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1、专题 全等三角形几何模型-一线三等角模型(培优篇)(专项练习)模型一 一线三垂直全等模型如图一，Z D=Z B C A=Z E=9 0 ,B C=A C 结论：R t A B D C R t A C EA模型二一线三等角全等模型如图二，N D=N B C A=N E,B C=A C。结论：B EC g C D A一、填空题1.如图，AABC中，ZACB=90,A C =C B,。为CB延长线上一点，A E A D,且 BE与 AC的延2.如图，已知点A(a,0)在x 轴正半轴上，点 8(0,3)在 y 轴的正半轴上，AABC为等腰直角三角形，。为斜边8 c 上的中点.若O D=/2 则a+匕=
2、.3.如图,RtABC 中，ZACB=90,AC=BC,CF 交 AB 于 E,BD1CF,A F1C F,则下列结论:/A C F=NCBDBD=FCFC=FD+AFAE=DC中，正 确 的 结 论 是(填 正 确 结 论 的 编 号)二、解答题4.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题:(1)如图 1,ZBAD=90,A B=A D,过点 8 作 BC_LAC于点 C,过点。作 OE_LAC于点 由/1+/2=/2+/。=9 0 ,得=又/A CB=/A E=90。，可以推理得到 ABC丝D 4 E.进而得到AC=,B C=A E.我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模
3、型；(2)如图 2,NBAQ=NCAE=90。，AB=AD,A C=A E,连接 BC,E,且 BCLAF于点凡 OE与直线 AF交于点 G.求证：点 G 是 O E的中点；(3)如图，已知四边形ABCD和。EGF为正方形，AAF力的面积为S,AOCE的面积为S 2,则有S S2(填、=、E=3O+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过AABC的边4B,AC向外作正方形ABDE和正方形AC尸 G,是 8 c边上的高.延长/M 交 EG于点/.若4 4.=7,则 以.=6.如图，在ABC,AB=A
4、C=2,ZB=40,点D在线段BC上运动（点D不与点8、C重合），连接A。，作NAQE=40。,OE交线段AC于点E.(1)当/BD4=115时，N E D C=,N A E D=（2）线段OC的长度为何值时，&A B D m&D C E,请说明理由;（3）在点。的运动过程中，AAOE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求NBD4的度数；若不可以，请说明理由.7.在 AA5c 中，Z A C B =90,A C =B C,直线 MN 经过点 C,且 49_LMN 于 O,B E L M N 于 E,（1）当直线M N绕点C旋转到图1的位置时，显然有：D E =A D+B E（不必证明）:（2）当
5、直线MN绕点C旋转到图2 的位置时,求证:D E =A D-B E；（3）当直线MN MN绕点C旋转到图3 的位置时,试问OE、AD.8E具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系8.问题背景：（1）如 图 1,已知 ABC中，NBAC=90。，A B=A C,直线m经过点A,BD L直线m,C E,直线m,垂足分别为点D、E.求证：DE=BD+CE.拓展延伸：（2）如图2,将（1）中的条件改为：在 ABC中，AB=AC,D、A、E 三点都在直线m上，并且有N BD A=N AE C=N BAC.请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系.（不需要证明）实际应用：（3）如图，在AA C B中，Z
6、ACB=90,A C=B C,点 C 的坐标为（-2,0）,点 A 的坐标为（一6,3）,请直接写出B 点的坐标.参考答案【分析】作EM _L”于M，根据全等三角形性质得出CP=P历，D C=AM,设PC=PM=x,AC=BC=3x,AM=DC=5x,求出B D=2x,即可求出答案.解；作于M,.ZACB=90,:.ZM-ZACD,A D AE,ZD AE=9QfZEAM+ZAM=90,ZEAM+ZDAC=90,:.DAC=ZAEM,在AA。和 4 M中，ZDAC=ZAEM)_ rra+b=2.故 答 案 为2.【点 拨】本题解题主要利用了等腰直角三角形的性质；利用了全等三角形的判定与性质；利
7、用了线段中点的性质.3.【分 析】根据同角的余角相等，可得到结论，再证明 ACF丝ZSCBD,然后根据全等三角形的性质判断结论、即可.解：V BD1 C F,A F _L C F,，N BDC=N A F C=90。，V Z A C B=90,Z A C F+Z BC D=Z C BD+Z BC D=90 ,.,.Z A C F=Z C BD,故正确；Z B D C =ZAFC在4 A C F 和 C BD 中，Z A C F =Z C B D ,A C =BC/.A C F A C BD,.BD=F C,C D=A F,故结论正确，F C=F D+C D=F D+A F,故结论正确，一在 R
8、 S A E F 中,A E A F,，A E C D,故结论错误.综上所述，正确的结论是：.【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.4.(1)DE-(2)见分析：(3)=【分析】(I)根据全等三角形的性质可直接进行求解；(2)分别过点D和点E作于点4,E Q L F G于点Q,进而可得/然后可证 ABF咨ADAH,则有A F=D H,进而可得D H=E Q,通过证明 D H G /X E Q G可求解问题；(3)过点。作。月尸交A尸于。，过点E作E M L。交0 延长线于M 过点C作C M，。交。延长线于M,由题意易得N A O C=N 9()。
9、，AD=DC,D F=D E,然后可得N A O O-/O C M,则有A A。丝。例C,FOD/DNE,进而可得O D=N E,通过证明4 E N P丝 C M P及等积法可进行求解问题.解：A A 3 C丝 D4 E，A AC=DE,(2)分别过点D和点E作。“J _F G于点H,后。_1尸6于点。，如图所示：Z D A H +Z A D H =90,：Z B A D=90,：.ZBAF+ZDAH=90,:.ZBAF=ZADH,*：B C 1A F,J ZBM =ZA/ZD=90,:AB=DA.AABFADAH,:AF=DH,同理可知AF=EQ,：.DH=EQ,VDHFG,EQLFG,.N
