《2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第二节空间点、直线、平面之间的位置关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第二节空间点、直线、平面之间的位置关系.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系【考试要求】1.会利用平面的基本性质证明共线、共面问题.2.会判断空间中两条直线的位置关系.【高考考情】考点考法：高考命题常考查异面直线的判断、平面与平面的交线问题、共点与共面问题.多以选择题的形式出现，也可以作为解答题第一问出现.核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象o 知铝梳理二思锦激活-Q归纳知识必备1.平面的基本性质公 理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公 理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.公 理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公 理4：平行于同一条直线的两条
2、直线壬任.2.直线与直线的位置关系”位置关系的分类.共面直线平行直线相交直线异面直线:不同在的一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角定义：设a,6是两条异面直线，经过空间任一点。作直线a/a,b/b,把，与8所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.范围：（0,-y3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.4.平面与平面的位置关系有壬红、相交两种情况.5.等角定理卬空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,注 解 1空间中没有公共点的两条直线可能是异面，也可能平行.注 解 2若两角的两边分别对应平行且方向都相同或都
3、相反，则这两个角相等；若两角的两边分别对应平行且一边方向相同而另一边方向相反，则这两个角互补.-智 学 变式探源1.必修2 P 1 3 2 习题&4 T 32.必修2 P 1 3 1 练习1 1(2)1 .（改变题型）下列说法正确的个数为（）梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 C.中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确.2 .（改变问法）如果两条直线a 与 8 是异面直线，那么a 与 8 的公
4、共点个数为（）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个【解析】选 A.两条异面直线没有公共点，故选A.慧考 四基自测3.（直线位置关系判断）如图，在正方体/况D46G中，E,F分 别 为BC,做的中点，则下3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力列直线中与直线即相交的是（A.直线4 4 B.直线C.直线4 D.直线4 G【解析】选 D.通过题图易知直线4 4、直线4 5、直线4 与直线如不在同一平面内，直线AG与）在同一平面内且不平行，故直线6G与直线）相交.4.（求异面直线所成的角）已知正四棱柱力式45G4中，4 4 =2 4 8,后为4 4 中点，则异面直线缈与以所成角的余弦
5、值为（）3-5D.喟a1-5B.噜【解析】选 C.取 中 点 尸，则/我皿为所求角,cos4FCD=（巾）2+（乖）2-/2Xy/2Xy53y10 1 05 .（基本性质的应用）在下列命题中，不是公理的是（）A.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内B.平行于同一个平面的两个平面相互平行C.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选 B.根据点、直线和平面的公理得选项A C D 是公理，选项B 不是公理，是一个定理.6 .（四点共面）如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱
6、的中点，这四个点共面的图形是（）【解析】选 D.在图中分别连接尸S,QR,易证空 Q/?,所以尸，Q,R,S四点共面；在图中分别连接技，RS,易选PQRS,所以尸，Q,R,S 共面.在图中过点尸，Q,R,S 可作一正六边形，故四点共面；在图中心1 与为异面直线，所以四点不共面.o=点 棵 究.倍 法 培 也 -o，考点一 空间两直线位置关系的判断|自主练透1.（2 0 2 1 六安模拟）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:Q）AFH CN：与4 V 是异面直线；与掰所成角为6 0。；）BN工DE.以上四个结论中，正确结论的序号是（）A.B.C.D.【解析】选 B.如下图所示，连接AV,BN
7、,对于，由图可知，AF,av 异面，错；对于，在正方体 皮诺戊初V 中，AB MN旦AB=MN,所以四边形4 8 城为平行四边形，W BMAN,错；对于，因为4M故异面直线 与笈7 所成角为N ai/V 或其补角，易知力/后/衿外，故4/W 为等边三角形，则/用“=6 0 ,对；对于，因为四边形/加 为正方形，则比44%因 为 平 面 4 加,加t 平面/外 所 以 施 因 为 4 8 n加-4,所以庞_ L 平面四枷；因为氏上平面4 次幽 所以DELBM 对.2.（2 0 2 1 三门峡模拟）甲、乙、丙做同一道题：已知。，尸是两个不同的平面，m,n,1 是三条不同的直线，且满足/仁a,nu,
8、a n =/.甲说：“a_ L ”，乙说：“加 _ L ”，丙说:an/T,如果三人说的均是正确的，以下判断正确的是（）A.m/B.z?aC.直线加，/不一定垂直 D.直线加，为异面直线【解析】选 D.结合甲、乙、丙三人的说法可知，当mLn,/正确时，可得到加，1,故 C 选项错误；又因为g a，nu 8,a C =/,所以加_ L ,故A 选项错误；由于 1,I 仁 a,a C 8=1,m,n,1 是三条不同的直线，所以z?a,故B 选项错误；当 aj.,ml,n,/正确时，直线处只能为异面直线，故D 选项正确.规律方法两直线位置关系的判断方法（1）异面直线的判断:反 证 法；判定定理法.平
9、 行 直 线 的 判 断：平 面 图 形 的 性 质(三 角 形、梯 形 的 中 位 线，平行四边形等);公 理4平 行 线 的 传 递 性；线面平行和线面垂直的定理.提 醒：唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.教师专用【加 练 备 选】(2 0 2 1 运 城 模 拟)已 知4 8为 不 在 平 面。内 的任意两点，给出以下命题:在a内 存 在 直 线 与 直 线4?异 面；在a内存在直线与直线力6相 交；存 在 过 直
10、 线4?的平面 与。垂 直；在。内 存 在 直 线 与 直 线 平 行.其 中 正 确 的 命 题 是()A.B.C.D.【解 析】选A.如 图 所 示，在 正 方 体 中，由4 6是 不 在 平 面。内 的任意两点，得 直 线4 6 a或 直 线4 6与 平 面a相 交，对 于 ，当 直 线A B/。时，取 平 面。为 徵 G，则 如 与4 8异 面；当 直 线 四 与 平 面a相交时,取 平 面。为侬G，则 久;与4 5异 面，故 在。内 存 在 直 线 与 直 线4 8异 面，命 题 正 确；对于,当直线时，直 线4?与 平 面a没 有 公 共 点，所 以 在。内 不 存 在 直 线 与
11、 直 线4?相 交，故错 误；对 于 ，当 直 线 四 。时，取 平 面a为 切 G，则 过 直 线 四 的 平 面4 8 与a垂 直；当 直 线 与 平 面。相 交 时，取 平 面。为侬G,则过直线力8的 平 面4 8 5与。垂 直；存在过直 线1 8的 平 面 与a垂 直，命 题 正 确；对 于 ，当 直 线4?与 平 面a相 交 时，在a内不存在直线 与 直 线4 8平 行，故错误./考 点 二 异 面 直 线 所 成 的 角 讲 练 互 动 典例1 （D （2 0 2 1 全国乙卷）在正方体AB C D-AB C D 中，P 为 BD的中点，则直线PB 与 AD）所成的角为（）JT J
12、I JT JI4 万 B-T 。了 D-T【解析】选如图，N PB G 为直线PB 与A D 所成角的平面角.JI易知&B C 为正三角形,又P 为AC的中点,所以N PB C 尸瓦.，一题多变（2021 滨州模拟）在正方体A B C D-A B C D 中，M 是棱D D i 的中点，P 是底面A B C D 内（包括边界）的一个动点，若M P平面A B C”则异面直线M P与AC所成角的取值范围是（）（JT JT JT JT JT JT“。T B-TJ 于 “J【解析】选 c 取A D 中点E,D C 中点F,连接M E,M F,E F,取 E F 中点0,连接M O.因为在正方体A B
