《全等三角形一线三等角模型的综合应用原卷版+解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形一线三等角模型的综合应用原卷版+解析版.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题一线三等角模型的综合应用原卷版模型说明应用：通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。题型精讲例 1.（标 准“K”型图）在中，Z A C B=9 0 ,AC=BC,直线MN经过点C且月于。，8E LMN 于 E.当直线MN绕 点 C旋转到图1的位置时，求证：A加 八 4CE B；D E=AD +B E-,当直线MN烧 点 C旋转到图2的位置时，求证：D E =A D-B E;当直线MN绕 点 C旋转到图3的位置时，试问力E、A D,B E 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.例 2.（做辅助线构造“K”型图）已知：中，Z
2、 A C B=9 0,A C=C B,D 为 直 线 上 一 动 点，连接力D，在直线力。右侧作1 E _ L 4 D，S.A E=A D-（1）如图1,当点D 在 线 段 上 时，过点E作 E H J.4 C 于 H,连接D E.求证：EH=AC；（2）如图2,当点D 在线段B C的延长线上时，连接B E交 Q 4的 延 长 线 于 点 求 证：=（3）当点D 在直线庭上时，连接8 E 交直线力。于 ，若2 4 c =5CM,请求出普丝的值.例 3.（“K”型图与函数综合）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4,0）,点B 为y 轴正半轴上的一个动点，以8为直角顶点，1 8 为直角边在第一象
3、限作等腰用AXBC.如图1,若 Q F =3,则点C的坐标为；如图2,若 第=4,点D 为Q 4延长线上一点，以D 为直角顶点，B D 为 直 角 边 在 第 一 象 限 作 等 腰 连 接 力 E，求证：A E 1 A B;如图3,以8为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰放a。.连 接 斯，交V 轴于点P，求线段现 的长度.例 4.（特 殊“K”型图）（1）如图1,在 A8 C 中，z B A C=9 O,4 8=A C,直线 i 经过点A,8。_ 1_ 直线?，（?七，直线“，垂足分别为点。、E.求证：A A B D C A E；（2）如图2,将（1）中的条件改为：在 A B C 中
4、，A B=A C,D、A、E三点都在直线7上，并且有N B D 4=N AE C=NB A C=a,其中a为 任 意 锐 角 或 钝 角.请 问 结 论 公 C A E 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展应用：如图3,D,E是。，A,E三点所在直线机上的两动点（D,A,E三点互不重合），点 F为NB A C平分线上的一点，且 A B F 和 A C 尸均为等边三角形，连接BD,C E,若N BD4 =N A E C=Z B A C,求证：4 D E F 是等边三角形.迁移应用1.在 ABC 中，ZA CB=9 0 ,ACBC,直线 MN 经过点 C,且 AQ_ L
5、M N 于。，B E L M N 于 E.w【感知】（1）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，易证A A Og A C EB（不需要证明），进而得到。E、A D.B E 之间的数量关系为.【探究】（2）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：D E=A D B E.（3）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，直接写出Q E、A D.B E 之间的数量关系.2 .探究：（1）如 图（1）,已知：在 A B C 中，N BAC=9 0,A B=A C,直线?经过点A,BZ）J _ 直线?，C E J 直线m,垂足分别为点。、E.请直接写出线段BO,DE,C E 之 间 的 数 量 关 系 是.拓展：（2
