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1、3专题0 1集合专辑.4专题0 2常用逻辑用语.11专题0 3函数性质.20专题04 函数与导数.30专题0 5三角函数与解三角.41专题0 6平面向量.53专题07 数 列.63专题0 8不 等 式.74专题09 立体几何.89专 题10 解析几何.107专 题1 1排列组合二项式定理.141专 题12 概率与统计.152专 题1 3算法、推理与证明、复数.177专 题1 4极坐标与参数方程、不等式选讲.190专题1 5分段函数的性质、图象以及应用.214专 题1 6基本初等函数中含有参数问题.228专题1 7函数、数列、三角函数中大小比较问题.239专 题1 8函数、不等式中恒成立问题.2
2、53专 题1 9数列中的最值问题.267专题2 1几何体与球切、接的问题.283专题2 2几何体的表面积与体积的求解.299专题2 3与圆有关的最值问题.311专题2 4立体几何角的计算问题.319专题2 5椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用.337专题2 6圆锥曲线的“三定”与探索性问题.351专题2 7概率与统计相结合问题.3691/397专题0 1集合专辑钎为考1.【高考全国I卷理数2 设集合A=xpvM wO,8=x|2 x+iE 0,且4 nB=+2灸1,则“=()A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】B【思路导引】由题意首先求得集合A,B,然后结合交集的结果得到关于”的方程,
3、求解方程即可确定实数a的值.【解析】求解二次不等 式 炉4 40可得:A=x -2 x 2 ,求解一次不等式2 x+a W0可得:8 =.由于 Ac3=x|2 W x W 1 ,故:一 =1,解得:&=2 .故选 B.I 为 2【专家解读】本题的特点是注重基础,本题考查了一元二次不等式的解法、含参数的一元一次不等式的解法,考查利用集合的交集运算求参数的值,考查数形结合思想,考查数学运算及直观想象等学科素养.解题关键是 正确求解一元二次不等式,应用数形结合法求参数的值.2.【高考全国1 1卷理数1】已知集合。=-2,-1,0,1,2,3,4 =-1,0,1,8 =1,2,则 鼠4 B)=()A.
4、-2,3 B.-2,2,3 C.-2,-1,0,3 D.-2 ,-1 ,0,2,3)【答案】A【思路导引】首先进行并集运算,然后计算补集即可.【解析】由题意可得:A uB=-l,0,l,2 ,则3 u(A 8)=-2,3 .故 选A.【专家解读】本题的特点是注重基础,本题考查了集合的并集和补集运算,考查数学运算学科素养.解题关键是正确理解并集和补集的含义.3.【高考全国川卷文数1】已知集合 A =1,2,3,5,7,1 1,B =x|3 x 1 5,贝 I J A C B 中元素的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【思路导引】采用列举法列举出A B中元素的即可.【解析】由题意,
5、A I 8=5,7,1 1,故A 8中元素的个数为3,故 选B2/397【专家解读】本题的特点是注重基础,本题考查了,考查集合的交集运算,考查集合的含义,考查数学运算学 科素养.4.【高考江苏卷1】己知集合4 =-1,0,1,2,8=0,2,3,则4 B=J.【答案】0,2.【解析】由题知,A B=0,2 .【专家解读】本题的特点是注重基础,本题考查集合的交集运算,考查数学运算学科素养.解题关键是正确集 合交集的含义.神考匐一、考向分析:二、考向讲解考查内容解题技巧元素的特征确定性:是指作为一个集合的元素必须是明确的,不能确定的对象不能构成集合.也 就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个
6、集合的元素是确定的.互异性:对于给定的集合,其中的元素一定是不同的,相同的对象归入同一个集合时 只能算作集合的一个元素.无序性:对于给定的集合,其中的元素是不考虑顺序的.如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个集合.(4)解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(5)关注点:利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合,应注意集合中元素的特性,即确定性、互异性和无序性.集合的表示(1)使用列举法表示集合的四个注意点元素间用“,”分隔开,其一般形式为 a”a 2,,a”;元素不重复,满足元素的互异性;元素无顺序,满足元素的无序性;对于
