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1、7.5 正态分布高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”情境引入问题正态分布有哪些应用？提示正态分布在概率和统计中占有重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布新知探索1.1.两点分布：两点分布：X01P1-pp2.2.超几何分布：超几何分布：3.3.二项分布：二项分布：X01knPX01knP复习旧知4.连续性随机变量 连续型随机变量是指可以取某一区间的一切 值的随机变量,又称作连续型随机变量但取一
2、点的概率为0。问题:自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多 或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用 X 表示这种误差，则X 是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差 X(单位:g)的观测值如下:-0.6-1.4-0.7 3.3-2.9-5.2 1.4 0.1 4.4 0.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5-3.7 2.7 1.1-3.0-2.6-1.9 1.7 2.6 0.4 2.6-2.0-0.2 1.8-0.7
3、-1.3-0.5-1.3 0.2-2.1 2.4-1.5-0.4 3.8-0.1 1.5 0.3-1.8 0.0 2.5 3.5-4.2-1.0-0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9-0.6-4.4-1.1 3.9-1.0-0.6 1.7 0.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.8 1.7 1.4 4.4 1.2-1.8-3.1-2.1-1.6 2.2 0.3 4.8-0.8-3.5-2.7 3.8 1.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.3 1.5-1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7-0.9(1).如何描述这100个样本误差数据的分布?(2).如何构建适当的概率模型刻
4、画误差X的分布?新知探索 可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.曲线与水平轴之间的面积为1任意抽取一袋盐，误差落在-2,-1内的概率如何表示?可以用图中黄色阴影部分的面积表示.2.正态密度曲线（简称正态曲线正态曲线）0YX相应的函数解析式为：称为正态密度函数新知探索新知探索正态分布的定义y012-1-2x-33=0=1具有两头低、中间高、左右对称的基本特征012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2正态曲线的性质新知探索012-1-2xy-3=-
5、1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2(1)对称性:曲线是单峰的,它关于直线x=对称.(2)最值性:曲线在x=处达到峰值(最高点)x=mx=mx=m(3)当 无限增大时，曲线无限接近 轴.新知探索新知探索新知探索例2.解:26 30 3438ty(2)如右图1.例2.26 30 3438ty3.正态分布的 原则1 正态曲线正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)_，xR，其中R，0为参数显然对于任意xR，f(x)0，它的图象在x轴的上方可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1我们称f(x)为_
6、，称它的图象为正态分布密度曲线，简称_若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X N(，2)，特别地，当0，_时，称随机变量X服从标准正态分布正态密度函数正态曲线1新知探索2由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点(1)曲线是单峰的，它关于直线_对称；(2)曲线在x处达到峰值_；(3)当 无限增大时，曲线无限接近x轴3正态分布的期望与方差若XN(，2)，则E(X)_，D(X)_x2新知探索4正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(X)_；(2)P(2X2)_；(3)P(3X3)_在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取3，3中的
7、值，这在统计学中称为3 原则.0.682 70.954 50.997 3新知探索提示函数中的意义为标准差2正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的 ()提示正态曲线与x轴围成的面积为定值1.3正态曲线可以关于y轴对称 ()新知探索答案C新知探索2设随机变量XN(，2),且P(Xc)P(Xc),则c等于()A0 B C D解析由P(Xc)P(Xc)，知xc为对称轴，又由XN(，2)知对称轴为x，故c.答案D新知探索10.新知探索题型一正态曲线的图象的应用【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差练习巩固练习巩固
8、练习巩固解由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即0，练习巩固题型二利用正态分布的对称性求概率【例2】设XN(1，22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)解XN(1，22)，1，2，(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 7.(2)P(3X5)P(3X1)，练习巩固练习巩固(变换所求)例2条件不变，求P(X5)练习巩固(变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)0.8，则P(0X2)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2.P(X4)0.8，P(X4)P(X0)
9、0.2，P(0X4)0.6.P(0X2)0.3.故选C.答案C练习巩固规律方法利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间概率相等如：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)(2)“3”法：利用X落在区间，2，2，3，3内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解练习巩固变2设XN(1，1)，试求：(1)P(0X2)；(2)P(2X3)；(3)P(X3)解XN(1，1)，1，1.(1)P(0X2)P(11X11)P(X)0.682 7.练习巩固(2)P(2X3)P(1X0)，练习巩固(3)P(X3)P(
10、X1)，练习巩固题型三正态分布的实际应用【例3】某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52)质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？解由于外直径XN(4，0.52)，则X在430.5，430.5之内取值的概率为0.997 3，在2.5，5.5之外取值的概率为0.002 7，而5.72.5，5.5，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的练习巩固规律方法解题时，应当注意零件尺寸应落在3，3之内，否则可以认为该批产品不合格判断的根据是小概率事件在一次
11、试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格练习巩固变3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在8085分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？解成绩服从正态分布N(80，52)，80，5，则75，85.成绩在75，85内的同学占全班同学的68.27%，成绩在80，85内的同学占全班同学的34.135%.练习巩固设该班有x名同学，则x34.135%17，解得x50.2801070，2801090，成绩在70，90内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.即有502.275%1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.练习巩固1.正态曲线及正态密度函数2.正态分布3.正态曲线的性质(1)对称性:曲线是单峰的,它关于直线x=对称.(2)最值性:曲线在x=处达到峰值(最高点)(3)当 无限增大时，曲线无限接近 轴.课堂小结4.正态分布的 原则课堂小结