13、C D-A B C D 中，M是棱D Q 的中点，所以M E B G,M F A B E F A C,因为M E D M F=M,B CIA AIB=B,所以平面 A R C 平面 E F M,因为P 是底面A B C D 内（包括边界）的一个动点，M P平面A B C”所以P 的轨迹是线段E F,因为 M E=M F=E F,0 是 E F 中点，所以0M L E F,因为E F A ,所以O M，A,所以当P 与。重合时，异面直线M P与A所成角取最大值春，因为M E=M F=E F,P 是E F 上动点，E F A C，JI所以当P 与 E 或 F 重合时，异面直线M P与A所成角取最小
14、值为工，所以异面直线M P与A COJIJI所成角的取值范围是(2)在正四面体P-A B C 中，点M 是 B C 的中点，则异面直线PM 与A B 所成角的余弦值为()人 平丛 坐&华平3 6 6 3【解析】选笈取A C 中点N,连接PN,M N,设正四面体的棱长为2,则PM=PN=q 4 1 =小,M N=1,且M N A B,所以N PM N 是异面直线PM 与A B 所成角(或所成角的补角),故异面直线PM 与A B 所成角的余弦值为：,PM2+M N2-PN2|3+1-3 yl3cos Z PM N|=2X PM X M N|=1 2 x/x i =6 ,规律方法 用平移法求异面直线
15、所成角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求：解三角形，求出所作的角.提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.，对点训练(2021 武汉模拟)在三棱锥D-A B C 中，A C B C,A C=B C=2,A D,平面A B C,A D=1,E是线段A C 的中点，则异面直线A B 和 D E 所成的角等于()A.13 5 B.120 C.6 0 D.4 5 解析选 6：如图，将三棱锥D-A B C 还原成长方体A M B C-D M B G,2M取 B C 的中
16、点F,又因为E为A C 的中点，则E F A B,所以异面直线A B 和 D E 所成的角即直线E F 和 D E 所成的夹角，设所成角为0,则cos 0=|cos Z D E F|.由勾股定理，A B=/C A2+C B2=y/22+22=2事,则 E F=|A B=2，D E=/A E2+A D2=/l2+l2=y/2,连接 A F,则 AFKA+C F2=22+l2,所以 D FM A D W A F?=/+（洞 2 =#,D E E F2D F2 1在A D E F 中，由余弦定理可得cos N D E F=-,Z D L E r Z所以 cos 0=1,因为 0 o W 9 0,所以
17、异面直线A B 和 D E 所成的夹角为6 0 .J考点三 平面的基本性质及其应用|多维探究高考考情：平面的基本性质是立体几何的基础，是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，当然也不能忽视在大题中的考查.角度1证明点、线共面典例2（2021 郑州模拟）在正四棱柱A B C D-A B C D 中，点M,N分别在棱A A”C G 上，且 A M=2M A”CIN=2C N,证明：点 D,B,M,N 共面.【证明】连接M D,连接D N,因为正四棱柱A B C D-A B C D 中，点M,N 分别在棱A A“C G 上，且A M=2M A“C,N=2C N,所以由平行线性质定理得到M
18、D B N 所以四边形M D N B i 是平面图形，所以点D 在平面B j M N 内，所以点D,B“M,N 共面.角度2证明三线共点典例3 （2022 成都模拟）如图，在棱长为2 的正方体A B C D-A B C D 中，E,F 分别是B B B C的中点.证明：AE，AB,DF三线共点.【解析】因为E,F分别是SB,BC的中点，所以EFB G又因为BCAD 所以EFA山旦EFWAD所以AE,DF共面,所以设A iE A D F=P,则P G A R 而A u平面AABB,所以P G平面AAiBB 同理可得，P G平面ABCD,所以点P在平面ABCD与平面AABB的公共直线AB上，即A,
19、AB,DF三线共点.角度3证明三点共线 典例4如图，在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且 BG：GC=DH：HC=1：2.(1)求证：E,F,G,H四点共面;设EG与FH交于点P,求证：P,A,C三点共线.【证明】(1)因为E,F分别为AB,AD的中点,所以 EF/7BD.A BG DH 1EABCD 中，=-，UC nC Z所以GHBD.所以E F G H.所以E,F,G,H四点共面.(2)因为 E G D F H=P,P E E G,E G u 平面 A BC,所以p e 平面A BC.同理P G 平面A D C.所以P 为平面A BC与平面A