6、）如 图（2）,将探究中的条件改为：在 A B C 中，A B=A C,D、A、E三点都在直线机上，并且有Z B DA=A A EC=A B A C=a,其中a为任意锐角或钝角.请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立,请说明理由.应用：（3）如 图（3）,、E 是 D、A、E三点所在直线?上的两动点（。、A、E三点互不重合），点尸为NB 4C平分线上的一点，且 AB尸和A A CF均为等边三角形，连接B。、C E,若N BD4=N AE C=N B 4 C,请直接写出A OE尸的形3 .（1）模型建立，如图1,等腰直角三角形A B C中，N A C B=9 0。，C B=C
7、A,直 线 经 过 点 C,过 A 作于D,过 8 作 B EA DED 于 E.求证：BE 6 C D A x（2）模型应用：已知直线），=；x+3 与 y 轴交于A 点，与 x轴交于8点，将线段A 8绕点B 逆时针旋转9 0 度，得到线段B C,过点A,C作直线，求直线A C的解析式；如 图 3,矩形ABC O,O为坐标原点，B 的坐标为（8,6）,4,C分别在坐标轴上，P是线段B C上动点，已知点 在第一象限，且是直线y=2 r-5 上的一点，若是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点。的坐标.4 .（1）课本习题回放：如图，Z X C =9 0 ,A C=B C
8、,A D L C E,B E I C E ,垂足分别为 D，E，A D =2.5 cm,D =1.7c m.求B E的长，请直接写出此题答案：B E的长为.（2）探索证明：如图，点8，C在的边、A N.,月&=4C,点E，产 在 内 部 的 射 线 RD上，且N B E D =C FD=Z B A C.求证：L A B E L C A F.（3）拓展应用：如图，在中，A B=A C,.点 D在边EC上，C D =2 班，点E、F在线段RD上,Z B E D =C F D =Z BAC.若毋出。的面积为1 5,则与A R D E 的 面 积 之 和 为.（直接填写结果，不需要写解答过程）5 .如
9、图，线段A B=6,射线B G L A B,P 为射线BG上一点，以4P 为边做正方形A PC Z）,且点C、。与点8在 AP 两侧,在线段O P 上取一点E,使得N E 4 P=N B A P,直线CE与线段AB相交于点尸（点尸与点A、B不重合），（1）求证：A A E的 C EP；（2）判断CF与 AB的位置关系，并说明理由；（3）A E F 的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.6.如图，在AABC中，A B=4 C=2,N 8=4 0。，点力在线段BC上 运 动（。不与B,C重合），连接AO,作N 4 D E=4 0。，Z）E交线段AC于 E.（1）当N B OE
10、=115。时，Z BAD=。，点 D 从 B向C运动时，Z B A Z）逐渐变（填 大 或 小）；(2)当。C等于多少时，A A S Z 坦 D C E,请说明理由；(3)在点。的运动过程中，AAO E的形状也在改变，判 断 当 等 于 多 少 时，4AO E是等腰三角形.(1)如图，若点C的横坐标为5,求点8的坐标；C D(2)如图，若 X 轴恰好平分/班 C,8。交 x 轴于点M，过点C作 lx轴于点D,求f的值；AM(3)如图，若点A的坐标为点8在 V轴的正半轴上运动时，分别以。5、为边在第一、第二象限中作等腰尺AC 0尸，等 腰 尺 四 ,连 接 廖 交 y 轴于点P，当点8在 y轴上
11、移动时，阳的长度是否发生改变？若不变求用的值；若变化，求明的取值范围.8.如图，在平面直角坐标系中，已 知/a。、5(0,b)分别在坐标轴的正半轴上.(1)如图1,若 4、6满足9-4)?+环3 =0，以8为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角AA B C,则点 C的坐标是()；(2)如图2,若a =b，点。是24的延长线上一点，以。为直角顶点，班为直角边在第一象限作等腰直角AB D E，连接力封，求证：Z A B D =Z A E D；(3)如图3,设 4 B =c,/四 O 的平分线过点D(2,-2),直接写出b+c的值.专题一线三等角模型的综合应用 解析版模型说明应用：通过证明全等实
