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1、. 第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一） A字型、反A字型（斜A字型）ABCDE（平行）CBADE（不平行）（二） 8 字型、反8 字型JOADBCABCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - . （五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD名师资料总结 -
2、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - . 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A字型旋转得到。8 字型拓展CBEDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - . 第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角
3、形例 1：如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E求证：OEOAOC2例 2：已知：如图，ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB求证： （1）DADEDB2； （2）DACDCE例 3：已知：如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证：EGEFBE2相关练习：1、如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：FCFBFD2A C D E B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
4、 - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - . 2、已知： AD是 RtABC中 A的平分线，C=90 ， EF是 AD的垂直平分线交AD于 M ，EF、BC的延长线交于一点N 。求证： (1) AME NMD; (2)ND2=NC NB 3、已知：如图，在ABC中， ACB=90 ， CD AB于 D，E是 AC上一点， CFBE于 F。求证： EB DF=AE DB 4. 在ABC中， AB=AC ，高 AD 与BE交于 H，EF BC，垂足为 F，延长 AD 到G，使 DG=EF ，M 是AH 的中点。求证：GBM905 （本题满分14 分，第（ 1）小题满分4
5、分，第（ 2） 、 （ 3）小题满分各5 分）已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A 设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积A C B P D E （第 25 题图）GMFEHDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页
6、，共 12 页 - - - - - - - - - . EDCAB双垂型1、如图，在ABC中， A=60， BD 、CE分别是 AC 、AB上的高求证：（1） ABD ACE ； （2） ADE ABC ；(3)BC=2ED 2、如图，已知锐角 ABC ，AD 、 CE分别是 BC 、 AB边上的高， ABC和 BDE的面积分别是27 和 3， DE=62，求：点 B到直线 AC的距离。EDABC共享型相似三角形1、 ABC是等边三角形,D、B、 C 、E 在一条直线上, DAE=120，已知BD=1 ，CE=3 ，,求等边三角形的边长. ABCDE2、已知：如图，在RtABC中，AB=AC，
7、DAE=45 求证： （1）ABEACD；（2）CDBEBC22一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60A E F DEABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - . （1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE例 2： （1）在ABC中，5ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持ABCAPQ. 若点P在线段CB
8、上（如图），且6BP，求线段CQ的长；若xBP，yCQ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合） ，且保持90APQ. 当1CQ时，求出线段BP的长 . 例 3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函
9、数的定A B C 备用图A B C D A B C D A B C P Q A B C 备用图A B C D C D A B P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - . 义域；当CE1 时，写出AP的长CBADCBAD例 4：如图，在梯形ABCD中，ADBC，6ABCDBC，3AD点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BE
10、M是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长相关练习：1、如图，在ABC中，8ACAB，10BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且CADE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - . (1) 求证：ABDDCE；(2) 如果xBD，yAE，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；(3) 当点D是BC的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由2、如图，已知在ABC中， AB=AC
11、=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6 ，AB=DC=4，点E是AB的中点（ 1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD；（ 2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
12、当BEPDMFSS49时，求BP的长4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，1CF，点E是射线BA上一动点， 以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线,EG FG交直线AC于点,M N，FBACDEE D C B A P （ 第25题E D C B A （备用图）A B C D E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - . （1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BEx
13、MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若1AE，试求GMN的面积一线三直角型相似三角形例 1、已知矩形 ABCD中，CD=2 ，AD=3，点 P是 AD上的一个动点， 且和点 A,D 不重合， 过点 P作CPPE，交边 AB于点 E,设yAExPD,，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。例 2、在ABC中，OBCACC,3,4,90o是 AB上的一点，且52ABAO，点 P是 AC上的一个动点，OPPQ交线段 BC于点 Q， （不与点B,C 重合），设yCQxAP,，试求y关于 x 的函数关系，并写出定义域。备用图QCBAOPEBCADP名师资料总
14、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - . FABCDEFABCDE【练习 1】在直角ABC中，43tan,5,90BABCo，点 D是 BC的中点， 点 E是 AB边上的动点，DEDF交射线 AC于点 F （1） 、求 AC和 BC的长（2） 、当BCEF /时，求 BE的长。（3） 、连结 EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。【练习 2】在直角三角形ABC中，DBCABC,90o是 AB边上的一点， E是在 AC边上
15、的一个动点， （与 A,C 不重合），DFDEDF,与射线 BC相交于点F. (1) 、当点 D是边 AB的中点时，求证：DFDE(2) 、当mDBAD，求DFDE的值（3） 、当21, 6DBADBCAC，设yBFxAE, 求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域FDCBAEFDCBAE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - . Q P D C B A Q P D C B A 【 练习 4】如图，在ABC中，9
16、0C，6AC，3tan4B，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作90DEF，EF交射线BC于点F设BEx，BED的面积为y（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积 . 【 练习 5】 、如图 , 在梯形ABCD中，CDAB, 34tan,4,2CADAB，PDABADC,900是腰BC上一个动点 ( 不含点B、C), 作APPQ交CD于点Q.( 图 1) (1)求BC的长与梯形ABCD的面积； (2)当DQPQ时, 求BP的长； ( 图 2) (3)设yCQxBP, 试求y关于x的函数解析式, 并写出定义域 . （图 1）（图 2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -