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1、第六节空间向量的应用第1课时 用空间向量研究直线、平面的位置关系【考试要求】1.会求直线的方向向量与平面的法向量.2.会用向量法证明线面的平行、垂直关系.3.会用向量法解决平行、垂直的综合问题.【高考考情】考点考法：高考命题常以解答题第一问的形式出现，既可以用向量法，又可以用几何法证明平行和垂直关系.核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算Q一知谓梳理二 1&/爰 一 o-归纳知识必备1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：空间中向量a 所在的直线与直线,平行或重合，a 是直线/的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设向量a,b 是平面5 内两不共线向量，向量A为平
2、面n a 0,5 的法向量，则求法向量的方程组为n b=0.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线名,乙的方向向量分别为n,n.hZ?IZ7 2=I=，生a _L 几刀 2=0直线1 的方向向量为n,平面a 的法向量为m1H a刀-L屋 今 山刀 二 07 an/m n=平面a,的法向量分别为n ma/n/m n=a_L 力-L 勿 m=G智 学 变式探源1.(改 变 选 项)已 知 平 面。的法向量分别为弘=(2,3,5),2=(一3,1,1.选择性必修一 P33练习T12.选择性必修一 P28例 1-4），则（）A.a/p B.a _ L C.a,相交但不垂直 D.以上均不对【解析
3、】选 C.因为乃W 八的 且 2 功=2 义（一3）+3 X l +5 X （4）=2 3 W0,所以平面a,既不平行，也不垂直.2 .（改变条件）如图，在长方体力以力 4 5 G 中，AD=AAX=,小=2,点 为 的 中 点，求平面缈少的一个法向量.【解析】如图，建立空间直角坐标系灯z,则 4(1,0,0),6(1,2,0),C(0,2,0),(0,0,1),所以 (1,1,0),所以宓=(1,-1,0),再=(0,-2,1).fn.CE=0,设平面内 的法向量为A=(x,y,z),则：.|nCD|=0,x-y=0 x=y,所以 O I c，所以O 令尸=1，则 X=l，Z=2.2 y+z
4、=Q z=2y所以平面切石的一个法向量为(1,1,2).慧 考 四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力3 .（平行关系）若 宓=A CD+n CE,则直线与平面物 的位置关系是（）A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内【解析】选 D.因为能=AC b+PC E,所以宓,C D,C E共面.则直线力8与平面板 的位置关系是平行或在平面内.4 .（垂直关系）已知平面。内有一点做1,-1,2）,平面。的一个法向量为=（6,-3,6）,则下列点P 中，在平面a内的是（）A.尸 3,3）B.尸（一2,0,1）C.尸（一4,4,0）D.0（3,-3,4）【解析】选 A.逐一验
5、证法，对于选项A,MP=（1,4,1）,所 以 赤-7 7=6-1 2+6 =0,所以MP L n,所以点尸在平面a内，同理可验证其他三个点不在平面。内.5 .（垂直关系）已知平面。的一个法向量为=（1,2,2）,AB=（-2,4,4）,则直线 与 平 面 a 的位置关系为（）A.AB/a B.AB ci aC.相交但不垂直 D.AB A.a【解析】选 D.根据已知条件容易得到：AB =-2 n,所以花 A,故直线四与平面。垂直.6.（探究位置关系）如图所示，在 正 方 体 力%4 A G 中，。是底面正方形/题的中心，是的中点，”是 48的中点，则直线 乂 4 步 的 位 置 关 系 是.【
6、解析】以/为原点，分别以 诵，Ab,A A；为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.1-2)/*(O,-1-2*初O,/)1-2M71-2/171-O,2M!7答案：垂直a考点探究 悟法培优o7考 点 一 利用空间向量证明平行问题讲练互动 典例1 (1)(2 0 2 1 南京模拟)如图，在四棱锥月/颇中，阳，平面力比 AB/C D,且 但2,AB=,B C=2小,用=1,AB LB C,及为勿的中点.求证：4 平面联【证明】过/作/反1切于点6,则应=1,以/为原点，AE,4 6,/尸所在的直线分别为x,y,Z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则力(0,0,0),8(0,1,0
