分析:第4页/共26页5、向量值函数导数的物理意义设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有 例1.设速度向量：加速度向量：解：第5页/共26页例2.设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解:的点处的单位切向量.所求单位切向量为方向与 t 增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为=6第6页/共26页例3.一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺旋式上升,求其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机任意时刻 t 的速率;(3)滑翔机加速度与速度正交的时刻.解:(1)(3)由即即仅在
3、开始时刻加速度与速度正交.第7页/共26页 在点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为写成曲线的向量方程法平面方程 切线方程二、空间曲线的切线与法平面【基本情形】第8页/共26页【解】切线方程法平面方程第9页/共26页对此类空间曲线可看成以x为参数的方程：法平面方程为切向量：【特殊情形1】基本情形第10页/共26页空间曲线方程为切向量为（一般式）其中由方程组确定的隐函数求导法求,将切向量 代入基本情形即得切线方程和法线方程【特殊情形2】基本情形第11页/共26页【解】曲线方程等价于第12页/共26页所求切线方程为法平面方程为第13页/共26页1.【曲面方程为隐式曲线在M 处的切向量在曲
4、面上任取一条过点M的曲线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线的情形】可导令事实上,由即则第14页/共26页切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.第15页/共26页2.特殊地：【曲面方程为显式情形 】故曲面在M 处的切平面方程为曲面在M 处的法线方程为令则法向量为第16页/共26页在点M 的切平面的方程：一元函数微分几何意义 第17页/共26页切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M 处的切平面方程为第18页/共26页其中4.【法向量的方向余弦】若曲面为显式第19页/共26页【解】令切平面方程法线方程【
5、分析】为隐式情形第20页/共26页【解】切平面方程为法线方程为【分析】为显式情形【注】也可化为隐式情形求解.第21页/共26页【解】设 为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得【分析】为隐式情形（待定常数法）第22页/共26页因为 是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)第23页/共26页1.空间曲线的切线与法平面2.曲面的切平面与法线（显式、隐式两情形）（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结三、小结三、小结三、小结按空间曲线方程的形式有三种情形第24页/共26页【思考题】【思考题解答】设切点依题意知平面的法向量为切点满足曲面和平面方程第25页/共26页