12、现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。题型精讲例1.（标准“K”型图）在AAFC中，ZACB=90,AC=BC,直线例N经过点C且 月5_1_砂 于O,郎 _1 _ 于.当直线M N绕点C旋转到图1的位置时，求证：AM八C M DE=AD+BEi（2）当直线M N烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；当直线M N绕点C旋转到图3的位置时，试问OE、A。、B E具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2）证明见解析（）DE=BE-AD（或者对其恒等变形得到 2?=E E-D E，BE=AD+
13、DE）证明见解析【解析】解：BELMN=90=ZCE5,：.ACAD+ZACD=9 G 0,4BCE+乙ACD=90。,:.ACAD=ZBCE,ZCAD=ZBCE 在iMDC 和 ACSB中，NADC=ZCEB,LADCLCEBCAAS）；AC=BCDCwACEB,:.CE=AD,CD=BE,DE=CE+CD=AD+BE（2）证明：-.-ADLMN,:ZADC=NCB=N4CB=90。，:.CAD=ZCE,ZCAD=ZBCE:在和A C O中，NADC=ZCEB,:.DCw&CEBAAS）；:,CE=AD,CD=BE,AC=BC-DE=CE-CD=AD-BE-,证明：当初过旋转到题图（3）的位
14、置时，AD，DE，8 E所满足的等量关系是：D E=EE-R D或RD=即+DE或BE=AD+DS-理由如下：;ADLM N,BELMN,ZADC=CEB=ZX CB =9 0%:.Z.CAD=ZBCE,ZCAD=ZBCE丫在 iM D C 和 A C O 中，ZAD C=ZCE B LADC=LCEB（AAS）,：,CE=AD CD=BE，AC=BCDE=CD-CE=BE-AD（或者对其恒等变形得到AD=BE+DE或BE=AD+DE）.例2.（做辅助线构造“K”型图）已知：AXBC中，ZACB=90,AC=CB,D为 直 线 上一动点，连接力D，在直线力。右 侧 作 力 且 力 下=火）.（
15、1）如图1,当点D在 线 段 上 时，过点E作 H 4 C于H,连接DE.求证：EH=AC；（2）如图2,当点D在线段BC的延长线上时，连接8E交G4的 延 长 线 于 点 求 证：BM=EM（3）当点D在直线C B上时，连接B E交直线R C于，若2 4 c =5C M,请求出25的值.4 4【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2或13 7【详解】证明（1）.F E _ L火D，463=90。，Z 4 ff=9 0-ZC4 D,ZADC=90-ZCAD,：,EAH=ZADC,（ZAHE=ZACB=90在6核与1 D G 4 中，EAH=ZADC,AAH EAD C AA）,:.EH=A
16、C；AE=AD（2）如图2,过点E作 即_ L 4 7,交C 4延长线于N,AELAD ZACB=90,Z E W=9 0 0-Z C A D,ZADC=9 0 -Z.CAD,：,ZEAN=ZADC,fZVE=Z2?C4=90在与DG4中，ENA=ZACD,:.AANEADCA(AAS),：,EN=AC,M =HD又.；AC=BC,.加=E C,4即 而=/BMC又在河与 A5cM 中，ZN=ZBCA=90 A W A 5 O/(A 4 5),则笈M=小;BN=BC（3）如图，当点。在线段B C上时,.247=5CW,可设力。=5 i，CM=2a,由(1)得：A A H E A D C A,则
17、4N=C D,EH=AC=BC=5a,由 丁 ASBf=ZBJf=9 0 ，乙的1C=乙的1H,-AM HEAM CB CAAS),：.CM=HM,即加=0 =2a，.AH=AC CH 一 册=3a-2a-2a=a，:AM=AH+HM=3af CD=AH=aEH=AC=5a,BD=BC-CD=4a,c-BDxAC x 4 ax 5a A2*，=2_=2_=2c 1 1 32曲-AM xEH x3ax5a 2 2如图，点D在CB延长线上时，过点E作 双1 4 C,交工。延长线于曾,24C=5CM,可设力。=5 ，CM=2a,加J_4C，AEIAD ZANE=/LEAD=AACB=90，Z4AT=
