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1、高考数学复习高考数学复习 一本全一本全目目前言前言 2 2第一章第一章高中数学解题基本方法高中数学解题基本方法 3 3一、一、配方法配方法 3 3二、二、换元法换元法 7 7三、三、待定系数法待定系数法 1414四、四、定义法定义法 1919五、五、数学归纳法数学归纳法 2323六、六、参数法参数法 2828七、七、反证法反证法 3232八、八、消去法消去法 九、九、分析与综合法分析与综合法 十、十、特殊与一般法特殊与一般法 十一、十一、类比与归纳法类比与归纳法十二、十二、观察与实验法观察与实验法第二章第二章高中数学常用的数学思想高中数学常用的数学思想 3535一、一、数形结合思想数形结合思想
2、 3535二、二、分类讨论思想分类讨论思想 4141三、三、函数与方程思想函数与方程思想 4747四、四、转化（化归）思想转化（化归）思想 5454第三章第三章高考热点问题和解题策略高考热点问题和解题策略 5959一、一、应用问题应用问题 5959二、二、探索性问题探索性问题 6565三、三、选择题解答策略选择题解答策略 7171四、四、填空题解答策略填空题解答策略 7777附录附录 一、一、高考数学试卷分析高考数学试卷分析 二、二、两套高考模拟试卷两套高考模拟试卷 三、三、参考答案参考答案 录录前前言言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇美国著名数学教育
3、家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，
4、使自我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综
5、合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；和演绎等；常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的学思想方法则
6、是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学
7、基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、
8、数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中，在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的
9、叙述，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。第一章第一章高中数学解题基本方法高中数学解题基本方法一、一
10、、配方法配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，已知和未知的联系，从而化繁为简。从而化繁为简。何时配方，何时配方，需要我们适当预测，需要我们适当预测，并且合理运用并且合理运用“裂项”“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主
11、要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xyxy 项项的二次曲线的平移变换等问题。的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a(ab)b)a a 2ab2abb b，将这，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a ab b(a(ab)b)2ab2ab(a(ab)b)2ab2ab；a aababb b(a(ab)b)abab(a(ab)b)3
12、ab3ab(a(aa ab b c c ababbcbccaca222222222222222222b232)（b b）；221222(a(ab)b)(b(bc)c)(c(ca)a)22a ab b c c(a(ab bc)c)2(ab2(abbcbcca)ca)(a(ab bc)c)2(ab2(abbcbcca)ca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1 1sin2sin2 1 12sin2sin coscos （sinsin coscos ）；x x2211212(x(x)2 2(x(x)2 2；等等。等等。x2xx
13、、再现性题组：、再现性题组：1.1.在正项等比数列在正项等比数列aan 中，中，a a1 a a5+2a+2a3 a a5+a+a3 a a7=25=25，则，则 a a3a a5_。2.2.方程方程 x xy y4kx4kx2y2y5k5k0 0 表示圆的充要条件是表示圆的充要条件是_。11 A.A.14k1 B.kk1 B.k1 C.kk1 C.kR D.kR D.k4或或 k k1 1223.3.已知已知 sinsin coscos 1 1，则，则 sinsin coscos 的值为的值为_。44 A.1 B.A.1 B.1 C.11 C.1 或或1 D.01 D.04.4.函数函数 y
14、 yloglog1(2x2x5x5x3)3)的单调递增区间是的单调递增区间是_。225155 A.A.（,54 B.B.4,+,+)C.()C.(2,4 D.D.4,3),3)5.5.已知方程已知方程 x x+(a-2)x+a-1=0+(a-2)x+a-1=0 的两根的两根 x x1、x x2，则点，则点 P(xP(x1,x,x2)在圆在圆 x x+y+y=4=4 上，上，则实数则实数 a a_。【简解】【简解】1 1 小题：利用等比数列性质小题：利用等比数列性质a ampa ampa am，将已知等式左边后配方（，将已知等式左边后配方（a a3a a5）易求。答案是：易求。答案是：5 5。2
15、 2 小题：配方成圆的标准方程形式小题：配方成圆的标准方程形式(x(xa)a)(y(yb)b)r r，解，解 r r00 即可，选即可，选 B B。3 3 小题：小题：已知等式经配方成已知等式经配方成(sin(sin coscos )2sin2sin coscos 1 1，求出求出 sinsin coscos ，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C C。4 4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D D。5 5 小题：答案小题：答案 3 311
16、。、示范性题组：、示范性题组：例例 1.1.已知长方体的全面积为已知长方体的全面积为 1111，其，其 1212 条棱的长度之和为条棱的长度之和为 2424，则这个长方体的一条，则这个长方体的一条对角线长为对角线长为_。A.2 A.23 B.B.14 C.5 D.6 C.5 D.6【分分 析析】先先 转转 换换 为为 数数 学学 表表 达达 式式：设设 长长 方方 体体 长长 宽宽 高高 分分 别别 为为 x,y,zx,y,z，则则222222222222222(xy yz xz)11,而欲求对角线长而欲求对角线长4(x y z)24式可得。式可得。x2 y2 z2，将其配凑成两已知式的组合形
17、，将其配凑成两已知式的组合形【解】设长方体长宽高分别为【解】设长方体长宽高分别为 x,y,zx,y,z，由已知“长方体的全面积为，由已知“长方体的全面积为 1111，其，其 1212 条棱的条棱的2(xy yz xz)11长度之和为长度之和为 2424”而得：”而得：。4(x y z)24长长方方体体所所求求对对角角线线长长为为：x2y2z2(x y z)2 2(xy yz xz)62115 5所以选所以选 B B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法
18、将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例例 2.2.设方程设方程 x xkxkx2=02=0 的两实根为的两实根为 p p、q q，若，若(的取值范围。的取值范围。2p2q2)+(+()7 7 成立，求实数成立，求实数 k kqp【解】方程【解】方程 x xkxkx2=02=0 的两实根为的两实根为 p p、q q，由韦达定理得：，由韦达定理得：p pq qk k，pqpq2,2,2p2q2(p2 q2)2 2p2q2(p q
19、)2 2pq2 2p2q2p4 q4()+(+()qp(pq)2(pq)2(pq)2(k2 4)2 8 7 7，解得解得 k k 10或或 k k 10。4又又 p p、q q 为方程为方程 x xkxkx2=02=0 的两实根，的两实根，k k8 8 0 0 即即 k k 2 22或或 k k 222 22综合起来，综合起来，k k 的取值范围是：的取值范围是：10 k k 2 2或者或者2 2 k k 10。【注】【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理
20、得到两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 p pq q、pqpq 后，观察已知不等式，后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p pq q 与与 pqpq 的组合式。假如本题不对“的组合式。假如本题不对“”讨”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。ba19981998)()。a ba ba2aa【分析】【分析】对已知式可以联想：变形为对已
21、知式可以联想：变形为()()1 10 0，则，则（为（为 1 1 的立的立bbb例例 3.3.设非零复数设非零复数 a a、b b 满足满足 a aababb b=0=0，求，求(22方虚根）；或配方为方虚根）；或配方为(a(ab)b)abab。则代入所求式即得。则代入所求式即得。【解】由【解】由 a a ababb b=0=0 变形得：变形得：(设设1 1。又由又由 a a ababb b=0=0 变形得：变形得：(a(ab)b)abab，222222a2a)()1 10 0，bba1b233，则则 1 10 0，可知为可知为 1 1 的立方虚根，的立方虚根，所以：所以：，babaa999b
22、999a2999b299919981998999所以所以()()()()()()a bbaa babab9992 2。【注】【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 1 的立方虚根，活用的性质，的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，一系列的变换过程，有较大的灵活性，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。要求我们善于联想和展开。a2ab13i)()1 10 0，解出，解出后，后，bba2a999b999化成三角形式，代入所求表达式的变形式化成三角形式，代入所求表达式的变形式()()后，完成后面的运算。