7、含有有限个元素且个数较少的集合,采取该方法较合适;若元素个数较多或有无3/397限个且集合中的元素呈现一定的规律,在不会产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作 为代表,其他元素用省略号表示.(2)利用描述法表示集合应关注五点写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合 x C R|x l 不能写成 x l .所有描述的内容都要写在花括号内.例如,x e z|x=2 k ,k e z,这种表达方式就不符合要求,需 将k G Z也写进花括号内,即 x Z|x =2 k,k GZ).不能出现未被说明的字母.在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方 程x2-2 x+1 =
8、0的实数解集可表示为 x e R|X2 2X+1 =0 ,也可写成X|X2-2X+1 =0 .在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如 直角三角形,自然数 等.集合的关系(1)对子集概念的理解集合A是集合B的子集的含义是:集 合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由 x GA 能推出 x GB.例如 0,1 =1,0,1 ,则 0 0,1 ,0 -1,0,1).如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么集合A不包含于B,或B不包含A.此时记作A B或B 2 A.注 意 符 号 与 U 的区别:只用于集合与集合之间,如 0 U N.而不能写成 0 eN,“e”只能用于元素与集合之间.如0
9、 G N,而不能写成0 C N.(2)对真子集概念的理解在真子集的定义中,A B首先要满足A U B,其次至少有一个x C B,但x A.若A不 是B的子集,则A 一定不是B的真子集.(3)判断集合间关系的方法用定义判断.首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A C B,否 则A不是B的子集;其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B U A,否则B不是A的子集;若既有A U B,又 有B C A,则A=B.数形结合判断.对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.(1)理解并集应关注三点AUB仍是一个集合
10、,由所有属于A或 属 于B的元素组成.“或”的数学内涵的形象图示如下:4/397集合的运算的儿或4 8/窣、:缪 式WA,且4任84日,且 力 8 且与 星A若 集 合A和B中有公共元素,根据集合元素的互异性,则 在AUB中仅出现一次.(2)理解交集的概念应关注四点概念中“且即 同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素.概念中的“所有”两字不能省,否则将会漏掉一些元素,一定要将相同元素全部找出.当集合A和 集 合B无公共元素时,不能说集合A,B没有交集,而 是A n B=0.定义中“x d A,且x WB”与“x e(A C B)”是等价的,即由既属于A,又属于B的元素组成的
11、集合为A C B.而只属于集合A或只属于集合B的元素,不属于A A B.(3)理解补集应关注三点补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念.C u A包含三层意思:A U U;C u A是一个集合,且C u A U U;u A是由U中所有不属于A的元素构成的集合.若x G U,则x G A或x e C u A,二者必居其一.考查集合的表示:【例1】(2 02 1.北京人大附中模拟)已知集合A =(x,y)|x +y x【解析】由题意,A 8中的元素满手,且x,
12、”N,由x +y=822x,得x 4 4,|x +y=85/397所以满足x +y =8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故A 8中元素的个数为4.故 选C.【专家解读】本题的特点是注重基础,本题考查了二元一次方程及二元一次不等式混合组的整数解的解法,考查集合的交集运算,考查数学运算及直观想象等学科素养.解题关键是正确应用二元一次方程及二元一次不等 式混合组求整数解,理解集合交集的含义.【例3】(2 0 2 1 江 苏 南 通 高 三 期 中)若 集 合 x e Z|0 x 4;则(C;M)c N=()A.0 B.0,1 C.0,1,2 D.2,3,4)【答案】B【解析】N=
13、0,1,2,3,4 ,(RM=X|X01,URM)C l N=0,1 ,故选 B.【点睛】本题考查补集、交集的运算,描述法、列举法的定义,熟记交集,补集的定义是关键,是基础题.考查元素的特征:【例1】已知集合人=4+2,(a+1)2,4 2+3 4+3 ,且1 W A,则2 0 1 7 的值为.【解析】对集合A中的元素分情况讨论,当a+2=l时,a=-l,此时有(a+l)2=0,a2+3 a+3=,不满足集合中元素的互异性;当(“+1)2=1时,a=0或a=-2,当a=-2,则“2+3 a+3=l,舍去,经验证a=0时满足;当“2+3 a+3=l时,a=1或a=-2,由上知均不满足,故a=0,
14、则2 O I 7a=I.【例2】(2 0 2 1.河南南阳月考)M=x|6*2 5 x+l =0 ,P=x|ax=l ,若则a的取值集合为()A.2 B.3 C.2,3 D.0,2,3)【答案】D【解析】M =X|6X25X+1 =0=11,1 ,P=x 1 ,x-2 -l B.X 1 C.J|-1 X1 D.RX 2【答案】B【肝析】CA=x|xl .B=x -A-20=1X|(A-2)(X+I)0=.I|-1X 2 ,则(C A)I B=1 X1 .故 选,B.【点睛】本题考查集合的交并补运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.【例2】(2 0 2 1.甘肃兰州一中高三其他(文)已知集
15、合人=刈/。8 2=J匚1,则A B=()A.(-o o,2)B.(-o o,2 C.(0,2)D.0,+o o)【答案】D【解析】A=x|0 x 0 ,/.A B=0,+c o),故选 D .【点睛】考查描述法、区间的定义,对数函数的单调性,以及并集的运算.锦观型一、因忽视集合中元素的互异性而致误 例1 已知全集U=1,3,R+3 l+2 x 和它的子集A=1,I 2 x-l|,如果集合A在U中的补集为 0 ,求实数x的值.7/397【解析】因 为U=1,3,v+s r+l x ,且集合A在U中的补集为 0 ,所以 OG U,x3+3 x2+2 x=0,解 得 凶=0,x2=-l,X3=2.
16、当x=0时,A =1,1 ,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去;当x=-2时,A=1,5 U,不符合题意,故舍去;当x=-l时,A=l,3 U U,符合题意.综 上 所 述,实 数x的值为-1.二、忽视代表元素而致误 例 2 设 P=y仅=f,XS R ,Q=y y=2-x,x R),求 PCy Q.V=1 2,X 1,(X=-1,【错解】由 解得 或,所 以P A Q=(I,1),(-1,1).y 2 x l y=l l y=l,【剖析】上述解法混淆了集合的代表元素,本题中两个集合中的代表元素是y,而不是点的坐标.【正解】因为 P=y|y=x 2,x eR)=y|y 0 ,Q=y|y=2一|x
17、|,XeR =y|y 0 n y|y 2 =y|0 y 2 .三 因忽视区间端点而致误 例3 已知集合A =x|2-3 ,集 合B(x a x a+4,若 的8=。,求 实 数”的取值范围.【错解】因为 A=x|2 W x W 3 ,B =x|a x a+4),要使 A C l B=0,需满足 a+4 3,即 a 3,所以实数a的取值范围是(一8,-2)U(3,+o o).【剖析】上述解法的错误原因是忽视了集合A =x|2 W x W 3 的两个端点值2和3,事实上,当a=3时,B =x|3 x 7 ,满足 A P B=0.当 a+4=2 即 a=-2 时,B =x|-2 x 2 ,满足 A
18、C B=0.【正解】因为A=x|2 W x W 3 ,B=x|a x a+4),要使A A B=0,需满足史3或a+4 0 2,即它3或aS 2,所以实数a的取值范围是(-8,-2 U 3,+o o).四、因忽视空集的特殊性而致误【例 4 已知集合 A=X|%2_3X+2=0,Bx x2-ax+a-0,C=x l%2优+2=0 ,且 AUB=A,AQCC,求 实 数”及,7?的取值范围.【错解】由题意得,A=1,2 ,B =1,a-1 .由人口8=人 知B U A,所 以a-l=2,从 而a=3.由A A C=C知C A,设 方 程m x+2=0的两根分别为汨,期,则 的=2.由 人=1,2