10、DHG=NEQG=90。,:ZDGH=ZEGQ:DHG9AEQG,DG=EG,即点G是D E的中点；(3)5.=52,理由如下：如图所示，过点。作。，4 尸交A尸于。过点E 作目V，。交。延长线于M 过点C作 CM 1.0D交 0 D 延长线于M四边形ABCD与四边形OEGF都是正方形/.ZADC=Z90,AD=DC.DF=DEVDOXF,CMLOD,：.ZAOD=ZCMD=90 ZOAD+ZODA=90,ZCDM+ZDCM=90,又/Z ODA+Z CDM=90,ZADOZDCM,.,.AODADMC,S AOD=SAD M C，0D=MC同理可以证明 F O g 4 D N E,S501)
11、=SADNE OD=NE,:.MC=NE,VE7V1OD,CMLOD,/EPN=NCMP,：./ENP/CMPf,S8丽-5M M P，,S&ADF=S JO D +S JBODSGCE 二 S“DCM _ S ACMP+S.DEN+S IP ,*S GCE=S.DCM+S mEN=M D+FOD，A D C /ADF 即 S|二 S?【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.5.(1)见分析；(2)结论成立，理由见分析；(3)3.5【分析】(1)由条件可证明 A8Oq CAE,可得。4=。七，AE=BD,可得(2)
12、由条件可知/8 4。+/。4：=180。-加 且/84+/84)=180。-匾可得NO8A=NC4E,结合条件可证明 ABDACAE,同(1)可得出结论；(3)由条件可知EM=A=GM 可得EM=GN,结合条件可证明 EM/ZGN/,可得出结论，是EG的中点.解：(1)证明：如 图1中，B。！.直线/,CEd,直线/,：.ZBDA=ZCEA=90%,/ZBAC=90,：.ZBAD+ZCAE=90f/ZBAD+ZABD=90f:NCAE=/ABD,在 4。8和4 CE4中，ZABD=ZCAE_LMN于。，BE上MN于E,由此即可证明 ADC咨4 C E B,然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
13、(2)由于ABC中，ZACB=9()09 AC=BC,直线MN经过点C,且AOJ_MN于。，BE工MN于E,由此仍然可以证明 A D C Q C E B,然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；(3)当直线MN绕点。旋转到图(3)的位置时，仍然AOC丝 然 后 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 可 以 得 到DE=BE-AD.解：:ABC中，ZACB=90,:.ZACD+ZBCE=90f又直线MN经过点C,且于O,BE工MN于E,：.ZADC=ZCEB=90：.ZAC)+ZDAC=90,:.ZBCE=ZDAC,在 4)。和仆CE8中，ZADC=ZCEB ZDAC=/ECB,AC=BC:,
14、NDg/XCEB(A4S),:CD=BE,CE=AD,：.DE=CD+CE=AD+BE；(2)ABC 中，ZACB=90,直线 MV经过点 C,且 4QJ_MN于 O,BE人MN于 E,：.ZADC=ZCEB=90f/ACD+/BCE=/BCE+NCBE=90。,而 AC=BCf：.AAD gAC EB,:CD=BE,CE=AD,：.DE=CE-CD=AD-BE；(3)如图3,ABC 中，N4C8=90。，直线 MN经过点 C,且 AD_LMN于 O,BE上MN于 E,：.ZADC=ZCEB=90f ZACD+ZBCE=ZBCE+Z CBE=90,:.ZACD=ZCBEf；AC=BC,：.A
15、D gC E B,:CD=BE,CE=AD,:DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之间的关系为OE=8E-AD.【点拨】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是个探究性题目，对于学生的能力要求比较高.8.(1)证明见分析；(2)DE=BD+CE；(3)B(l,4)【分析】(1)证明 A B D 0 4 C A E,根据全等三角形的性质得到AE=BD,AD=CE,结合图形解答即可；(2)根据三角形内角和定理、平角的定义证明NABD=N C A E,证明 ABD ZCAE,根据全等三角形的性质得至 IJAE=BD,AD=CE,结合图形解答即可；(3)根据 A E
16、 C C F B,得到CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,根据坐标与图形性质解答.解：(1),.8 ，直线01,CEJ_直线m,NADB=NCEA=90。/ZBAC=90.*.ZBAD+ZCAE=90VZBAD+ZABD=90 .ZCAE=ZABDV AADB 和ACEA 中Z A B D =Z C A E,N A D B =/CEAAB=CAAAADBACEA(AAS)AE=BD,AD=CEDE=AE+AD=BD+CE即：DE=BD+CE(2)解：数量关系：DE=BD+CE理由如下：在 ABD 3 ZABD=180-ZADB-ZBAD,ZC AE=180-Z B AC-ZB AD,ZBDA=ZAEC,A ZABD=ZCAE,在ZABD 和ZiCAE 中，/A B D=/C A E,Z B D A=Z A E CA B=C AAAABDACAE(AAS)JA E 二 BD,AD=CE,:.DE=AD+AE=BD+CE；(3)解：如图，作 AEJ_x轴于E,BF_Lx轴于F,由(1)可知，zkAEC咨ZCFB,/.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,二点 B 的坐标为B(1,4).【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质,题的关键.掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解