18、90-ZC4D,ZADC=90-ZCAD,:.ZAN=ZADC1fZAM?=ZDCA=90Q在AJIWE与DC4中，zENA=XACD，:.AANE注DCA(AAS)，：.EN=AC,AN=CD,AN=AD义A C=B C,:.国=BC，4 EMN=4BMC又在&EiW与 A5CM 中，jZAf=Z5C4=90,:.AENMABCM(AAS),.CM=NM=2a,EN=BCNE=BC=AC=3a，AN=AC+CH+KN=，S-BDxAC；x4ax5a4AM=AC+CM=la,A/f=C D =9a.BD=4a,=-=j-=-AMxEN Lx7 ax5a 22点D在&。延长线上，由图2得：AC
19、：下是等边三角形.c图 1图 2图 3【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【详解】（1）证明：TBDJ.直线加，CgJ_直线次，:/血 l=NCEA=90,.ZBAC=90,NBAD+NCAE=90,-,-ZBAD+ZABD=90.:.Z.CAE=ZABD,（ZABD=CAE在 LADB 和 ACE4 中，j ZBDA=NCEA,LADBKCEAAA）AB=AC解：（2）成立，理由如下：-.ZBDA=ZBA C=a,ND历1+ZBAD=ABAD+NC4E=180。-a，:乙CAE=ZABD,（ZABD=CAE在 AADB 和 ACE4 中，ixBDA=ZCEA,AB=AC
20、（3）证明：,A ABF和 ACF均为等边三角形，BF=AF=AB=AC,ZABF=ZBAF=ZFAC=60,.z BDA=Z.AEC=BAC=12O,/皈+0=血 1 0+/例=180。-120。，NCAE=ZABD,LADBb,C&AiAAS）,/.AE=BD ZFBD=/.FBA+Z.ABD,Z.FAE=Z.FAC+ZCAE,:.Z_KBD=Z.FAE ADBF丝A4F（SAS）,；.FD=FE/BFD=ZAFE,Z5E4=ZSFD+Z.DFA=AFE+Z.DFA=Z.DFE=60,DFE是等边三角形.迁移应用1.在 ABC 中，Z ACB=30,A C=B C,直线 MN 经过点 C,
21、且 AJ_MN 于。，BELMN 于 E.用 图 图【感知】(1)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，易证AO8 A CEB(不需要证明)，进而得到OE、AD,3E之间的数量关系为【探究】(2)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE-AD-BE.(3)当 直 线 绕 点C旋转到图的位置时，直接写出。E、AD,8E之间的数量关系.【答案】(1)DE=AD+BE；(2)见解析；(3)DE=BE-AD AD=BE-DE,BE=AO+)E等)【详解】解：(1)证明：,.,43_LDE,BEJ.DE,Z ADC=Z BEC=90,Z ACB=90,：.Z ACD+A BCE=90,DAC+A ACD
22、=90,：.DAC=A BCE,(ZCDA=ZBEC在 AZ)C 和中，ZDAC=ZECB,ADC A CEB(AAS),ADCE,CD=BE,AC=BC;DC+CE=DE,DE=AD+BE.(2)证明：BELMN,/N4DC=N CEB=90。,又 Z ACB=90,Z CAD+z ACD=90,Z ACD+z BCE=90.：.Z CAD=A BCE.4 C=B C,A)8 CEB.CE=AD,CD=BE,.DE=CE-CD=AD-BE；(3)DE=BE-AD,理由：/BEECf ADCE,：.Z 4QC=N BEC=90,/.Z EBC+Z ECB=90,.Z ACB=90,N ECB+
23、N ACE=90,Z ACD=N EBC,在 AQC和 CEB中，fZACD=ZCBEixADC=ZBEC,AC=BC ADC CEB(A4S),AD=CEf CD二BE,/.DE=CD-CE=BE-AD(或 AD=BEDE,8E=AO+QE 等).2.探究：(1)如 图(1),已知：在 A5C中，Z BAC=90f AB=ACf直线历经过点A,8。_1直线机，直线机，垂足分别为点。、E.请直接写出线段2。，DE,CE之 间 的 数 量 关 系 是.拓展：(2)如 图(2),将探究中的条件改为：在AABC中，AB=AC,。、A、E三点都在直线机上，并且有Z BDA=AEC=Z BAC=a,其中