23、此方法后，完成后面的运算。此方法ba13i用于只是未用于只是未联想到时进行解题。联想到时进行解题。2【另解】由【另解】由 a a ababb b 0 0 变形得：变形得：(22假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a aababb b0 0 解出：解出：a a2213ib b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛2定理完成最后的计算。定理完成最后的计算。、巩固性题组：、巩固性题组：1.1.函数函数 y y(x(xa)a)(x(xb)b)（a a、b
24、 b 为常数）的最小值为为常数）的最小值为_。222a b(a b)A.8 B.A.8 B.C.C.D.D.最小值不存在最小值不存在22222.2.、是方程是方程 x x2ax2axa a6 60 0 的两实根，则的两实根，则(-1)-1)+(+(-1)-1)的最小值是的最小值是_。A.A.494 B.8 C.18 D.B.8 C.18 D.不存在不存在3.3.已知已知 x x、y yR R，且满足，且满足 x x3y3y1 10 0，则函数，则函数 t t2 2 8 8 有有_。A.A.最大值最大值 2 22 B.B.最大值最大值2 C.C.最小值最小值 2 22 B.B.最小值最小值222
25、xy2224.4.椭圆椭圆 x x2ax2ax3y3y a a 6 60 0 的一个焦点在直线的一个焦点在直线 x xy y4 40 0 上，上，则则 a a_。A.2 B.A.2 B.6 C.6 C.2 2 或或6 D.26 D.2 或或 6 65.5.化简：化简：2 21 sin82 2cos8的结果是的结果是_。A.2sin4 B.2sin4A.2sin4 B.2sin44cos4 C.4cos4 C.2sin4 D.4cos42sin4 D.4cos42sin42sin422x6.6.设设 F F1和和 F F2为双曲线为双曲线y y 1 1 的两个焦点，的两个焦点，点点 P P 在双
26、曲线上且满足在双曲线上且满足 F F1PFPF290904222，则，则 F F1PFPF2的面积是的面积是_。27.7.若若 xx1 1，则，则 f(x)f(x)x x2x2x1的最小值为的最小值为_。x 18.8.已知已知 3 ，cos(cos(-)12，sin(sin(+)3，求，求sin2sin2 的值。的值。(92(9224135年高考题年高考题)9.9.设二次函数设二次函数 f(x)f(x)AxAxBxBxC C，给定，给定 m m、n n（mnm0f(x)0；是否存在一个实数是否存在一个实数 t t，使当，使当 t t(m+t,n-t)(m+t,n-t)时，时，f(x)0f(x)
27、1s1，t1t1，m mR R，x xloglogst tloglogts s，y yloglogst tloglogts sm(logm(logst tloglogts),s),将将 y y 表示为表示为 x x 的函数的函数 y yf(x)f(x)，并求出，并求出 f(x)f(x)的定义域；的定义域；若关于若关于 x x 的方程的方程 f(x)f(x)0 0 有且仅有一个实根，求有且仅有一个实根，求 m m 的取值范围。的取值范围。二、换元法二、换元法24422222222解数学题时，解数学题时，把某个式子看成一个整体，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，用一个变量去代替它，从而使
28、问题得到简化，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者
29、变为熟悉的形式，把复杂的来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化
30、问题，当然有时候知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：要通过变形才能发现。例如解不等式：4 4 2 2 2 2 0 0，先变形为设，先变形为设 2 2 t t（t0t0），而变），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y yx1 x的值域时，易发现的
31、值域时，易发现 x x0,10,1，设设 x xsinsin ，0,0,2xxx，问题变成了熟悉的求三角函数值域。问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，为什么会想到如此设，2222其中主要应该是发现值域的联系，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又有去根号的需要。如变量如变量 x x、y y 适合条件适合条件 x x y y r r（r0r0）时，则可作三角代换）时，则可作三角代换 x xrcosrcos 、y yrsinrsin 化为三角问题。化为三角问题。均值换元，如遇到均值换元，如遇到 x xy yS S 形式时，设形式时，设 x xSSt t，y yt t 等
32、等。等等。22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的几例中的 t0t0 和和 0,0,、再现性题组：、再现性题组：1.y1.ysinxsinx cosxcosxsinx+cosxsinx+cosx 的最大值是的最大值是_。2.2.设设 f(xf(x1)1)logloga(4(4x x)（a1a1），则），则 f(x)f(x)
33、的值域是的值域是_。3.3.已知数列已知数列aan 中，中，a a11 1，a an1a ana an1a an，则数列通项，则数列通项a an_。4.4.设实数设实数 x x、y y 满足满足 x x2xy2xy1 10 0，则，则 x xy y 的取值范围是的取值范围是_。224。21 3x5.5.方程方程3 3 的解是的解是_。1 3x6.6.不等式不等式 loglog2(2(21)1)loglog2(2(2xx12)2)2 2 的解集是的解集是_。1t2【简解】【简解】1 1 小题：设小题：设 sinx+cosxsinx+cosxt t 2,2，则，则 y yt t，对称轴，对称轴 t
34、 t2211 1，当，当 t t2，y ymax2；22 2 小题：设小题：设 x x1 1t(tt(t 1)1)，则，则 f(t)f(t)logloga-(t-1)-(t-1)44，所以值域为，所以值域为(,log,loga44；3 3小题：小题：已知变形为已知变形为221an11n n，所以，所以 a an；nx2111,1,设设b bn，则则b b11,b1,bn1 1(n(n1)(-1)1)(-1)anan4 4 小题：设小题：设 x xy yk k，则，则 x x2kx2kx1 10,0,4k4k 4 4 0,0,所以所以 k k 1 1 或或 k k 1 1；5 5 小题：设小题：
35、设 3 3y y，则，则 3y3y 2y2y1 10,0,解得解得 y yx221，所以，所以 x x1 1；36 6 小题：小题：设设 loglog2(2(21)1)y y，则则 y(yy(y1)21)2，解得解得2y12y0a0，求，求 f(x)f(x)2a(sinx2a(sinxcosx)cosx)sinxsinx cosxcosx2a2a 的最大值和最小值。的最大值和最小值。【解】【解】设设 sinxsinxcosxcosxt t，则则 t t-2,2，由由(sinx(sinxcosx)cosx)y yt21,1 12sinx2sinx cosxcosx 得：得：sinxsinx co
36、sxcosx22 x x2112(t(t2a)2a)（a0a0），），t t-2,2 2212t t-2时，取最小值：时，取最小值：2a2a2 22a a212当当 2a2a 2时，时，t t2，取最大值：，取最大值：2a2a 2 22a a；21当当 02a000aa 14a22恒成立，求恒成立，求 a a 的取值范围。（的取值范围。（8787 年全国理）年全国理）4(a 1)2a(a 1)2【分析】不等式中【分析】不等式中 loglog2、log log2、loglog2三项有何联系？进行三项有何联系？进行aa 14a2对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。对数式的有关变形后不难发现，
37、再实施换元法。4(a 1)2a8(a 1)a 1t t，则，则 loglog2loglog23 3loglog23 3aa 12a2a2aa 1(a 1)2loglog23 3t t，loglog22log2log2t2t，2a 12a4a2【解】【解】设设 loglog2代入后原不等式简化为（代入后原不等式简化为（3 3t t）x x 2tx2tx2t02t0，它对一切实数，它对一切实数 x x 恒成立，所以：恒成立，所以：23 t 0t 32a，解得，解得 t0 t0 即即 loglog0022a 1t 0或t 6 4t 8t(3 t)02a0011，解得，解得 0a10a0k0 恒成立，
38、求恒成立，求 k k 的范围。的范围。916(x 1)2(y 1)222【分析】由已知条件【分析】由已知条件1 1，可以发现它与，可以发现它与a a b b 1 1 有相似之处，有相似之处，916于是实施三角换元。于是实施三角换元。x 1y 1(x 1)2(y 1)2【解】由【解】由1 1，设，设coscos ，sinsin ，34916x 13cos即：即：代入不等式代入不等式 x xy yk0k0 得：得：y 1 4sin3cos3cos 4sin4sin k0k0，即，即 k3cosk3cos 4sin4sin 5sin(5sin(+)所以所以 k-5k0(a0)c0(a0)所表示的区域
39、为直线所表示的区域为直线 axaxbybyc c0 0 所分平面成两部分中含所分平面成两部分中含 x x 轴正方向轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的y yx x点始终位于平面上点始终位于平面上 x xy yk0k0 的区域。即当直线的区域。即当直线 x xy yk k0 0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方x xy yk0k016(x 1)29(y 1)2144程组程组有相等的一组实数解，消有相等的一组实数解，消 k k平面区域平面区域x y k
40、0元后由元后由 0 0 可求得可求得 k k3,3,所以所以 k-3k0)lgx (x0)，则，则 f(4)f(4)的值为的值为_。A.2lg2 B.A.2lg2 B.1lg2 C.lg2 C.2lg2 D.lg2 D.2lg4lg433332.2.函数函数 y y(x(x1)1)2 2 的单调增区间是的单调增区间是_。4A.-2,+A.-2,+)B.-1,+)B.-1,+)D.(-)D.(-,+,+)C.(-)C.(-,-1,-13.3.设等差数列设等差数列aan 的公差的公差 d d1，且，且S S100145145，则，则a a1a a3a a5a a99的值为的值为2_。A.85 B.