20、 D C的公共点.又平面A BC n平面A D C=A C,所以P 6 A C,所以P,A,C 三点共线.教师专用1 .点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：要证明“点共面”或“线共面”，可先由部分点或直线确定一个平面，再证其余点或直线也在这个平面内.(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面B,最后证明平面a ,B 重合.(3)反证法.2 .证明三线共点的思路先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线.3.证明三点共线的两种方法(1)首先找出两个
21、平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线.(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线.多维训练1.如图所示，平面a n平面B=1,A G a ,BE a ,A BA 1 =D,CG B,Ca 1,则平面A BC与平面B 的 交 线 是()JLA.直线A C B.直线A BC.直线CD D.直线BC【解析】选 C 由题意知，D e l,luB,所以D G B.X D E A B,所以D W 平面A BC,即 D 在平面A BC与平面P的交线上.又 C e 平面 A BC,C e B,所以点C 在平面B 与平面A BC的交线上.从
22、而有平面A BC n平面B=CD.2.在三棱锥A-BCD 的边A B,BC,CD,D A 上分别取E,F,G,H四点，如果E F A H G=P,则点P()A.一定在直线BD 上 B.一定在直线A C上C.在直线A C或 BD 上 D.不在直线A C上，也不在直线BD 上【解析】选 8.如图所示，因为E F u 平面A BC,H G u 平面 A CD,E F A H G=P,所以P G 平面A BC,P d 平面A CD.又因为平面A BCA 平面A CD=A C,所以P C A C.3.如图，A BCD-A BCD 是平行六面体,0 是B R的中点,直线A 交平面A B D 于点M,则下列
23、结论正确的是()A.A,M,0,A i 不共面C.A,M,0,C 不共面B.A,M,0 三点共线D.B,0,M 共面【解析】选 6.如图所示：连接A ,因为A O u 平面A B D，A O u 平面A C C A,所以A O 是平面A B D 与平面A CC A的交线;又因为直线 A,C交平面A B R 于点M,所以M G A O,所以A,M,0 三点共线，则 8 正确；因为M e 平面A CCA，所以A,M,0,A i 共面，故 4 错误，同理可知C错误；显然M不是AC 中点，所以B,B 0,M不共面，故错误.教师专用备选考点空间几何体的截面问题 典例（2 02 1 济南模拟）如图，已知长
24、方体A BCD-A BCD 中，A B=1,BC=2,CC,=2,E,F分别为BC,C G 的中点.求过E,F,D i 三点的截面的面积.【解析】连接A D,A E,B G,则四边形A BCD 为平行四边形，所以A D/BC”又因为E,F分别为BC,C G 的中点，E F BG A D”所以所求截面为梯形E F D A EF=W不 示=小，A D,=2 4,A E=D1F=/2 ,梯形的高八=）F一 1 （A D-E F）2=平，所以所求截面面积S=:（2 +2 地）乂 噂=芈.，规律方法交线的作图方法（1）结合平面基本性质作出截面a与几何体棱的交点，进而连接可得到所求交线.（2）利用面面平行
25、的性质定理，找出所求的截面的交线d对点训练（2 02 1 乌鲁木齐模拟）如图，四棱锥P-A BCD 的底面为正方形，所有棱长都是1,E,F,G分别是棱P B,P D,BC的中点.求过E,F,G 三点的平面截棱锥所得截面的面积.B【解析】设过E,F,G 三点的平面为a,由已知得平面a与平面A BCD 有一个公共点G,则平面a与平面A BCD 有且只有一条过点G的交线，取 CD 中点H,连接H G,因为E,F,G分别是棱 P B,P D,BC的中点，连接BD,得 E F BD,G H BD,所以E F G H,所以G H 是平面a与平面 A BCD 的唯一一条交线，设平面a与 P A 交于点N,所以过E,F,G三点的平面截棱锥所得截面为E G H F N,因为底面A BCD 为正方形，所有棱长都是1,所以F H=|P C=1 ,设 G H,A C交于点M,则M N P C,且M N=;P C=f，所以S 面 E G H F N=2 S i M E G M N=S X +j T x 乙、乙 A J 1 0