24、a为任意锐角或钝角.请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立,请说明理由.应用：（3）如 图（3）,。、E 是 、A、E 三点所在直线机上的两动点（。、4、E 三点互不重合），点 F 为N 5AC平分线上的一点，且 ABF和A AC尸均为等边三角形，连接8）、C E,若N BD4=N AEC=N B 4 C,请直接写出ADE尸的形状是_.CEF是等边三角形【详解】（1）解：如图1,图 18。_1直线 m,CE_L 宜线 m,：.z BDA=Z.CEA=90Z BAC=90,z BAD+CAE=90QN BAD+Z.4 8 0=9 0 ,Z CAE=Z ABD,fBDA=ZCEA
25、在 AADB 和 ACEA 中，zC A E =ZABD,AB=AC ADB CEA(/LAS),：.AE=BD,AD=CE,：.DE=AE+AD=BD+CEi 故答案为：DE=BD+CE(2)解：如图2,图 2Z BDA=4 BAC=a,；.Z DBA+N BAD=4 BAD+Z CAE=180-a,，Z DBA=Z CAE,卜 BDA=NCEA在AAOB 和ACEA 中，izC A E =XABD,AB=ACA ADB A CEA(AAS),：.AE=BD,ADCE,：.DEAE+AD=BD+CE（3）证明:如图3,；A ABF和 ACF均为等边三角形，J.N ABF=N CAF=60。，
26、BF=AF,Z DBA+Z.A BFZ.CAE+Z.CAF,Z DBF=Z.FAE,BD=A E：在4 0 8 尸和 E4尸中，D B F =ZFAE,：.D B 0 EAF(SAS),BF=AFDF=EF,Z B F D=/AFE,：.Z D F E=t DFA+A A F E=力物+N B F D=60,iOE尸为等边三角形.3.(1)模型建立，如图1,等腰直角三角形A 8C中，NACB=90。，C B=C A,直线EQ经过点C,过 A 作 A_LE于D,过 8 作 BE L E D 于 E.求证：B E 8 C D A；(2)模型应用：已知直线y=,x+3 与y 轴交于A 点，与 x 轴
27、交于B 点，将线段A 8绕点B 逆时针旋转90度，得到线段8 C,过点A,C 作直线，求直线AC的解析式；如 图 3,矩形ABC。，。为坐标原点，B 的坐标为(8,6),A,C 分别在坐标轴上，P 是线段8 C 上动点，已知点。乙EBC+N B C E =N B C E+N A C D =9丫，：.NEBC=ZACD,在第一象限，且是直线y=2 t-件的点D的坐标.匕 c D图1【答案】(1)见解析；(2)7=【详解】解：(1)由题意可得5 上的一点，若AP。是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接、，尸2 r 5/图2图3=-1 x +3；)或(9J3)或 弓，争ACB=ADC=B E
28、C=,在砒1c和ACZM中Z E B C=Z A C DNE=ND 一 .S)；B C =A C（2）过点C作 J_x轴于点D，如图2,同（1）可证得&。厉逐ABQ/1,令x=0可求得J=3,A CW=3.8=4CD=BO =4,班=4 0=3,r 8 =4+3=7,C(-7,4)且力(0,3),设直线AC解析式为=h+3,把C点坐标代入可得_7工+3=4,解得上=_；,直线AC解析式为 丁=-；1+3；过点D作DE_L。力于E，过点作3_LBC于F,同理可得：HED组DFP设 D 点坐标为,则HE=25b=6-(2r-5)=ll-2 x ,-D E+D F=E F=BC,即ll-2 x+x=
29、8,解得x=3,可得D点坐标（3,1）：如图 3,当NAPQ=90。时，AP=P D，过点尸作EE1Q4于E,过点。作D9_LPE于F，设点P的坐标为曲m）,同理可得：AAP E P D F,P F=A E =6-m,D b =P E=8,，。点坐标为+.m +8 =2 Q4-nj)-5,得加=5,二。点坐标(9 J 3)；如图4,当N*=9 0。时，力D =P D时，同理可得儿D E 9 Z k D印，设久乩 2 5-5),则=郎=*0 5=2M-5,A E=D F，则 D F=4 E=2 一5-6=2 n-l l,i o 2 3 1 0 ,D E+D F=E F=O C=Z,A +2M-1
