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1、9.8 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 主要内容主要内容 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为的方
2、程为MM ,000zzzyyyxxx ,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tt
3、y ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzzxyy,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(00000 zzxzyyxyxx法平面方程为法平面方程为切切线线方方程程为为特殊地：特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平
4、面方程为. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy确定确定y=y(x),z=z(x). 曲线切线的方向向量为曲线切线的方向向量为: 1, y (x) , z (x)0 , 曲线方程曲线方程两边对两边对x求偏导后可得到求偏导后可得到:例例 2 2 求求曲曲线线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxd
5、xdz 由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz例例 2 2 求求曲曲线线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程.解解3 3 曲线在点（曲线在点（1，-2，1）的切线向量）的切线向量1, 0 , 1611122200 zyxkjiGGGFFFkjiszyxzyx设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切
6、向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令则则,Tn 由于曲线是曲面上通过由于曲线是曲面上通过M的任意一条的任意一条曲线，它们在曲线，它们在M的切线都与同一向量的切线都与同一向量n 垂直，故垂直，故曲面上通过曲面上通过M的一切曲线在点的一切曲线在点M的切线都在同一的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点平面上，这个平面称为曲面在点M的的切平面切平面. .切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000
7、000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,
8、(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为全微分的几何意义全微分的几何意义),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的
9、竖坐标的增量. 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它与与z轴轴的的正正向向所所成成的的角角 是是锐锐角角，则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 , 1 , 2(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1,
10、2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx例例 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平平行
11、行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程.解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面
12、方程切平面方程(2)例例6 .)(过过原原点点任任一一点点处处的的切切平平面面都都通通证证明明曲曲面面上上xyxfz , )(,),(00000000 xyfxzzyxM 则则在在曲曲面面上上设设点点,)(1)(,)()()( )()(0000000000020000000000 xyfxxyfxyzxyfxyxyfxyxyfxxyfxzMM )()()(000000000000yyxyfxxxyfxyxyfzzM 的的切切平平面面过过点点解解:yxyfxxyfxyxyfz)()()(:00000000 即即例例7 .0),(量量平平行行的的所所有有切切平平面面与与一一定定矢矢证证明明曲曲面面
13、 bzcyazcxF,21210FbFaFcFczFyFxFnP 解解:曲面曲面s在点在点P0的法矢量的法矢量., 0,平平行行所所有有的的切切平平面面均均与与矢矢量量即即曲曲面面上上满满足足与与矢矢量量不不难难看看出出LLncbaLn 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）三、小结三、小结思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求
14、.思考题解答思考题解答,2,2,6000zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知切向量为依题意知切向量为3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 一、一、 填空题填空题: :1 1、 曲线曲线2,1,1tzttyttx 再对应于再对应于1 t的点的点处切线方程为处切线方程为_； 法平面方程为法平面方程为_._.2 2、 曲面曲面3 xyzez在点在点)0 , 1 , 2(处的切平面方程为处的切平面方程为_； 法线方程为法线方程为_._.二、二、 求出曲
15、线求出曲线32,tztytx 上的点上的点, ,使在该点的切使在该点的切线平行于平面线平行于平面42 zyx. .三、三、 求球面求球面6222 zyx与抛物面与抛物面22yxz 的交线的交线在在)2 , 1 , 1(处的切线方程处的切线方程 . .练练 习习 题题四、求椭球面四、求椭球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. .五、试证曲面五、试证曲面)0( aazyx上任何点处的上任何点处的 切平面在各坐标轴上的截距之和等于切平面在各坐标轴上的截距之和等于a . .一、一、1 1、011682 ,8142121 zyxzyx； 2 2、 02112, 042zyxyx. .二、二、)271,91,31()1, 1 , 1(21 PP及及. .三、三、 0202021111zyxzyx或或. .四、四、2112 zyx. .练习题答案练习题答案