19、知C=A,从而m=x i+x 2=3.【剖析】上述解法存在两个方面的错误:一是忽略了集合B中方程有两等根的情况;二是忽视了 C=。的情况.【正解】由题意得,A=(l,2,B =x|(x-l)x-(a-l)=0 .由A U B =A,知B U A,所以可能有两种情况:a1=2,即 a=3,此时 A=B;a1=1,即 a=2,此时 B =1 .若C=。,显然满足A C I C=C,此时,由=加一8 0得一22 m 2 2.若C#,设 方 程m x+2=0的两根分别为汨,处,则由照=2.由A n C=C知C u A,故有C=A,从 而m =+也=3.综上可知:a=3或a=2;m=3或一2.2 0 ,
20、因为函数/(九)单调递减,所以/(x +a)/(x)/(尤)+/(。),即/(x +a)/(%)+/(?).存在a0,当满足命题1时,使命题p成立,%:当。=/0时,/()=0 ,因为函数/(x)单调递增,所以/(x +a)/(x)=/(x)+/(),即/(x +a)/(x)+/(a),存在a/24【答案】【思路导引】利用两交线宜线确定一个平面可判断命题P 的真假;利用三点共线可判断命题的真假;利用异面直线可判断命题 3的真假,利用线面垂直的定义可判断命题”4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【解析】对于命题p i ,可设6与A相交,这两条直线确定的平面为若&与4相交,则交点A在平面a内
21、,同理4与4的交点B也在平面a内,,A B ua,即乙 I n Z?,则。人”的否命题;命题“若2-v 1.则x 0或y 0 ”;命题“若m =2,则直线x m y =0与直线2 x 4 y +l=0平行”的逆命题.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】的逆命题为“若a b,则I n aI n 6 ,由对数定义域可知该命题为假命题,故否命题也为假命题;的逆否命题为“若x40且y 40,则 该 命 题 为 真 命 题,故为真命题;的逆命题为“若直线x -m y =0与直线2 x 4 y +l=0平行,则 机=2 ,该命题为真命题.综 上 可 知,正确的为,故选:C.【点睛】本题考查了命
22、题与逆否命题、否命题与逆命题、命题与逆命题的真假关系应用,属于基础题.考查充分必要条件 例1 (2 0 2 1广西钦州市、崇左市一模)已知a,be R,a|*是“咖b网”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意,若a W则a#0,则a0且“人,所以|=,则 而|他|成立.当a=l/=一2时,满足用|,但 八 卜 仁一定成立,所 以a 4人混,“目的充分不必要条件,故16/397选A.【例2】(2 0 2 1.湖北高三月考)已知A =x 1 x 4 B.a 5 D.a 5【答案】C【解析】因为A =x|lx 2 ,V x e A
23、,Y a 0为真命题,所以。乂 百 诬,x e A,因为函数/(x)=Y在 1,2 上单调递增,所以,)3=4,所以”之4,又因为 5,+8)。4,+8),所以命题“V x e A,/&W 0,A x x =(5-。)I?J是减函数,若P v q和可都为真命题,则实数a的取值范围是()A.a 2 B.2 a 4 C.a 4 D.a 4【答案】A【解析】由。vq为真命题,P为真命题,得P为假命题,令 为真命题.由P:函数y =lo g f x?+2 x +a为假命题得,三+2%+。在R上不恒成立,2卜 J 2即=4-2 t z 0=a 2.由4:函数y =(5 a),是减函数,即:y =(5 a
24、)*是增函数,即5 所以:a 2,故选A.【点睛】本题主要考查逻辑联结词 或、“且”、非”,命题的真假判断,属于中档题.【例2】设命题/0)=馆(渡 4 x+a)的定义域为R;命题0不 等 式 常+工 城+以 在 工 (一8,一 1)上恒成立,如果命题“p Vq”为真命题,命 题“p Nq”为假命题,则实数。的 取 值 范 围 为.【答案】1,2【解析】对于命题p:A 0,故a2;对于命题q:a2 x-?+l在Xe(-o o,-1)上恒成立,又函数X2 f 2 x+1 1丫=2元-一+1为增函数,所以I Y J l.命题“p Vq”为真命题,命题“p/q 为假命题,等 价 于p,qx依 W 2