30、1=8 ,解得n=手，2 n-5=丁，二 D 点坐标(可，二图4综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(9 J 3)或).4.(1)课本习题回放：如图，Z XC =9 0 ,A C=B C,A D 1 C E,B E ICE,垂足分别为 D，E，l D =2.5 an,D E=1.7 cm.求8月的长，请直接写出此题答案：8 E的长为.(2)探索证明：如图，点R,C在的边儿M、A N上,点E，F在NMW内部的射线力D上，且/B E D =/C F D =Z B A C.求证：L A B E L C A F.(3)拓展应用：如图，在A 4 B。中，A B=A C,点D在 边 上，C D
31、=2 E D,点E、产在线段r D上,Z 5 D =Z C 5 D =Z 4 C.若A 4 B。的面积为1 5,则AA4与A B D E的 面 积 之 和 为.(直 接 填 写 结 果，不需要写解答过程)【答案】（1）O.Stvn；（2）见 解 析（3）5【详解】解：(1)BEJ.CE,ADX.CE,：.Z =Z ADC=90,/.Z EBC+A BCE=9Oa.(ZE=ADCN 8C+N 4C=90,，N E8C=N O C A.在CEB 和ADC 中，jZEBC=ZDCABC=ACA CEBW A ADC(AAS),BE=DC,CE=AD=2.5cni.DCCE-DE,DE=1.7cm,D
32、C2.5-1.7=0.8cm,BE=0.8cm,答案为：0.8c7；(2)证明：=Z8E4=N4FC.1,Z 1=Z ABE+Z.3,Z 3+z 4=Z BAC,Z 1=Z BAC,r.NBAC=NA8E+N3,，N4=NABE.Z AE8=N AFC,Z ABE=Z 4,AB=AC,ABE CAF(.AAS).AM(3)ZBED=CFD=ZBACZ ABE+N BAE=N FAC+A BAE=N fAC+Z ACF,：.Z ABE=N CAF,Z BAE=N ACF又月B=4 C,ABE C A F,冬版 S q.也4 b 与加KDE的面积之和等于A W E与ABDE的面积之和，即为 A8。
33、的面积,CD=2BD,AB力与 AC力的高相同，则皿=；品加=5故也4c了与的面积之和为5,故答案为：5.BDBC5.如图，线段4B=6,射线BG_LA8,P 为射线BG上一点，以AP为边做正方形APC。，且点C、力与点B 在 A P两侧,在线段Q P上取一点E,使得N E4P=N B A P,直线CE与线段AB相交于点F（点尸与点A、B 不重合），（1）求证：E 和 CEP；（2）判断C F与 AB的位置关系，并说明理由；（3）zUE尸的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）C F J.A B,理由见解析；（3）是，为 16.【详解】解：（
34、1）证明：,四边形APCD正方形，O P平分N APC,PC=PA,N 4PC=90。,.Z APE=N CP=45,f AP=CP在 与 CEP 中,zA P E =C P E,A AEP CEP(SAS)；PE=PE(2)C F S.A B,理由如下：I，AEP CEP,：.Z EAP=4 ECP,：Z EAP=Z BAP,-Z BAP=FCP,：Z APC=90,：.Z FCP+Z CMP=90,Z AMF=A CMP,Z AMF+A PAB=90Q,：.Z AFM=90,CFrAB-(3)过点 C 作 CNLPB.CFJ.AB,BGAB,：.Z P N C=N 8=9 0,FCW BN
35、,Z CPN=Z PCFM EAP=A PAB,X AP=CP,A P C冶 A APB(A 4 S),CN=PB=BF,PN=AB,：A AEP A CEP,AE=CE,：.A AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16.故AAEF的周长是否为定值，为1 6.6.如图，在AABC中，AB=AC=2,N 8=4 0。，点。在线段8c上运动(。不与8,C重合)，连接AO,作N A E=4 0 ,OE交线段AC于E.(1)当N B O E=1 1 5。时，Z BAD=。，点。从B向C运动时，N B A。逐 渐 变 (填
