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1、2.4.2 圆的一般方程教学设计教材分本小节内容选自 普通高中数学选择性必修第一册人教A版(2019)第二章 直线和圆的方程的第四节 圆的方程。以下是本单元的课时安排：第二章 直线和圆的方程课时内容2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系所在位置教材第82页教材第91页新教材内容分析圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶段学习过圆的一些性质，现在在平面直角坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题。圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用。运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题，在教
2、学过程中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。核心素养培养通过圆的标准方程、一般方程的求解，培养数学运算的核心素养；通过圆的一般方程的理解，培养数学抽象的核心素养。通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题，提升数学运算的核心素养。教学主线圆的方程的应用S学情分在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数
3、的方法解决几何问题的能力。习目1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养.四、教学重重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题教学过（-）新知导入 古朗月行唐 李白小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。月亮,是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？（二）圆的一般方程【思 考1
4、】圆的标准方程（x a）2+（y 份2=/。0）展开可得到一个什么式子？【提示】xi+y22ax2by+a2+b2r1=0.【思 考2 把/+/+以+砂+6=0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是就一定表示圆？【提示】得到的方程为二些当+E2-4Q O时，方程表示以(一9，一9为圆心，以 历 耳 彦 二 彳 为 半 径 的 圆；当。2+/一4尸=0时，方程只有实数解x=一圣y=一亨，它表示一个点(一?，一与 当U +E2-4 F 0时，方程x2+y2+D x+y+F=0叫做圆的一般方程，其中圆心为(一,，一9，半径为g ylcP+E-AF.【做一做1(教材P 8 8练 习2改编)若方程f+
5、V+Z y+S k=0表示圆，则k的取值范围是()A.k B.k0,k+1 =0；(4)炉+产一4/nx+2/ny+2 0/7?2 0 0.【分析】利用圆的一般方程的特点解题.【解析】(1)由于x2,y2的系数不相等，该二元二次方程表示的不是圆.(2)由于该二次方程中含有孙项，,该二元二次方程表示的不是圆.(3)由于D2+2-4 F=1 +4-4 0,该二元二次方程表示的是圆.又 x2+y2+x+2 y+1 =(x+)2+(y +1 )2-0,即(x+0+(y+1)?=；,它表示以(一；，一1)为圆心，以3 为半径的圆.(4)法一：；=一4，小 E=2 m,尸=2 0?-2 0,D2+E2-4
6、 F=16m2+4 m2-8 0 w+8 0=20(/Z J一2 尸，当m=2时，它表示一个点；当机W2时，原方程表示圆，此时圆心为(2 加，阳),半径为 2+2 4 =小/一2|.法二：原方程可化为(X 2 帆)2 +，+7)2 =5(初一2)2,当 7=2时，它表示一个点；当机#2时，原方程表示一个圆，其圆心为(2 小，一机)，半径为/=小|，刁 一2|.【类题通法】二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为f+；+x+a+F=0 的形式，但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法：(1)计算)+尸,若其值为正，则表示圆;若其值为0
7、,则表示一个点;若其值为负，则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(+92+()，+|)2=四衿，根据圆的标准方程来判断.【巩固练习1】已知方程2(m+3)x+2(l4 z2)y+16加+9=0表示一个圆.(1)求实数机的取值范围；(2)求该圆半径的取值范围.【解析】(1)方程化为了一(/?+3)2+3,+(1 4/H2)2=7/n2+6/w+1,/.7/n2+6/n+1 0,一方程表示圆时m的取值范围为一加V 1.-7/2+6m+1=q-7(了 一节 2+i+兴 华,圆的半径r的取值范围为0V,W蜉.2.圆的方程的求法例 2.己 知42,2),8(5,3),C(3,-1),求ABC外接圆的方
8、程.【分析】欲求圆的方程可先将圆的方程设出来，将条件代入求得.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=(),j2+2E+E+8=0,rD=-8,由题意得5O+3E+尸+34=0,得=2,3E+F+10=0,F=2.：./ABC 外接圆的方程为 f+y2-8x-2y+12=0.【变式探究】若本例改为：已知圆过A(2,2),C(3,-1),且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.p=l,E=I,【解析】设所求的圆的方程为j r+D x+E y+F=O,，22+22+2 D+2 E+F=0,由题意得 9+l+3 )-E+F=0,得_ D=_ E、_ =一，所 求 的 圆 的 方 程 为
9、/+尸+),1 2=0.【类题通法】用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数。，E,F.【巩固练习2】已知圆C：/+9+6+E)，+3=0,圆心在直线x+y1=0上，且圆心在第二象限，半径为血，求圆的一般方程.【解析】圆心 一片，7),因为圆心在直线x+y1=0上，D E所以一,一5 1=0,即。+=2,又-W+异卫=啦,所 以。2+/=2 0,A由可得)=-4,=2.