7、),E(2yf2,-1,0),0 +1*1+（1）Xl=0,所以A吐 如 所以平面物CU 平面B B C C.2.（2 0 2 1 广州模拟）三棱柱中，侧棱与底面垂直，/AB C=9Q：AB=B C=B R=2,M,N 分 别 是 4 C 的中点.A求证：物 V 平面8 c；3；（2）求证：版比平面4 6 c【证明】连接4 G，则 4 G 交4。于点儿如图所示.在/附中，因 为 这 A 分别是4?,4 G 的中点，所以腑阅，又的过平面比 G A,8 G u 平面6 C G 瓦所以以/平面B C C R；(2)如图，以A 为坐标原点，8 M,B C,6/所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐
8、标系，则身(0,0,0),的法向量为 k (为，y，Z1),则必 A1D=O,m-DP=0,因为 Q=(0,2,一24 ),DP=(A-2,0),所 以 卜-2后=。，/Xi 2弘=0,m 2所以1=0%，%=一 儿3 P设必=6,则0=(,6,2y),因 为 平 面 与 平 面 4 座垂直，则 m,n=0,24所以一+6+6 =0,p=2,P因为0 W p W 3,所以线段比1 上不存在一点R使平面4%与平面4 座 垂直.，规律方法解决存在性问题的策略解决的关键是该点如何用参数设出来.一般有两种方法：一是利用比例式求解；二是利用三点共线条件巧设.最后都转化为与平行或垂直有关的问题解决.,多维
9、训练1.在正三棱锥月力比 中，三条侧棱两两互相垂直，C 是阳8的重心，E,少分别为比；PB上的点且B E：EC=PF F B=：2,求证：平面曲社平面PB C.【证明】如图，建立空间直角坐标系.令 PA=PB=PC=3,则力(3,0,0),6(0,3,0),。(0,0,3),(0,2,1),F(0,1,0),(7(1,1,0),A0,0,0).于是再I =(3,0,0),F G=(1,0,0),故 历=3F G,所以PA/F G.而阳，平面PB C,所以网人平面PB C.又平面EF G,所以平面绪6 1 平面PB C.2.在正方体A B C D-A B C D 中，E是棱B C 的中点,试在棱
10、C G 上求一点P,使得平面人出正_1_平面 G D E.【解析】如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则由(1,0,E 生 L o j ,C,(0,1,1),D(0,0,0),设 P 的坐标为(0,1,a).所以 X =(0,1,0),守=(-1,1,a-1),D E =1,0),D Q=(0,1,1),设平面A B P 的一个法向量为4=(小，”，Z),则口 次 =今W Ap=0y =0，、，令 Z i =l,则得小=己一1,所以平面4 8/的一个法向量为4 =一 用+%+(a-1)0=0(a 1,0,1).设平面。血的一个法向量为功=(如 先，z j,则n?*DE=
11、0_ =n2*DCj=0；在+必=0+Z 2 =0令%=1,则得及=2,a=1，即 平 面 的 一 个 法 向 量 为n2=(-2,1,-1).要使平面4 4 R L 平面C、DE,则 为 4=0=2(a1)1=0,解得 a=；,所以当尸为C G 的中点时，平面4 6，平面G 施3.(命题新视角)在棱长为2的正方体力比4 8 中，E,F,M,川分别是棱4 8,AD,45，4 的中点，点尸，0 分别在棱，防上移动，且 人 回=4(0 4 2).当 4=1 时，证 明 四，QP,应是共面向量；(2)是否存在儿，使平面f i W 与平面尸Q 四所成的二面角为直二面角？若存在，求出入的值；若不存在，说
12、明理由.【解析】以为原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由己知得，6 2,0),。(0,2,2),以2,1,0),尸(1,0,0),尸(0,0,八)，M(2,1,2),Ml,0,2),8 G =(2,0,2),F P=(-1,0,4)，F E=(1,1,0),W =(-1,-1,0),NP=(-1,0,4一2).(1)当 4=1 时，FP=(-1,0,1),因 为 度=(一2,0,2),所 以 的 =2/，即B C J/F P.而F 空平面EF PQ,且 阅 平面EF PQ,故直线8 G 平面EF PQ.所 以 可，QP,应是共面向量.(2)存在，设平面储附的一个法向量为A=(X,y,z),x+y=0,x+4 z=0.则由，n,质=0,可得，n P=0,于是可取/?=3,4,1).同理可得平面闻牌的一个法向量为2 2 7=(-1-2,2 4,1).若存在儿，使平面夕附与平面尸Q%v 所成的二面角为直二面角，则以 =(4-2,2-A,1)(4 ,A,1)=0,即 4(八一2)4 (2 4)+1=0,解得4=1故存在儿=1,使平面4阳与平面/过姓所成的二面角为直二面角.