36、大或小)；(2)当。C等于多少时，AABD D CE,请说明理由；(3)在点。的运动过程中，4 O E的形状也在改变，判断当N B A。等于多少时，AAC E是等腰三角形.【答案】（1）6 5，大；（2）D C=2；（3）30。或6 0.【详解】解：（1）.2班次=115。，Z A D E=40,ZBDA=ZBDE-ADE=115-40=75,ABAD=18 0-Z B-ABDA=18 0 -7 5-40=6 5,当点。从8向C运动时，N B A。逐渐变大.故答案为：6 5。，大：（2）当P C=2时，4ABD空&DCE,理由如下：AB=AC=2,N 8=40:.4 =N 8=40。，ZADE
37、=40。，又,Z B +ZBM=NQC=N A D ff+Z C ,:2 B A D =Z E D C，在月即和AZ X花中,f B A D=Z E D C A B=D C ,Z B =Z C.-.A 力班 W AD CE(A SA)；(3)当 乙 皿 得度数为301 1 或6 0。时，AJ ID E是等腰三角形.理由如下：,-ZC=Z5=40,A Z B A C=18 0-(Z C+Z B)=100 ,/g =/。=40 ,Z A D Z C ,D E为等腰三角形时，只能是R D =DE 或为E=DE，当4 D =DE 时，Z I W E =Z D 4 =l(18 0o-40o)=7 0o,
38、Z B A D=Z B A C-Z m(7=100-7 0=30,当 4=E D 时，ZA DE=ZDA =4 0,.Z A D =18 0o-40o-40o=100,Z B A D =Z B A C-A D A C =100-40=6 0,综上所述，当N E X T 得度数为30。或6 0。时，AME是等腰三角形.（1）如图，若点C 的横坐标为5,求点8的坐标；（2）如图，若X 轴恰好平分N R 4C,8。交 X 轴于点，过点C 作 l x轴于点3,求K 的值；（3）如图，若点A的坐标为（-4,0）,点8在V 轴的正半轴上运动时，分别以0 8、再 8为边在第一、第二象限中作等腰尺A湖，等腰尺
39、阳,连接E9交y轴于点p,当点8在 y轴上移动时，阳的长度是否发生改变？若不变求用的值；若变化，求用的取值范围.【答案】（1）（0,5）（2）9（3）不变，等于2.【详解】解：（1）如图1,作 C O_L 8 O于。，N CBO+N 480=90,N ABO+N BAO=90,.N CBO=N 8A。,fZBOA=ZBDC=90在 48。和 BCD 中，ixC BD =ZBAO,ABO BCD(A4S),AB=BC，C）=B 0=5,r.8 点 坐 标（0,5）；(2)设 A8=8C=m则 4 c=/a,AM(即x 轴)平 分 N 8 4 C,:.也=空=也,MC AC 1即 MC=BM,-8
40、c=8M+M C=a,解得 8 M=(7 2-1)“，MC=(2-五)a,则 AM=加+琢1fl=4 4-2尤，Z A8M=N CDM=90,a z AM8=N CMD,：.Rm ABM-Rt4 CDM,些 二 组,即。=丝色CD CM AMCD a-Q-&)a i二 吟（3）阳 的长度不变，理由如下：如图3,作 EG_Ly轴于G,图3 N 8 4 0+/0 8 4 =90,NOBA+，EBG=90,；.NBAO=NEBG,f ZXOB=ZBG5=9 0 0在BAO 和 AEBG 中，ZBAO=ZEBG,/.BAO EBG(AAS)9：.BG=AO,AB=BEEG=OB,1,O B=B F,/
41、.BF=EG,ZEPG=ZFPB在4 G PA F5P 中，jz 5 G F=Z P =90o,EGP FBP(A45),EG=BF:.PB=PG,：.PB=1-B G=-A O=2.2 28.如图，在平面直角坐标系中，己 知 如 6、5（08）分别在坐标轴的正半轴上.（1）如图1,若 、人满足（a-4）?+廊 寿=0，以8为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角AA S C,则点C的坐标是（）；（2）如图2,若a=b，点。是。4的延长线上一点，以。为直角顶点，叨为直角边在第一象限作等腰直角AB D E，连接火E，求证：Z A B D=Z A E D i（3）如图3,设月E=c,乙15。的平