25、,一真一假,即.或 故1.ap)V(F)_,:.3ae R,s i n a+co s a=故命题 p为真命【例 1】(2 0 2 1.黑龙江萨尔图.大庆实验中学月考)已知命题P:m a e R,s i n a+co s 唉 5,或 题4 正数的4对数都是正数,则下列命题中为真命题的是(A.(-p)vq B.C.(/?)A(i)D.【答案】D【解析】s i n a+co s a=W2 s i n(z+_ ,题;命题/正 数的对数都是正数.是假命题,当 x=l时,对数值为0,命题为假,命题为真,.()v 为真命题,故 选 D.【点睛】本题考查了特称命题、复合命题的真假判断、三角函数诱导公式的应用以
26、及对数性质,属于中档题目,题目综合性较强,在解题过程中需要对知识点准确应用,尤其是复合命题的真假判断容易出错.【例 2】若命题“MCR,与+(-1)沏+1 0”是真命题,则实数a 的取值范围是()A.-1,3 B.(1,3)C.(oo,-1 U 3,+co)D.(co,1)U(3,+8)【答案】D【解析】因为命题f x o W R,高+3 1,。+1 0,即 a2-2 a-3 0,解得 a 3,故选 D.讲方法充分条件与必要条件判定的三种方法1.定义法:若 p n q,则 p是 q的充分条件;(2)若 q=p,则 p是 q的必要条件;若 p=q 且 q=p,则 p 是 q的充要条件;若 p=q
27、 且 q H p,则 p是 q的充分不必要条件;(5)若 p=A q 且 q=p 则 p是 q的必要不充分条件;若 pRq且qp,则 p是 q的既不充分也不必要条件.2.利用集合间的包含关系判断:记条件p,q对应的集合分别是A,B,则(1)若 AUB,则 p是 q的充分条件或q是 p的必要条件;(2)若 AUB,则 p是 q的充分不必要条件,或 q是 p的必要不充分条件;*(3)若 人=8,则 p是 q的充要条件;18/397(4)若A B B,且A R B,则p是q的既不充分也不必要条件.3.等价法:利 用p=q与rq=p,q=p与一 p=q,p o q与 q o rp的等价关系.【例1X2
28、021渝中重庆巴蜀中学月考)设等比数列 ,的公比为9,蒯 项 的 和 为S”,则3 0”是“S f WS?,:的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】S a,5 n fl+,s=a(+q+i Y niS2-s-s=a(l+q)(l+q+q)1=ag,112 1 3 1 21311 J 1因为在等比数列 a 也a H O,故S-S 0,故“g0”是“S S VS。”的充要条件,故 选C.n 1 1 3 2 1 3 2(八、J(3加 一1)尢+4/%,X 1的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
29、条件【答案】B【解析】因为函数/(x)(3?一0 +13m-l 0 、所以 一机-m因为 是j 0口的真子集,所以“机wd”是“函数/(x)1)X+4九X 1)I 3J I 3)I函数”的必要不充分条件,故 选B.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判断,可借助集合的方式进行判断,考查分段函数的单调性,分段 函数在定义域上单调递减时,每段函数都递减,且要注意分界点处函数值的处理,是中档题.19/397专题0 3函数性质钎为考1.【高考全国n卷文数i o】设函数/(x)=v _ L,则/(x)()X3A.是奇函数,且在(0,+8)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+8)单调递减C.是偶函数,且
30、在(0,+8)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+8)单调递减【答案】A【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为 x w O ,利用定义可得出函数/(x)为奇函数,再根据函数的单调性法则,即可解i l l.【解析】可 数/=/-3定义域为“;。,其关于原点对称,而/(-%)=-(江函数/(x)为奇函数.又.函数y=/在(0,+)匕单调递增,在(-,0)上单调递增,而 =:=尤-3在(0,+)上单调递减,在(-,)上单调递减,函数/(上/-:在(0,+)上单调递增,在(T,0)上单调递增.故选A.2.【高考全国H卷文数12理 数11若2,-2,则()A-l n(y-x +l)O B.l n
31、(y-x +l)0 D.l n|x-0【答案】A【思路导引】将不等式变为2,一 3-*2V-3 7,根据/)=2,-3T的单调性知x ,以此去判断各个选项中真数与1的大小关系,进而得到结果.【解析】由2 2 得:2V-3-,令/)=2-3T,y=2*为R上的增函数,y=3*为R上的减函数,二/。)为E上的增函数,Q y-xO,y-x+l,l n(y-%+l)0,则 A 正确,B 错误;Q|x -与 1 的大小不确定,故 C D无法确定,故 选A.20/3973.【高考全国卷理数9】设函数/()=皿2+1卜1 11|2%1|,则/卜)()A.是偶函数,且在(;,+8)单调递增 B.是奇函数,且