41、72.5 C.60 D.52.5A.85 B.72.5 C.60 D.52.54.4.已知已知 x x4y4y 4x4x，则，则 x xy y 的范围是的范围是_。5.5.已知已知 a a 0 0，b b 0 0，a ab b1 1，则，则a 1b1的范围是的范围是_。22226.6.不等式不等式xaxax3的解集是的解集是(4,b)(4,b)，则，则 a a_，b b_。27.7.函数函数 y y2x2xx 1的值域是的值域是_。8.8.在等比数列在等比数列aan 中，中，a a1a a2a a102 2，a a11a a12a a301212，求求 a a31a a32a a60。9.9.
42、实数实数 m m 在什么范围内取值，对任意实数在什么范围内取值，对任意实数 x x，不等式，不等式 sinsin x x2mcosx2mcosx4m4m1010,y0)2 (x0,y0)上移动，且上移动，且 ABAB、ADAD 始终平行始终平行 x x轴、轴、y y 轴，求矩形轴，求矩形 ABCDABCD 的最小面积。的最小面积。O Ox x22三、待定系数法三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式数的方法叫待
43、定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x)f(x)g(x)g(x)的的充要条件是：对于一个任意的充要条件是：对于一个任意的 a a 值，都有值，都有 f(a)f(a)g(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用
44、待定系数法求解，一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系
45、数的解析式；第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：利利用对应系数相等列方程；用对应系数相等列方程；由由恒等的概念用数值代入法列方程；恒等的概念用数值代入法列方程；利利用定义本身的属性列方程；用定义本身的属性列方程；利利用几何条件列方程。用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程
46、时，比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所得到所求圆锥曲线的方程。求圆锥曲线的方程。、再现性题组：、再现性题组：x11.1.设设 f(x)f(x)m m，f(x)f(x)的反函数的反函数 f f(x)(x)
47、nxnx5 5，那么，那么 m m、n n 的值依次为的值依次为_。25555A.A.,2 B.2 B.，2 C.2 C.,2 D.,2 D.，2 222221122.2.二次不等式二次不等式 axaxbxbx2020 的解集是的解集是(,)，则，则 a ab b 的值是的值是_。23A.10 B.A.10 B.10 C.14 D.10 C.14 D.14143.3.在在(1(1x x)（1 1x x）的展开式中，的展开式中，x x 的系数是的系数是_。A.A.297 B.297 B.252 C.297 D.207252 C.297 D.2074.4.函数函数 y ya abcos3xbcos
48、3x(b0)(b0 x0，7 7x0 x0，x0 x0。设设 V V4(15a(15aax)(7bax)(7bbx)x (a0,b0bx)x (a0,b0）ab要使用均值不等式，则要使用均值不等式，则解得：解得：a a a b1 015a ax 7b bx x31，b b，x x3 3。4415216415x2136444364从而从而 V V()()(x)xx)x()2727576576。34444333所以当所以当 x x3 3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576cm576cm。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，
49、可以【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用用“待定系数法”“待定系数法”求。求。本题解答中也可以令本题解答中也可以令 V V344(15a(15aax)(7ax)(7x)bxx)bx 或或(15(15x)(7ax)(7aababax)bxax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。、巩固性题组：、巩固性题组：1.1.函数函数 y yloglogax x 的的 x x2,+2,+)
50、上恒有上恒有|y|1|y|1，则，则 a a 的取值范围是的取值范围是_。A.2aA.2a1且且 a a 1 B.0a1 B.0a1或或 1a2 C.1a21a2 C.1a2或或220a0a122.2.方程方程 x xpxpxq q0 0 与与 x x qxqxp p0 0 只有一个公共根，则其余两个不同根之和为只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_。A.1 B.A.1 B.1 C.p1 C.pq D.q D.无法确定无法确定3.3.如果函数如果函数 y ysin2xsin2xa a cos2xcos2x 的图像关于直线的图像关于直线 x x对称，那么对称，那么 a a_。822A.A.2