42、分线过点D（2,-2）,直接写出 匕+c的值.【答案】（1）点C的坐标是（3,7）；（2）见解析；（3）a-b+c=4【详解】解：（1）I,（a-4）?+=r.a=4,2?=3,Q 4=4,O B=3,过点C作 1轴于点D，AX 5 c为等腰直角三角形,B A =B C,ZA B C =9 0 ,C B D+Z A B O=9 0,Z A B O+Z B A O =9 00,匕C B D=Z B A O ,在AB月。和AC S D中，ACBD=ZBAOZCDB=ZBOA,BC=AB 血4gL e.*.OA=DB=4fCD=BO=3,OD=OB+BD=3+4=7 ,.点c的坐标是(3,7)；1,
43、N ED M+N M ED =9 0。，,N OD B =N M ED，f BD=DE在尺 OB D和尺&掰中，j4 ODB=ZMED,ZBOD=ZDMELOBDLMDEAAS),:.OB=DM,OD=ME,又 a=b，即必=0 8,，皿=月)+=月3+第=&+。月=8 =，/1 4=45 ,即R 4 1 R E,又BDLDE，设E D与R E相交于点M.在AM R和 OW E中，ABAN=ZEnV=%,ZANB=ZDNE,-ZABD=ZAED;(3)作OF_L j轴于H,DHA.X轴于H,DKJ.BA交BA的延长线于K,则。尸=D H=2,r 8。平分N A B O,OF_L y 轴，DKB
44、A,DF=DK=2,-Z B FL =Z B D =9 0,ZFBD=AKBD,BD=BD BDKBD(AAS),DF=DH=DK,BK=BF=b+2,在 RtX D A H 和 R1 4 D A K 中，L/A =Rt&DA H R m D A K (HL)：.A K=A H=a-2,B K=c-a-2,c+a-2=b+2,a-/?+c=4.9.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图 1,N 5 40=9 0。，A B A D,过点 8 作 B C_L A C 于点 C,过点。作。E L A C 于点 E.由 N 1+N 2=N 2+N。=9 0。，得N 1 =ND 又N A
45、 C 8=N A E D=9 0。，可以推理得到 AB8 D 4 E.进而得到AC=_,B C=A E.我们把这个数学模型称为K 字模型或一线三等角模型；(2)如图 2,Z B A =N C4E=9 0。，A B=A D,A C=A E,连接 B C,D E,且 B C_L A/于点 F,D E 与直线 A 尸交于点 G.求证：点 G 是 QE 的中点；(深入探究)(3)如图，已知四边形A B C。和。E G F 为正方形，A F 的面积为S/,O C E 的面积为S2,则有S S2(填、=、)【答案】(1)D E；(2)见解析；(3)=【详解】解：(1);区，.1 4 C=D E：(2)分别
46、过点。和点E作于点”,EQLFG于点。如图所示：二乙以斤+Z A D H =9 0，N B A F =Z AD H，-BC1AF,ZBFA=ZAHD=90，-：A B =DA，48雁&DA H,:.A F=DH,同理可知 A F=EQ,：.DH=EQ,-：DHA.FG,EQ FG,Z D H G =Z E Q G=9 0 ,;N D G H =2 E G Q ,D H G W A EQ G,：.D G=E G,即点 G 是 Z)E 的中点;(3)5 =限,理由如下：如图所示，过点力作。0,4 尸交A 尸于。，过点E作 E N _L。交。延长线于M过 点 C作CMLO D交O D延长线于MoGD
47、四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形，N ADC=Z.9 0。，AD=DC,DF=DE-：DO AF,CM OD,：.Z AOD=A CMD=90,Z OAD+A ODA=90,Z CDM+Z.DCM=90,又；Z ODA+Z.CDM=90,：.Z ADO=Z.DCM,：.AOD A)MC,SAHOB=r w c，OD=MC,同理可以证明 FOD DNE,：4皿 ODNE,：.MC=NE,EN1OD,CM工 OD,Z EPN:C M P,.二 ENP CMP,.c*=c*Q.ER尸 Q.O M P，=HtOD+一 ZOMF+HHE+ZEM 1 ZDUE=S q g +S.DE押=SOD+尸O D，*-S的E=SX D F 即$=S?