32、在(-;,;)单调递减I )I )C.是偶函数,且在1-8,-;单调递增 D.是奇函数,且在1-8,-;单调递减【答案】D【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出/(x)为奇函数,排 除A C:当时,利用函数单调性的性I )质可判断出/(X)单调递增,排 除B;当工-8,-1)时,利用复合函数单调性可判断出/(x)单调递减,从14而得到结果.【解析】由/(x)=ln2 x+l-I n 2x-1得/(x)定义域为x*1 L 关于坐标原点对称,i 2又/(-x)=中 -2卜 叫-2 x-|l=l|i 2x-|1 -l|i 2x 1 =-/(%),/(x)为定义域上的奇函数,可排除A C;当时,f(x)
33、=ln(2 x+l)-ln(l-2 x),)Q y =ln(2 x+l)哗 l/上单调递增,丁 =始(1一2)|在(2 1|,1 上单调递减,)2bB.a b2D.a b【答案】B【思路导引】设/(x)=2 +log 2r,利用作差法结合/(x)的单调性即可得到答案.【解析】设/(%)=2,+lo g*,则 f(.x)为增函数,;2 +lo g/=4 +2 lo g =22 6+lo g b2,1 ,n/.八。)一/(2勿=2 +lo g 2。一 ,lo g )=22 f t+lo g 2b-(22b+lo g )=lo g ,-=-1 0 f(a)f(2b),:.a0,此时.八。)/(廿),
34、有 a/;当匕=2 时,/(a)/(廿)=10,此时/(。)/3 2),有 a 02,C、D 错误,故选 B.5.【高考全国 H 1 卷理数 1 2】已知 5 5 8 ,1 3 4 8 5 .设 a =lo g 5 3,=lo g 8 5,c =lo g Q 8,则()A.a b c B.b a c C.b c a D.c a b【答案】A【思路导引】由题意可得。、匕、c w(0,1),利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系,l Ub=lo g8 5 ,4 4得8 =5,结合5 5 8,可得出b ,由c =lo g 8,得1 3 c =8,结合1 3,综合可得出a、51 35b、c的大
35、小关系.【解析】解法一:由题意可知a、b、ce(0,1),ag 馆3 1 g 8 1 借3+馆 阡=仅3+坨阡=2 4/b o 5 1 g 5 1 g 5一画2 i 2)I 2 1 g 5 )1 7 2 5;4由 Z?=lo g 5,得 8 =5,由 5 5 8加 得 8 5”8 4,5/?4 ,可得8 54由 c =l o g 8,得 1 3 =8,由 1 3 4 8$,得 1 3 4 4 ,可得 c .1 35综上所述,a h c .故选A.a lo g 3 (lo g 3 +lo g 8 f (lo g 2 4)2解 法 二:易知 a,b,c w(0,1),由 _ =二*=lo g 3-
36、lo g 8 -=1 ,知_b lo g85 5 4 4 422/397a b.V b =lo g85 ,c =lo g1 38 ,/.8f c=5 ,1 3f=8 ,即&=5,1 34 r=84X V 55 84,1 34 55=85S 1 34 f r.即匕c.综上所述:a b c ,故选 A.神考的考查内容解题技巧单调性1、用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.有时,在不等式一边没有符号“f”时.,需转化为含符号“f”的形式.如若已知f(a)=O,f(x-b)0
37、,则 f(x-b)f(a).2、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.3、利用单调性求参数的值或取值范围.(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与己知单调区间比较求参数.需注意若函数在区间 a,b 上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.奇偶性1、利用奇