10、又圆心在第二象限，所以一%0,即。0,所以0=2,E=4,所以圆的一般方程为9+9+法一4 y+3=0.3.求轨迹方程例3.已知直角 A BC的斜边为A B,且A(1,0),8(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边B C中点M 的轨迹方程.【分析】只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件.【解析】(1)法一：设顶点C(x,y),因为A C J _ 8 C,且 A,B,C三点不共线，所以存3且洋1.又依言，且 kACkBC=1,所以工；二 3 =一 化简得/+2 2 光 一3=0.因此，直角顶点C的轨迹方程为(x l)2+y2=4(x W
11、3 且 x W 1).法二：同 法 一 得 且 xW-L由勾股定理得H C F+|3 C|2 =h 4 8 F,即(x+l p+V+a 3 +)2=1 6,化简得/+y 2 2 比一3=0.因此，直角顶点C的轨迹方程为/+9一2 3=0(X 力3且 x W-l).法三：设 A8中点为。，由中点坐标公式得0(1,0),由直角三角形的性质知，|C D|=；|A B|=2.由圆的定义知，动 点。的轨迹是以0(1,0)为圆心，以 2为半径长的圆(由于A,B,C三点不共线，所以应除去与工轴的交点)，所以直角顶点C的轨迹方程为(x 1)2+)2=4(XW 3且 x W 1).(2)设 点 M(x,y),点
12、 C(x o,yo),因为8(3,0),M 是线段8c 的中点，由中点坐标公式得/=)，3(工右3且 x W 1),于是有x()=2 x 3,yo=2 y.由(1)知，点 C在圆(x 1)2+)2=4(XW 3且 r W 1)上运动，将 孙 yo 代入该方程得(2 x 4)2+(2 y=4,即(x 2 +y2=,因此动点M的轨迹方程为(X z y+y niaws且 x w i).【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法L 直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程；2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.【巩固练习3已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点3(8,0)的
13、距离的一半.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若 N为线段4M的中点，试求点N的轨迹.【解析】设动点M 的坐标为(x,y),VA(2,0),B(8,0),MAMB,/.(A 2)2+y2=1 (%-8)2+y2.化 简 得 炉+产=1 6,即动点M的轨迹方程为三+)2=1 6.(2)设 点 N的坐标为(x,y),VA(2,0),N为线段AM的中点，.点M 的坐标为(2 x-2,2 y).又点 M 在圆 9+#=1 6 上，.*.(2%2)2+4)=1 6,即(x l +y2=4.点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆.(四)操作演练 素养提升1 .若 方 程/+尸 一 x+y+m=0表示
14、圆，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是()A.B.m 2 D.mW/2,若直线3 x+y+a=0过圆x2+y2+2 x 4 y=0的圆心，则a的值为()A.-1 B.1C.3D.-33.当 点 尸 在 圆f+V=l上 移 动 时，它 与 定 点。(3,0)的 连 线P。的中点的轨迹方程是()A.(工+3)2+产4 B.(x-3)2+/=lC.(2X-3)2+4/=1 D.(2X+3)2+4/=14.已 知 两 定 点A(2,0),8(1,0),如 果 动 点P满 足|PA|=2|P3|,则 点P的轨迹所包围的 图 形 的 面 积 等 于()A.兀B.4兀C.87r D.9兀答 案：1.A
15、2.B 3.C 4.B【设计意图】通 过 练 习 巩 固 本 节 所 学 知 识，通 过 学 生 解 决 问 题 的 能 力，感悟其中蕴含的数 学 思 想，增 强 学 生 的 应 用 意 识。(五)课堂小结，反思感悟1.知识总结：一 般 方 程圆 的 一 般 方 瘟 -1 一 般 方 程 的 特 点T 轨 迹 方 程 的 求 法2.学生反思：(1)通过这节课，你学到了什么知识？(2)在解决问题时，用到了哪些数学思想?【设计意 图】通 过 总 结，让 学 生 进 一 步 巩 固 本 节 所 学 内 容，提 高 概 括 能 力，提 高 学 生 的 数 学 运 算能力和逻辑推理能力。作业布完成教材：第88页 练习 第1,2,3题第 88 页 习题 2.4 第 1,2,3,4,6,7,8,9 题七、课堂记录八、教学反思