38、偶性求值的类型及方法求函数值:利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值,进而得解.(2)求参数值:在定义域关于原点对称的前提下,根据奇函数满足f(-x)=-f(x)或偶函数满 足 f(-x)=f(x)列等式,根据等式两侧对应相等确定参数的值.特别要注意的是:若能够确定奇函数的定义域中包含0,可以根据f(0)=0 列式求解,若不能确定则不可用此法.2、判断函数的奇偶性要注意两点23/397考查单调性:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提.(2)判断f(x)与 f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(x)=0(奇函数)或
39、f(x)f(x)=0(偶函数)是否成立.周期性1、函数周期性的判定与应用 判定:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T W0)即可.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若 T是函数的周期,则 k T(k Z且 k 0)也是函数的周期.2、根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.3、在解决具体问题时,要注意“若 T是函数的周期,则 k T(k Z且 k#0)也是函数的周期”的应用.最值求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求
40、最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.对称性3 1 4 2 g 6 ,【例 1】(2 0 2 1 四川宜宾高三一模)已知实数“=_02,b=一d,c =_ e 7,(e 为自然对数的底数)则a,b,2 3 7c 的大小关系为()A.abc B.b c a C.c b a D.b a 0时/(x),即 f(x)在(0,
41、+0 0)上单调递增,/(2)/(3)/(7),即 a 6 c ,故选 A.【名师点睛】结合实数的形式构造函数,再用导数研究函数的单调性,最后利用单调性比较函数值的大小.考查奇偶性:24/397【例 1】若函数/(X)是定义在R上的奇函数,/(1)=1,当 x 0时,=1 0 g (x)+m,则 实 数?=42A.-1B.0C.1 D.2【答案】C【解析】/(x)是定义在R上的奇函数,/1 )=1,且 x 0,设函数f(x)=2 3 8*+2 1 6 ,a )的最大值为M,最小值为N,那么M+N=()2 0 1 8x+lA.2 0 1 6 B.2 0 1 8 C.4 0 3 2 D.4 0 3
42、 4【答案】D【解析】由题意得f(x)=2 6*+2 0 1 6=2 0 1 8 1.因 为 y=2 0 1 即+I在-a,a 上是单调递增的,所2 0 1 8x+l 2 0 1 8x+l以 f(x)=2 0 1 8 2(“,+在La,a 上是单调递增的,所以 M=*a),N=f i:-a),所以 M+N=f(a)+f(一2 2a)=4 0 3 6-_-=4 0 3 4.2 0 1 8a+l 2 0 1 8 a+l【例 2】(2 0 2 1 四川泸州高三一 模)函 数/(x)=l n x+l n(2 -x)的 最 大 值 为.【答案】0【解析】由/(%)=l n x+l n(2-工)=l n
43、-(x-l)?+1 ,且0 x2,令%)二一(1一 1)2+1,/=l n f,即 x)在0%1为单调递增,12为单调递减,而 一为增函数,/(幻在0%1上单调递增,1%2上单调递减,/Wi n a x=/(l)=0.a,abog(x)的最大值为.【答案】1,-l o g 2 X,0 r 2 时,h(x)=3 x是减-x+3,x2o函数,则 A(X)m a x =h(2)=1 .26/397考查对称性:【例 1】(2 0 2 1 定远县育才学校高三月考)函数f (x)=口 _的 图 象3AA.关于原点对称 B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称 D.关于直线y=x 对称【答案】C【解析】函数/(
44、X)=二 三=3 +3r的定义域为R ,且满足f(-x)=y+3-*=/(x),故该函数为偶函数,y图象关于y轴对称,故 选 c.【名师点睛】函数中常见的几种对称关系:(D函数八X)关于X轴对称,则有/(x)=-/(x);(2)函数fM关于y轴对称,则有-(3)函数/(x)关于原点对称,则有/(%)=-。(工);(4)函数关于直线y =x对称,则/a)与其反函数是同一个函数.考查单调性奇偶性周期性综合问题【例 1】【2 0 1 9 年高考江苏】设/a),g(x)是定义在R 上的两个周期函数,/(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且/(x)是奇函数.当x e(0,2 时在区间(0,9 上,关于
45、x的方程/(x)【答案】卑【解析】作出函数f i x),g(x)的图象,由图可知,函数y a)=J i。1)2_ Z:(x +2),0 x /(x)=J l-(x l)2,g(x)=T ,1 x 0.若.2=g(x)有 8个不同的实数根,则 k的取值范围是 .如图:的图象与-2 O o-XO-o 27/3978(尤)=一1(1 彳4 2,3 尤4 4,5 九4 6,7 0),+1 4.两点(一2,0),(1,1)连线的斜率&=1,13 3 4综上可知,满 足/(x)=g 在(0,9 上 有8个不同的实数根的k的取值范围为【名师点睛】本题考查分段函数,函数的图象,函数的性质,函数与方程,点到直线
46、的距离,直线的斜率等,考查知识点较多,难度较大.正确作出函数/(幻,g(x)的图象,数形结合求解是解题的关键因素.例2 (2 0 2 1四川宜宾高三一模)已知定义在R上的奇函数y=/(x)满足,“x +2)=/,若V l ,%0,1 且无产人2时,都有匹,(无1)+无2/(尤2)%/。1)+几/口2),则下列四个结论中:了 二/(X)图象1 a关于直线x =2 0 2 2对称;/(2 0 2 2)=0;y=/在已。1%2。?上为减函数;/()4 ).其中3 2正确的个数()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】因为/(x)为奇函数,所以/(x)=/(x),所以/(x+2)=/(x)=
47、/(-%),所以对称轴为x=l,因为/(x+2)=/(x),所以/(x+4)=x+2)=x),所以周期为4,所以对称轴x=l +4攵。e Z),故x =2 0 2 2不符合,所以不正确;/(2 0 2 2)=/(4 x 5 0 5+2)=/(2)=-/(0),因为/(x)是定义在 R上的奇函数,所以,4 0)=0,所以/(2 0 2 2)=0,所以正确;因为 V X 1,工2 e 。,1 且 X 产工2 时,都有 区)+x J(X 2 )X J(X|)+xj(x2),28/397所以 为(一(尤 1)一/(*2)无2(/(x J/(&),即(引一九2)(/(司)一/(九2),所以“X)在 0,
48、1 上为增函数,所以/(X)在 4%,4 1+1(丘Z)上为增函数,所以y=/(x)在 2 0 2 0,2 0 2 1 上为增函数,所以不正确;(3、所以,所以不正确,即正确的个数为I )I 7个,故 选A.【名师点睛】本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用,解答本题的关键是先由函数为奇函数结合f(x+2)=-f(x),得到/(x+2)=-/(x)=/(-x)和/(x+4)=-/(x+2)=/(x),从而得到函数的对称性和周期性,根据条件得出(王一)/(匹)一/()0,得到函数的单调性.二次函数给定区间上的最问题【典例】求f(x)=x 2-2 a x-l在区间 0,2 上的最大值和最小
49、值.【解 析】f(x)=(x a)2 1 a2,对 称 轴 为 x=a.(1)当a f(X)m a x =f(2)=3 4 a.(2)当0 a 2 时,由图可知,f(x)在 0,2 上为减函数,所以 f(x)m i n=f(2)=3 4 a,f(X)m a x=f(0)=-1.【点评】上题由于对称轴x=a,而a的取值不定,从而导致了分类讨论.由于抛物线的对称轴在区间 0,2 所对应的区域时,最小值是在顶点处取得,但最大值却有可能是f(0),也有可能是f(2),故应分四类讨论.与二次函数有关的最值问题还有以卜三类:求二次函数在某定区间上的最小(大)值.【变 式1 求二次函数f(x)=x 2-2
50、a x+2在 2,4 上的最小值.【解析】:函数图象的对称轴是x=a,.当 a 4 时,f(x)在 2,4 上是减函数,.f(x)m i n=f(4)=1 8-8 a.当 2 W a l 时,f(x)m i n =f(a)=2 a?.29/39764a,a2,f(x)min 一 2a2,2a4.已知二次函数的最大(小)值,求参数.【变 式 2已知函数y=-x22ax(0 x 1),且 ymax=a2,求 实 数 a 的取值范围.【解析】:丫=-X?2ax=(x+a)2+a2(gxWl),函数图象是开口向下的抛物线,且对称轴为x=-a.又 ymax=a2,且 OSxS,0Sa g io-1 9